Деление окружности на равные части. Построение правильных многоугольников

Определение центра дуги (рис. 1.15). Наметить на дуге окружности три произвольно расположенные точки А, В и С. Соединить точки прямыми АВ и ВС для получения хорд данной дуги. Точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд (см. построение на рис. 1.1), определяет положение центра исходной дуги.

Рис. 1.15. Определение центра дуги

Рис. 1.16. Определение центра окружности

Определение центра окружности (рис. 1.16). В заданной окружности провести две не параллельные между собой хорды ЛВ и CD. Через середины хорд провести перпендикуляры (см. построение на рис. 1.1), пересечение которых определит положение центра исходной окружности.

Деление окружности на 3, 6 и 12 частей (рис. 1.17). В окружности заданного радиуса R провести через центр О взаимно перпендикулярные оси ЛВ и CD. Из любой точки конца диаметра (например, А) провести радиусом R дугу до пересечения с окружностью в точках 1 и 2. Отрезок 1—2 — искомая сторона правильного вписанного треугольника В2.

В свою очередь отрезки А = А2 и Cl = D2 соответственно равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двенадцатиугольника. Для построения недостающих точек (вершин углов) достаточно провести из точки В противоположного конца диаметра окружности дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью или измерителем последовательно отложить соответствующие отрезки на основной окружности.

Рис. 1.17. Деление окружности на 3, 6 и 12 частей

Рис. 1.18. Деление окружности на 4 и 8 частей

Рис. 1.19. Деление окружности на 5 и 10 частей

Рис. 1.20. Деление окружности на 7 частей

Деление окружности на 4 и 8 частей (рис. 1.18). Провести два взаимно перпендикулярных диаметра ЛВ и CD. Отрезки АС = СВ = BD, соединяющие концы диаметров, являются искомыми сторонами правильного четырехугольника, вписанного в окружность.

Для деления окружности на 8 частей построить из центра О перпендикуляр к одной из сторон (например, АС) и продолжить его до пересечения с окружностью в точке М. Отрезок AM — искомая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.

Деление окружности на 5 и 10 частей (рис. 1.19). Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD и разделить радиус ОВ пополам в точке М. Из точки М как из центра провести дугу радиусом МС до пересечения ее с диаметром АВ в точке К. Отрезок СК равен стороне правильного вписанного пятиугольника, отрезок ОК — десятиугольника. Для деления окружности на 5 частей достаточно дугой радиуса С К сделать засечки на исходной окружности в точках 1, 2 и далее; используя точки 1 и 2 как центры, тем же радиусом отметить точки 3 и 4. Точки С, 1, 3, 4, 2 — вершины правильного вписанного пятиугольника.

Деление окружности на 7 частей (рис. 1.20). Из точек А и В концов горизонтального диаметра АВ провести дуги окружности радиусом R = АО = ВО и отметить точки их пересечения 1 и 2 с исходной окружностью. На пересечении хорды 1—2 с радиусом OD отметить точку М. Отрезок ОМ равен стороне правильного вписанного семиугольника. Для его построения последовательно отметить на исходной окружности точки 3, 4, 5, 6, 7, 8 радиусом R = ОМ.

Рис. 1.21. Построение правильных многоугольников, вписанных в окружность

Деление окружности на п равных частей (рис. 1.21). Провести в окружности заданного радиуса R диаметр АВ и разделить его на заданное число равных частей (на рис. 1.21/т = 9). Из точек А и В как из центров провести дуги окружности радиуса 2R до их пересечения в точках К и М. Используя полученные точки К и М в качестве центров, провести семейство лучей через четные или нечетные точки деления диаметра ЛВ до пересечения с заданной окружностью. Полученные на окружности точки 1, 2, 9 — искомые точки деления окружности

на заданное число частей.

Погрешность построения описанным способом — в пределах О, 01 R, что достаточно для практических целей. Деление окружности на « равных частей можно также выполнить, используя данные табл. 1.2, где приведены длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность единичного диаметра. Для получения номинального размера стороны «-угольника достаточно табличное значение длины стороны при выбранном « умножить на числовое значение диаметра окружности.

Таблица 1.2

Длина сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность диаметром d = 1

Построение правильных многоугольников по заданной длине одной стороны (рис. 1.22). Сторону ЛВ разделить точкой О пополам и восставить в этой точке перпендикуляр к ЛВ. Из точек Ли В радиусом R = ЛВ провести дуги до их пересечения в точке 1. Треугольник А1В — искомый.

Для построения квадрата надо восставить в точках Ли В перпендикуляры к ЛВ и продолжить их до пересечения в точках С и D с дугами R = ЛВ. Квадрат ACDB — искомый.

В квадрате ACDB провести диагонали и отметить точку 2 их пересечения. Разделить расстояние между точками 1 и 2 пополам точкой 3, которая будет служить центром окружности для вписанного в нее правильного пятиугольника со стороной ЛВ.

Последовательно откладывая расстояние 1—3 от точки 1 вверх по перпендикуляру, отметить точки 4, 5, 6 ... которые будут служить центрами окружностей для построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т.д. с заданной стороной А В. Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точки А до соответствующих центров.

Для определения с достаточной для практики точностью длина стороны а_п (п — число сторон многоугольника) может быть вычислена в зависимости от заданной высоты # фигуры по соотношениям яз = 1,115//; а₄ — 0,707//; я₅ = 0,650#; ае — 0,577#; а% — 0,414#

Рис. 1.22. Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Таблица 1.3

Зависимость радиуса R описанной окружности от длины а стороны вписанного многоугольника

По данным табл. 1.3 можно по заданной длине а стороны определить радиус R описанной окружности.