Греко-латинский квадрат

Пусть есть два Латинских квадрата рхр. В первом Латинском квадрате обработки обозначены латинскими буквами, а во втором - греческими. Наложим один квадрат на другой. Если при наложении каждая латинская буква «встречается» с каждой греческой буквой только один раз, то образующийся при этом квадрат называется Греко-латинским квадратом.

Строка

Столбец

1

2

3

4

1

Аа

вр

Су

D8

2

В5

Ау

Dp

Са

3

ср

Da

А8

Ву

4

Dy

С8

Ва

АР

Греко-латинские квадраты могут использоваться при планировании экспериментов для систематического контроля трех источников, мешающих неоднородности, то есть для группирования в блоки по трем направлениям. Таким образом, план позволяет при р2 наблюдениях четыре фактора, причем каждый из них на р уровнях. Греко-латинские квадраты существуют для всех р > 3, кроме р = 6.

Статистическая модель для Греко-латинского квадрата

Уіікі - й + Oi + Tj + +

где і = 1, р ; j =1, р ; k = 1, р; 1 = 1, р

Обозначения:

Уукі ~ наблюдение в і строке, І столбце, j латинской букве и к греческой, у. - математическое ожидание общего среднего;

в і - эффект і-ой строки;

Tj - эффект j-ой латинской буквы;

а>к - эффект k-ой греческой буквы;

  • (pi - эффект 1 столбца;
  • ?ijki ~ случайная ошибка, Ецкі~ N(0; о2).

Дисперсионный анализ проводится аналогично анализу для Латинского квадрата.

Ho:r, = t2=... = tu=O

НхткФ 0, где 1

Формулы для вычисления скорректированных сумм 1 9 ssCTn = - * Уі — - * у2

^ат=1*Е?=1У.}.-^У.?.

SSrp=i*X^1yi-^.2.

Sioen, = sr=1 S’=1 Й=1 SUу} - ГУ.?

?-?-tn: = - SSra-r “ S-S-p - S5CTp - SS„.

С1Р р N У.—

  • 55ст =
  • 1 2 1 2
  • -*Еі=іУ:.|-й*У..

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Степень свободы

Средний квадрат

Статистика Fo

Латинские

$$лат

P-1

cc ‘-'•-'лат

MS 1 1 •-'лат

p-l

MS ош

Г рсчсскис

SSep

P-1

ssrp p-1

Строки

SScmp

P-1

55 Uu,CTp

p-1

Столбцы

sscm

P-1

SSCT p-1

Ошибка

ss0UI

(p-3)(p-l)

  • 5S0U1
  • (p - 3)(p - 1)

Сумма

$$общ

p2-l

Пример Предположим, что при исследовании формул взрывчатого вещества может оказаться важным еще один фактор - испытательная установка. Пусть таких установок пять и обозначим их греческими буквами.

Сумма по латинским

Партии сырья

Операторы

Уі...

1

2

3

4

5

1

Aa=24

Ву=20

Сє=19

D?=24

Е5=24

111

2

вр=17

С8=24

Da=30

Еу=24

Ає=36

131

3

Cy=18

De=38

Ер=26

А8=27

Ва=21

130

4

D5=26

Ea=31

Ау=26

Вє=23

Ср=22

128

5

Es=22

Ар=30

В§=20

Са=29

Dy=31

132

У...1

107

143

121

127

134

У...-632

Латинская буква

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Степень свободы

Средний квадрат

Статистика

Fo

FKp (0,05:4:12)

Латинские (Формулы)

324.84

4

81,96

9,5192

3,837853

Греческие (Установки)

69,44

4

17,36

Строки

(Партии сырья)

61,04

4

15,26

Столбцы (Операторы)

147,84

4

36,96

Ошибка

68,88

8

8,61

Сумма

675,04

24

Вывод: формула взрывчатого вещества влияет на силу взрыва.

А

24+36+27+26+30= 143

В

20+17+21+23+20= 101

С

19+24+18+22+29= 112

D

24+30+38+26+31 = 149

Е

24+24+26+31+22= 127

Греческие

Сумма по греческим

  • 55лат = 327,84; SSrp =69,44;
  • 55стр = 61,04; SSCT = 147,84;
  • 550бщ = 675,04;

SS0III = 68,88.

буква

а

24+31+30+29+21=135

0

17+30+26+24+22= 119

Y

18+20+26+24+31 = 119

5

26+24+20+27+24= 121

?

22+38+19+23+36= 138

Замечание: Можно проверить гипотезы о влиянии партий сырья, операторов и установок на силу взрыва. Однако, так как строки и столбцы представляют собой ограничение на рандомизацию, то проверка может оказаться нестрогой.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >