Производственная функция в долгосрочном периоде. Правило оптимального выбора факторов производства

В долгосрочном периоде, как мы уже знаем, все факторы производства являются переменными (и капитал и труд).

Фирма, определяя свое поведение, сталкивается с решением следующих задач:

• 1) выбор оптимального сочетания факторов производства;
• 2) минимизация издержек при каждом заданном объеме производства;
• 3) выбор объема производства, максимизирующего прибыль.

Если факторы производства являются частично взаимозаменяемыми, то любая фирма, осуществляющая свою деятельность с использованием двух переменных факторов (а в долгосрочном периоде все факторы переменные), сталкивается с проблемой выбора оптимальной комбинации этих факторов для получения заданного объема выпуска и минимизацией издержек при каждом заданном объеме производства.

Для нахождения оптимальной комбинации факторов производства используются изокванты и изокосты.

Изокванта - это кривая, любая точка на которой показывает различные комбинации двух переменных факторов, обеспечива-

ющих один и тот же объем выпуска продукции.

Изокванта - это графическое выражение производственной функции (рис. 7.2).

Все возможные технологически эффективные комбинации двух факторов, соответствующих определенному объему производства (на рис. 7.2 Q = 90 ед.), находятся на кривой (на изокванте).

Другие комбинации факторов, позволяющие выпускать данный товар и получать при этом больший или меньший объем продукции, будут располагаться на других изоквантах, которые в совокупности образуют карту изоквант (рис.7.3).

Q= 113

Q=106

Q=90

> L

Рис. 7.3. Карта изоквант

Карта изоквант - это набор изоквант, показывающих все допустимые варианты производства данного блага.

Изокванты никогда не пересекаются.

Каждой изокванте соответствует определенный объем выпуска, и чем дальше изокванта от начала координат, тем больше объем выпуска она обеспечит.

Изокванта является графической формой выражения производственной функции. Поэтому она обладает теми же характеристиками, что и производственная функция:

• 1) изокванта показывает максимальный объем выпуска для каждой отдельной комбинации факторов;
• 2) изокванты вогнуты и становятся более пологими по мере продвижения сверху вниз вдоль них. При движении вниз вдоль изокванты требуется все больше единиц труда для замещения каждой единицы капитала, в результате предельная производительность труда снижается, а предельная производительность капитала растет;
• 3) изокванты имеют отрицательный наклон, так как для сохранения неизменным объема выпуска продукции при уменьшении использования одного фактора необходимо увеличить применение другого.

Выпуск заданного объема продукции можно получить при разных комбинациях капитала и труда, следовательно, факторы производства можно частично замещать друг другом.

Предельная норма технологического замещения (MRTS) - это отношение изменения в количестве одного фактора к изменению в количестве другого при сохранении неизменным объема производства.

Формула расчета предельной нормы технологического замещения (MRTS) такова:

MRTSkl = -ЛК/AL.

Предельная норма технологического замещения показывает, на сколько единиц следует уменьшить один фактор (капитал) для того, чтобы его заменить единицей другого фактора (труда).

Уменьшая использования одного фактора, например капитала (ЛК), фирма уменьшает объем выпуска на AQ = МРк '(-ЛК). Но для того, чтобы остаться на той же изокванте, сокращение объема используемого капитала должно компенсироваться увеличением применяемого труда (zlL) на AQ = MPl ' ЛЬ.

Следовательно, для того чтобы выпуск остался неизменным должно выполняться равенство:

MP_L ? ЛЬ+ МРк'ЛК = О

или

MPl'ЛЬ = МРк'(-ЛК).

Из этого следует, что,

MP_L/MP_K= -ЛК / ЛЬ = MRTSkl-

Таким образом, предельная норма технологического замещения факторов производства равна обратному соотношению их предельных продуктов ( их предельных производительностей).

По мере движения по изокванте вниз MRTSkl уменьшается (поэтому кривая имеет выпуклую к началу координат форму). Это объясняется тем, что по мере замещения капитала трудом (сокращение фактора К и увеличение количества фактора L) предельный продукт капитала (МРк) растет, а предельный продукт труда (MPl) уменьшается (числитель убывает, а знаменатель растет). Следовательно, предельная норма технологического замещения капитала трудом убывает. И наоборот.

С другой стороны, равенство MPl / МРк = -ЛК / AL говорит о том, что в любой точке изокванты, предельная норма технологического замещения одного ресурса другим равна наклону касательной к точке, лежащей на изокванте. MRTSkl - наклон изокванты.

Изокванты имеют различный вид в зависимости от степени взаимозаменяемости факторов производства (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Различные виды изоквант:

а - абсолютно взаимозаменяемые факторы производства; б - комплементарные факторы производства (взаимодополняющие); в - частично взаимозаменяемые факторы производства

Изокванты, имеющими форму прямых линий (рис. 7.4, а), характеризуют абсолютную, полную взаимозаменяемость факторов, то есть один фактор может быть полностью заменен другим. В этом случае производство может осуществляться даже при помощи одного фактора производства. Например, продажа напитков может производиться продавцами, а может - через автоматы. В этом случае, предельная норма технологического замещения постоянна во всех точках изокванты.

Предельная норма технологического замещения для абсолютно взаимозаменяемых факторов постоянна’.

MRTSkl=cohs 7

Тогда производственная функция имеет вид:

Q=aK+f}-L

Изокванты в виде прямого угла (рис. 7.4, б) характерны для ком-лементарных факторов производства, т.е. взаимодополняемых. В данном случае производственная технология такова, что замещение между факторами производства невозможно.

Предельная норма технологического замещения для взаимодополняемых факторов равна нулю:

MRTSkl=0.

Для того чтобы осуществить процесс производства, оба фактора должны применяться в одной и той же строго определенной пропорции, например, 1 автомобиль и 2 водителя (1 ед. К и 2 ед. L). Обязательным условием перехода на новую изокванту является не только увеличение двух факторов, но и соблюдение заданной пропорции в использовании ресурсов. Если же произойдет увеличение одного фактора без изменения другого, то переход невозможен. Например, сочетание 3 автомобиля и 2 водителя экономически бессмысленно, так же как и сочетание 1 автомобиль и 6 водителей. Переход на более высокую изокванту в данном случае возможен при сочетании 3 автомобиля и 6 водителей.

В случае взаимодополняемых факторов, производственная функция имеет вид (это производственная функция В. Леонтьева):

Q=f(K,L) = min{aK,pL}

Это означает, что объем выпуска будет равен минимальной из величин, которые будут получены при подстановке в функцию количественных значений переменных факторов.

Допустим а=3, р= 2, К=, L=2, то объем выпуска будет равен 3, так как Q= min{3(l),2(2)} (из возможных объемов 3 и 4 выбирается минимальный объем - 3).

В случае частично взаимозаменяемых факторов (рис. 7.4, в) производство продукции может осуществляться с обязательным использованием двух факторов. Их комбинации могут быть различными в зависимости от заданной производственной функции (это производственная функция Кобба-Дугласа):

Q=AK^aiJ^}.

В долгосрочном периоде фирма имеет возможность не только комбинировать факторы производства, но и изменить количество применяемых факторов, то есть изменить масштабы производства.

Одновременное и пропорциональное изменение всех факторов производства может привести к различным изменениям выпуска продукции. Это называется эффектом масштаба производства (или отдачей от масштаба производства).

Эффект масштаба производства (отдача от масштаба производства) - это соотношение между изменением всех производственных факторов и изменением объема выпуска продукции.

Эффект масштаба (отдачу от масштаба) можно измерить путем сравнения процентного изменения выпуска продукции с процентным изменением количества используемых факторов.

Различают постоянный, положительный и отрицательный эффекты масштаба производства. Или, по-другому: постоянную, возрастающую и убывающую отдачу от масштаба.

1. Постоянный эффект масштаба (постоянная отдача от масштаба) имеет место, когда объем выпуска продукции изменяется в той же степени, что и изменение факторов. При пропорциональном увеличении количества факторов в п раз, объем производства возрастает также в п раз, т.е. Qi = n-Q.

Например, при удвоении количества всех используемых факторов объем производства тоже удвоится.

• 2. Положительный эффект масштаба (возрастающая отдача от масштаба) имеет место, когда объем производства возрастает в большей степени, чем возрастают факторы производства. При пропорциональном увеличении количества факторов в п раз, объем производства увеличится более чем п раз, т.е. Qi > n-Q.
• 3. Отрицательный эффект масштаба (убывающая отдача от масштаба) имеет место, когда объем производства возрастает в меньшей степени, чем возрастают факторы производства. При пропорциональном увеличении количества факторов в п раз, объем производства увеличится менее чем п раз, т.е. Qi < n-Q.

Желая получить заданный объем продукции, фирма стремится минимизировать издержки (затраты) на факторы производства. Однако, разные комбинации факторов производства требуют разных затрат. При этом возможно найти такие сочетания факторов, приобретение которых потребует от фирмы одинаковых затрат (издержек). Графическим изображением этих сочетаний факторов является изокоста - линия равных издержек.

Изокоста - это линия, отражающая разные комбинации факторов производства, предполагающих равные суммарные издержки (рис. 7.5).

Выразим общие издержки на факторы производства:

ТС= PkK+PlL, где ТС - общие издержки, равные сумме постоянных и переменных; Рк - цена единицы капитала; К - количество капитала; Pl - цена единицы труда; L - количество труда.

Изокоста строится следующим образом. Если предположить, что весь бюджет фирмы тратится только на приобретение капитала, то можно приобрести максимально ТС/Рк единиц капитала. Если все тратится только на приобретение труда, то можно приобрести максимально TC/Pl единиц труда. Соединив эти крайние точки, получим изокосту (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Изокоста

TC/Pl

Любая точка на изокосте показывает такое сочетание двух факторов, при котором совокупные расходы (общие издержки) на их приобретение одинаковы. Изокоста описывается уравнением:

ТС= Pk-K+Pl-L, или

р р ^г к ^гк

Угол наклона изокосты равен предельной норме технологического замещения и обратному отношению цен используемых факторов производства. Это доказывается следующим образом:

„n-r-е тс/Р_к Р,

MRTS... = tea =--- ——- = —-

AL TC/P_L Р_к

Таким образом, наклон изокосты равен обратному отношению цен используемых факторов.

Если фирма увеличит количество одного фактора, то она должна сократить использование другого. Для того чтобы сохранить неизменными совокупные расходы на приобретение факторов должно выполняться следующее условие:

-ЛК/ AL = Pl/Pk.

Изокоста - это одновременно и линия равных издержек, и линия бюджетного ограничения фирмы.

Учитывая это, уравнение бюджетного ограничения фирмы может иметь вид:

5- P_k K+Pl L, где В - бюджет фирмы, предназначенный для закупки факторов; Рк-цена единицы капитала; К - количество капитала; Pl- цена единицы труда; L - количество труда.

Например, бюджет фирмы, предназначенный для закупки факторов, составляет 1000 руб., цена 1 единицы капитала 500 руб., а цена единицы труда 250 руб. В этом случае фирма может приобрести 2 единицы капитала или 4 единицы труда (рис. 7.6).

4

Рис. 7.6. Изокоста (для бюджета Bi = 1000 руб.)

На положение изокосты оказывают влияние два фактора:

• 1 - изменение величины бюджета и
• 2 - изменение цен факторов производства.

Эти случаи приведены на рис. 7.7.

Рис. 7.7. Изменение положения изокосты:

а - сдвиг изокосты; б - изменение угла наклона изокосты

• 1. Изменение величины бюджета вызывает сдвиг изокосты (влево, если бюджет уменьшился и вправо, если бюджет увеличился). Графически эта ситуация представлена на рис. 7.7, а.
• 2. Изменение цен факторов производства приводит к изменению угла наклона изокосты. Графически эта ситуация представлена на рис. 7.7, б.

Возможны также случаи одновременного изменения и бюджета, и цен на факторы производства.

Задача фирмы (предпринимателя) состоит в том, чтобы выбрать такую комбинацию факторов, которая обеспечивает производство заданного (необходимого) объема продукции с наименьшими издержками. Эта комбинация называется оптимальной, т.е. наилучшей.

Для определения оптимального сочетания факторов графически необходимо наложить карту изоквант на изокосту (рис. 7.8).

Оптимальным будет такая комбинация факторов, которая графически соответствует точке, одновременно находящейся на изокванте и изокосте с минимальным уровнем издержек.

Рис. 7.8. Выбор оптимального сочетания факторов

Пересечение изокосты с изоквантами мы видим в точках А, В и D. Все три точки принадлежат одной изокванте, следовательно они все обеспечат получение заданного объема продукции - Q. Однако, точки В и D расположены на изокосте 5?. т.е. они показывают сочетания факторов, которые требует больших издержек, чем сочетание факторов в точке А (точка А расположена на изокосте В2).Следовательно, точка А является оптимальной, поскольку именно эта комбинация факторов позволяет произвести объем Q при минимальных издержках.

В точке А, угол наклона изокосты будет равен углу наклона изокванты. Зная, что угол наклона изокванты равен предельной норме технологического замещения (MBTSkl,), а угол наклона изокосты ра вен обратному отношению цен используемых факторов (PJPk), получаем следующее равенство:

_MRTS_KL^^=^.

' МР_К Р_к.

Это равенство является правилом (условием) выбора оптимального сочетания факторов, обеспечивающих минимум издержек для достижения заданного объема выпуска продукции.

Правило выбора оптимального сочетания факторов можно сформулировать следующим образом; фирма должна изменять соотношение факторов до тех пор, пока предельная норма замещения факторов (MRTSkl) будет равна обратному соотношению цен факторов производства (JPl/Pk).

Отсюда следует ряд выводов:

• 1) фактор производства применяется до тех пор, пока его предельная производительность, выраженная в денежных единицах, не станет равной его рыночной цене, являющейся ограничительным пределом применения фактора;
• 2) оптимальная комбинация факторов достигается тогда, когда соотношение предельных производительностей факторов равно соотношению их рыночных цен;
• 3) соотношение цен и предельных производительностей факторов производства обусловливает спрос в отношении каждого из них.

В краткосрочном периоде если цена на какой-либо фактор растет, то фирма будет сокращать его использование и увеличивать более дешевый фактор. Однако изменение использования факторов производства приводит к изменению издержек производства. И любое ограничение по использованию какого-либо фактора приведет к росту издержек и не позволит фирме добиться оптимального сочетания факторов. Однако в долгосрочном периоде фирма располагает боле широкими возможности для комбинирования факторов для каждого заданного объема производства, поскольку издержки в долгосрочном периоде ниже издержек в краткосрочном.

Определив оптимальное соотношение факторов для объема Q, можно проделать это же для объемов Qi, Q2 и т.д. В результате получим некую карту оптимальных с точки зрения издержек вариантов осуществления производства (рис. 7.9). Комбинация факторов в точке А даст наименьшие издержки при объеме Qi, в точке В находится оптимальное сочетание факторов для объема Q2, в точке С - для объема Q3. Соединив все точки оптимумов для различных объемов производства (А, В, С) получим кривую, называемую траекторией роста фирмы.

Траектория роста (или путь развития) фирмы показывает оптимальные комбинации факторов при существующих цепах для каждого объема выпуска.

Принимая решения об изменении объемов производства, фирма будет двигаться вдоль данной кривой.

Направление траектории роста зависит от соотношения цен факторов и их предельных производительностей. Различные формы траектории развития приведены на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Различные формы траектории развития фирмы: а - капиталоемкие технологии; б - смешанные технологии; в - трудоемкие технологии

Для большинства производителей наиболее вероятным является смещение траектории развития в сторону капитала из-за перехода к более капиталоемким технологиям (рис. 7.10, «). Если технология тре бует постоянного соотношения факторов, то будет наблюдаться линейная траектория развития (рис. 7.10, б). Если имеет место трудоемкая технология, то имеет место понижающаяся траектория развития (рис. 7.10,

Как было сказано выше, в точке касания наклоны изокванты и изокосты равны. Наклон изокосты равен отношению цен факторов (PiJPk ), а наклон изокванты равен предельной норме технологического замещения (MRTSkl.).

MRTSkl = -ЛК/AL= P_lI Рк,

MRTSkl = -ЛК/ AL = МРJ MP к, следовательно:

MPJMPk-PJPk,

Отсюда получаем следующее правило минимизации издержек:

МР МР

^lvirL _ ^тгк - правило минимизации издержек.

Л ^Рк

Правило минимизации издержек гласит: оптимальное сочетание факторов, используемых в процессе производства, достигается тогда, когда последний затраченный рубль на покупку каждого фактора дает одинаковый предельный продукт (одинаковый прирост общего выпуска продукции).

С точки зрения рационального экономического поведения, это означает, что фирма будет стремиться замещать более дорогой фактор производства более дешевым до тех пор, пока предельные продукты на рубль цены обоих факторов сравняются. Например, если капитал дороже труда (MPl/Pl > МРк/Рк), тогда фирма будет минимизировать свои издержки путем замены капитала трудом. Если же труд дороже капитала (MPl/Pl < МРк/Рк), то фирма будет труд заменять капиталом. Проиллюстрируем это простым примером.

