ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ п-МАТРИЦ

[13, с. 117-121]

Для представления «-матриц используются два типа обозначений. «Прямое обозначение», в котором каждая n-матрица, независимо от ее размерности, представляется одним символом, называемым базовой буквой. «Индексное обозначение», в котором каждая «-матрица также обозначается одним символом А — базовой буквой, но к ней, кроме того, приписываются еще индексы, представляющие направления, по которым расположены компоненты матрицы. В частности, 1-матрица имеет один индекс — Аа, 2-матрица имеет два индекса — Аар, 3-матрица — три индекса — Аа^, 0-матрица не имеет индексов — А. Базовая буква А, представляющая n-матрицу, в общем случае имеет число индексов, соответствующее числу направлений, по которым расположены ее компоненты.

При представлении «-матрицы с помощью нескольких индексов, скажем, Л в общем случае (рис. 1) первый индекс обозначает строки, второй индекс обозначает столбцы, третий индекс обозначает слои, параллельные плоскости листа. Однако поскольку индексы прочно связаны со стрелками, то порядок представления при наличии стрелки не имеет особого значения. Она показывает, относится ли первый индекс к строке или столбцу.

Представление /7-матрицы с помощью нескольких индексов

Рис. 1. Представление /7-матрицы с помощью нескольких индексов

Фиксированные и скользящие индексы

  • 1. Каждый элемент на рис. 1 имеет определенное обозначение {а, Ь, с, d), чтобы с ней можно было работать отдельно. Аналогично каждая строка, столбец и слой и-матрицы, как показано, имеют присвоенные им отличительные наименования. Эти индивидуальные наименования называются фиксированными индексами и пишутся рядом со строкой, столбцом или слоем. Чтобы обращаться ко всем элементам вместе, в дополнение к «фиксированным» индексам a, b, с, d, ... в индексные обозначения вводится другой набор индексов, который представляет все фиксированные индексы. Такие коллективные индексы называются скользящими (или текущими) и обозначаются греческими буквами (а, р, у,...). Таким образом, скользящий индекс обозначает все фиксированные значения a, b, с, d,...; этим же свойством обладают Р и у. Например, А представляет все компоненты 1-матрицы А, тогда как Аь — один компонент, а именно второй в строке. Как показано на рис. 1, для 2-матрицы в верхнем левом углу, рядом с наклонной чертой, в соответствующем месте помещаются два скользящих индекса. Для 3-матрицы вдоль ребер куба изображаются три стрелки, а затем рядом с каждой стрелкой помещается скользящий индекс.
  • 2. Если все индексы скользящие, например, для Aa|j, то они представляют сразу все компоненты и-матрицы. Если же один или более индексов фиксированные, как в Ас^ или Aarfy, то это означает, что из и-матрицы выделены отдельные строка, столбец или слой (рис. 2). Е1апример, Aarfy представляет 2-матрицу, вырезанную из 3-матрицы. Е1аличие трех индексов свидетельствует о том, что исходная матрица А — это 3-матрица. Два переменных индекса а и у показывают, что вырезана 2-матрица и что она перпендикулярна плоскости листа (скользящие индексы — первый и третий). Постоянный индекс dпоказывает, что 2-матрица — последняя из четырех 2-матриц.

Отдельные компоненты представляются присвоенными им фиксированными индексами, например, Аь = 5 или Аы = 7, при этом показано, что число 7 принадлежит строке b и столбцу d. Если используется прямое обозначение, то скользящие индексы не указываются. Однако фиксированные индексы a, b, с, d еще сохраняются и выделяются жирным шрифтом (a, b, с, d) рядом с компонентами.

Частичные (неполные и-матрицы) (см. рис. 2) можно изображать в прямом обозначении только с помощью обозначений, специально вводимых для каждого конкретного случая. Таким образом, различие между скользящим и индексным обозначением состоит в том, что скользящие индексы опускаются при использовании прямых обозначений.

Для отличия их от обычных величин вместо скользящих индексов используется выделение жирным шрифтом.

Представление фиксированных индексов в матрице

Рис. 2. Представление фиксированных индексов в матрице

Представление л-матриц более высоких размерностей

1. С помощью фиксированных и скользящих индексов 4-матрицу Лцрт8, представляющую кА величин, можно представить графически посредством k кубов (так как kA = кк3), если последний скользящий индекс заменить рядом постоянных индексов a, b, с, d (рис. 3). Поскольку каждый куб можно изобразить на листе в виде к 2-матриц, то Ла^8 может быть изображена на листе в виде k2 2-матриц (k4 = k2k2).

Графическое представление 4-матрицы

Рис. 3. Графическое представление 4-матрицы

2. Подобным образом 5-матрицу Дару8е можно представить графически с помощью к2 кубов (так как к5 = к2к3) (рис. 4).

Графическое представление 5-матрицы

Рис. 4. Графическое представление 5-матрицы

Кроме того, ее можно представить в виде k3 2-матриц, расчленив каждый куб на k 2-матриц. Опыт показал, что расчленение и-матриц на 2-матрицы и такое их представление на бумаге, найденное экспериментально, наиболее удобно для быстрого и формализованного решения задач.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >