Рандомизированные неполноблочные планы

В некоторых экспериментах с рандомизированными блочными планами может оказаться, что нельзя проверить все обработки в каждом из блоков. Ситуации такого рода обычно объясняется либо нехваткой средств или экспериментальной аппаратуры, либо реальными размерами блока. Такие планы известны под названием рандомизированные неполноблочные планы. Рассмотрим далее некоторые из них.

Сбалансированный неполноблочный план

Сбалансированный неполноблочный план это такой неполноблочный план, в котором все возможные пары обработок встречаются одинаковое число раз. Если сравнения обработок между собой является одинаково важными, то обработки в каждом блоке должны выбираться сбалансированно, то есть так, чтобы каждая пара обработок встречалась столько же раз, сколько и любая другая.

Пусть а - число обработок, b - число блоков, к - число обработок в каждом блоке, каждая обработка встречается в эксперименте г раз (или производится г реплик). Тогда общее число наблюдений составляет N = a*r =b*k.

Если а = Ь, то план называется симметричным.

Каждая пара обработок в одном и том же блоке встречается 2 = ~~~ раз, причем параметр Л должен быть целым.

Статистическая модель плана:

уіГ^ + гі+ґєіг

і = 1,2,..., a j = 1,2, ...,b

где р - математическое ожидание общего среднего;

  • - эффект і- ой обработки;
  • - эффект j- ого блока;

etj - случайная ошибка, причем е.. ~ N (0, а2)

Так как блоки представляют собой ограничение на рандомизацию, то рассматривается гипотеза относительно эффектов обработок:

Я0:г,=гг=...=г,=О

НхкФ 0, где 1 < к < а.

Общая изменчивость данных, выраженная общей скорректированной суммой квадратов может быть представлена в виде разбиения

^общ = ^обр(испр) + $$бл + +^ош

В сумме квадратов для обработок введена поправка для разделения эффектов блоков и обработок. Исправленная сумма квадратов для обработок определяется выражением:

55»бр(ие„р) = где Qi - исправленная сумма наблюдений для і - ой обработки.

Qi = Уі. ~ ЩіУ.і, і = Г,а,

причем, Tiij= 1, если і - ая обработка встречается в j - ом блоке

Пц= 0, если і - ая обработка не встречается в j - ом блоке. Замечание: Сумма исправленных сумм по обработкам всегда равна 0.

і=| ;=1 /V К у=1 /V

•-*•-*0111 •-*•-*0614 •^•^обр(испр) $$бл-

При проверке гипотезы о равенстве эффектов обработок должна использо-

М50бр(испр)

ваться статистика : г0 =---———.

MS0IU

Основные соотношения собраны в таблицу дисперсионного анализа

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Степень свободы

Средний квадрат

Статистика

Fo

Обработки (исправленные)

SSo6p(uenp)

а-1

•^обр(испр)

а-1

^•^обр(испр) MSOU1

Блоки

SSgj!

b-1

55бл

Ь-1

Ошибка

ss0UI

N-a-b+1

ssow N-a-b+1

Сумма

SSofnq

N-1

Пример Инженер-химик считает, что время протекания некоторого химического процесса зависит от вида применяемого катализатора. В процедуру эксперимента входит выбор партии сырья, загрузка опытной установки, проведение отдельного цикла работы опытной установки с каждым из катализаторов и определение продолжительности реакции. На эффективность применения катализатора может влиять изменчивость сырья по партиям. Инженер решил использовать партии в качестве блоков. Объем партии позволяет провести только 3 цикла работы. Результаты измерений приведены в таблице.

Обработка (катализаторы)

Блок (партии сырья)

Уі.

1

2

3

4

1

73

74

71

218

2

75

67

72

214

3

73

75

68

216

4

75

72

75

222

У-j

221

224

207

218

у„ = 870

Решение: а = 4; b = 4; к = 3; г = 3; N = 12.

  • 2=^ = 2.
  • 4-1

ss- = І І Уї,~уі. = 81; SS,.„ у:. = 55.

Определим исправленные суммы по обработкам.

Qi = Уі. ~ ^=1nijyjf і = ta,

Qi = У1. - (1/3) *(l*y.i + l*y.2 + О*у.з + l*y,4) = 218 - (l/3)*(221+224+218) = -3

q2 = y2 _ (1/3) *(O*y.j + l*y,2 + l*y.3 + l*y,4) = 214 - (l/3)*(224+207+218) = = -7/3

Q3 = 216 - (l/3)*(221+224+207) = -4/3

Q4 = 222 - (l/3)*(221+207+218) = 20/3.

Проверим правильность найденных значений: -З + (-7/3) + (-4/3) + 20/3 = -20/3+20/3 = 0.

55о6р(испр) = ?е?=1

S'?

- SS6jI = 81 - 55 - 22,75 = 3,25.

^общ ^обр(испр)

Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице

Источник изменчивости

Сумма квадратов

Степень свободы

Средний квадрат

Статистика

Fo

FKp (0,05;3;5)

Обработки (исправленные)

22,75

3

7,58

11,66

5,41

Блоки

55

3

Ошибка

3,25

5

0,65

Сумма

81

И

Вывод: Так как Fo > F(o,o5;3;5), то применяемые катализаторы оказывают значимое влияние на время протекания процесса.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >