ВВЕДЕНИЕ

В курсе лекций по дисциплине «Математическая статистика» был рассмотрен факторный анализ. Простейшим, среди всех факторных планов, следует считать однофакторный эксперимент, который призван установить факт зависимости результата эксперимента от значения исследуемого единственного фактора, т.е. влияние других факторов предполагается несущественным. Однако во многих экспериментальных ситуациях возникает необходимость спланировать испытание так, чтобы можно было контролировать изменчивость, обусловленную посторонними источниками.

Под разбиением на блоки понимают расположение экспериментальных единиц в относительно однородных блоках таким образом, что внутри каждого блока ошибку эксперимента предполагают меньшей, чем можно было бы ожидать, если бы такое же число единиц было случайно отобрано в данную обработку. [2]

Эксперименты, в которых используются блоки, называются блочными рандомизированными планами. Хотя в таких схемах используются как обработки, так и блоки, основное внимание уделяется оценке разностей между обработками. Целью объединения условий в блоки является максимально возможное исключение изменчивости экспериментальной ошибки с тем, чтобы разности между обработками проявились как можно отчетливее. Блочные рандомизированные эксперименты оказываются более эффективными, чем полностью рандомизированные планы и, следовательно, позволяют получать более точные результаты.

Рандомизированные блочные планы наиболее часто встречаются при планировании экспериментов. Ситуации, в которых они должны применяться, весьма разнообразны, но при некотором опыте определяются достаточно легко. Экспериментальные установки или аппаратура часто обладают различными рабочими характеристиками и представляют собой типичный фактор группирования в блоки. Партии сырья, операторы, моменты времени также являются характерными источниками изменчивости в эксперименте, которые можно контролироваться систематическим образом при использовании блоков.

Рандомизированное полноблочное планирование

При изучении интересующего фактора можно пренебречь фактором, имеющим, на взгляд исследователя, не существенное влияние на первый. Однако, ошибка эксперимента будет отражать не только случайную ошибку, но и различия между уровнями второго фактора. Первостепенная задача -исключить из случайной ошибки данные различия. Это может обеспечить рандомизированный полноблочный план, где в качестве экспериментальных объектов будут выбраны уровни первого. Слово «полнота» означает, что каждый блок (уровень второго фактора) содержит все обработки. Внутри каждого блока порядок проверяемых образцов определяется случайным образом.

Рандомизированные полноблочные планы наиболее часто встречаются при планировании экспериментов. Экспериментальные установки или аппаратура часто обладают разными рабочими характеристиками и представляют собой типичный фактор группирования в блоки. Партии сырья, моменты времени так же являются характерными источниками изменчивости в эксперименте, который может контролироваться систематическим образом при использовании блоков.

Статистический анализ.

Пусть число обработок составляет а и число блоков равно Ь.На рис. 1 приведен рандомизированный полноблочный план.

Рис.1

Каждый блок содержит по одному наблюдению на каждую обработку, а порядок, в котором осуществляется выбор обработки внутри блока, определяется случайным образом. Рандомизация проводится только внутри блоков, поэтому говорят, что блоки представляют собой ограничение на рандомизацию.

Статистическая модель плана:

у.. = U + T. + В .+?.., I^м] У

і = 1,2,...,а j = 1, 2,..., b

где д - математическое ожидание общего среднего;

- эффект і- ой обработки;

/Л - эффект j- ого блока;

є_v - случайная ошибка, причем e_:j ~ N ( 0,<т²)

Метод постоянных эффектов

Пусть обработки и блоки фиксированные факторы. Эффекты обработок и блоков определяются как отклонения от математического ожидания общего

среднего, то есть =0 И = 0.

1=1 ./=!

Так как блоки представляют собой ограничение на рандомизацию, то рас

сматривается гипотеза относительно эффектов обработок:

Н^=т₂=...=т_а =0

Н_х: т_к * 0, где 1 < к < а.

Введем следующие обозначения:

у., - у , і = 1, а -сумма всех наблюдений для і обработки.

у_ч = ^У_іР j = l,b - сумма всех наблюдений в j блоке.

/=1

Xr ⁱ⁼¹’^a’ j=tb.

Скорректированную сумму квадратов можно представить следующим образом:

t І U - 77У = t І 1(77- 77)+ (77- 77)+ u -77-77+77)1

• 1 = 1 7-1 7 = 1 /=1
• 9
• — у — у ? — у

где y,.=-r-, y-j=—' У-⁼^7

b a N

Раскрывая скобки в правой части этого соотношения, получаем:

t І U - У.. У - l>t (у.. - У.. У + «і (у., - у.. У +11 (у, - У.. - У., + У.. У + /=1 j = 1=1 j = і= J=

+- у- Ъ-j - )+²LLU - у- bv - у і- - у-)+у-)+²ЕЕ(>’., - у- Їуц - у і- - у-;

1=1 j= і=ї j=l і= j=l

Простые, но громоздкие вычисления показывают, что смешанные произведения обращаются в 0.

Отсюда следует:

І ? U - U=ь± G>yj + 4 G;-+?? (y_it - У~.~ T,+77У /=1 j= »=1 j= i= j=l

В символическом виде данное выражение можно записать как

SS - — SS . + 55 , + SS общ обр к ош

Число всех наблюдений N= a*b, следовательно, SS_v6uiобладает N-1 степенью свободы. Так как а число обработок, а b число блоков, то SS_o6p и 55., обладают (с/-1) и (Z?-l) степенями свободы соответственно. Число степеней свободы для ошибки будет равно (а-1)(ф-1) и определяется через разность степеней свободы общей суммы и сумм по обработкам и блокам.

Расчетные формулы для сумм квадратов:

а ь 1 I " 1

55. =УУу²-- у:,-, SS . =-У у²- — у;.;

ООЩ -у IJ КТ ' ^оиР 1 ‘ ' КТ ~

i=i j=i N О і=і /V

• 1 ^h 1
• 55. =-У у².--у²; 55 = 55.- 55.- 55.

а N •

ss_o6p ss_ta SS_0lu

Используя, допущение о нормальности ошибки, имеем: ' о~ ' о¹ не

зависимые случайные величины, подчиняющиеся х² распределению. Отношение суммы квадратов к соответствующему числу степеней свободы есть средний квадрат.

Для проверки гипотезы о равенстве эффектов обработок используется М5

статистика F_o =—которая имеет F- распределение с (а-1) и (а-1 )(b-1) сте-^м^.,_ш

пенями свободы при условии истинности Н_о. Если F_o < F_{n а}__х , то гипотеза отвергается.

Замечание Определение целесообразности группировки в блоки, можно проверить с помощью гипотезы относительно отличий блоков друг от друга.

Н_о: fij = 0, 1 < j