Пусть фирма использует 4 ед. труда и 9 ед. капитала. Цена труда (Pl) = 100 руб., цена капитала (Рк) = 100 руб. Предельный продукт 4-й ед. труда (МРъ) = 12, а 9-й ед. капитала МРк = 6.

Согласно правилу минимизации издержек, должно выполняться равенство:

MP_l/Pl = МРк/Рк.

В нашем примере, получается: 12/100 > 6/100, 0,12 > 0,06.

Это не соответствует правилу минимизации издержек. Следовательно, данная комбинация факторов не является оптимальной, так как последний рубль, затраченный на приобретение дополнительной единицы труда, дает прирост продукции больше, чем последний рубль, затраченный на приобретение дополнительной единицы капитала (0,12>0,06). В этой ситуации фирме следует заменить относительно дорогой фактор (капитал) относительно дешевым фактором (трудом), то есть увеличить количество труда и уменьшить количество капитала. Это замещение капитала трудом следует проводить до тех пор, пока отношения предельного продукта к цене для двух факторов не сравняются.

Решив задачи выбора оптимальной комбинации факторов производства и минимизации издержек для получения заданного объема производства, фирме необходимо решить задачу максимизации общей прибыли.

Минимизации издержек - это обязательное, но не достаточное условие для максимизации общей прибыли фирмы. Разница между минимизацией издержек и максимизацией прибыли состоит в следующем. При достижении оптимальной комбинации факторов для любого объема выпуска принимаются во внимание цены факторов и их предельная производительность. Но при определении условий максимизации прибыли необходимо учитывать еще и предельный продукт фактора в денежном выражении.

Предельный продукт фактора в денежном выражении (MRP) определяется как произведение предельного продукта в физическом выражении и предельного дохода, полученного от продажи дополнительной единицы продукта..

MRP = МР • MR;

где MRP - предельный продукт фактора в денежном выражении; МР -предельный продукт в физическом выражении; MR - предельный доход от продажи дополнительной единицы продукции.

Прибыль фирмы максимизируется при условии, когда предельный доход от дополнительной единицы переменного фактора (от труда) будет равен предельным затратам, связанным с использованием этой дополнительной единицы переменного фактора, т.е. при условии:

MRP_l=MRC_l.

Однако, учитывая, что дополнительные затраты фирмы на привлечение дополнительной единицы переменного фактора (труда) равны цене покупки этого фактора (MRCl = Pl ), правило максимизации прибыли можно сформулировать следующим образом.

Правило (условие) максимизации прибыли: максимум прибыли фирма достигает тогда, когда предельный продукт переменного фактора в денежной форме будет равен цене переменного фактора.

Если фирма использует два переменных фактора - труд и капитал, то максимизация прибыли будет обеспечена при таком объеме производства, когда:

MRPl = Pl и MRPк = Рк, или

MRP_lIPl = 1uMRP_k/Pk= 1.

или

MRP^ _ MRP_K _ _ _Пр_авило максимизации прибыли.

Р Р

¹ L ^ГК

Правило максимизации прибыли (при использовании нескольких факторов) можно сформулировать следующим образом: максимум прибыли достигается тогда, когда предельные продукты в денежном выражении всех факторов производства будут равны их ценам, или каждый фактор используется до тех пор, пока его предельный продукт в денежном выражении станет равен его цене.

Соблюдение этого условия означает, что фирма функционирует эффективно, то есть достигается оптимальная комбинация факторов, минимизирующая издержки.

Обратим внимание, что правила (условия) минимизации издержек и максимизации прибыли несколько различается для фирм, функционирующих на конкурентном и неконкурентных рынках.

MRPJPl = MRPk/Pk = 1 - это условие максимизации прибыли для рынка совершенной конкуренции.

Если же фирма действует на рынке несовершенной конкуренции, то MRCl^PluMRCk^Pk.

Соответственно, правила минимизации издержек и максимизации прибыли записываются следующим образом:

МР МР

^шгь _ ^lvirK - правило минимизации издержек,

MRC_l MRC_k

MRP_l _ MRP_K _ _ _Пр_авил0 максимизации прибыли.

MRC_l MRC_k