Нелинейные колебательные системы

Колебательная система с линейным откликом - это наиболее простая и часто встречающаяся модель, но существуют и более сложные системы, хорошо поддающиеся численному моделированию.

В 1927 г. голландский инженер Балтазар Ван дер Пол сообщил об обнаружении устойчивых релаксационных колебаний. Уравнение, описывающее осциллятор с нелинейным затуханием (уравнение Ван дер Поля), имеет вид [6]:

d2x , dx , п

— + ^(1-х^.- + х = о.

Постоянная ц определяет нелинейную силу сопротивления. По своему смыслу ц > 0, так как сила сопротивления не может быть отрицательной. При равном нулю значении ц уравнение Ван дер Поля фактически переходит в уравнение свободных незатухающих колебаний. Случай ненулевого значения более интересен, рассмотрим его численное решение по аналогии с решением задачи о движении тела в среде с сопротивлением (см. лекцию 2).

Уравнение второго порядка следует привести к системе уравнений первого порядка:

= Vx, dt х

dVx

-^ = fi-a-x2yvx-x

и модифицировать программный код

% Сброс всех переменных

clear all;

% Задаем начальные условия и коэффициент сопротивления V0=10;

Х0=0;

MyKoeffMu=0;

% Задаем промежуток времени tspan=[O 2];

% Формируем начальные данные для системы ОДУ Condition=[XO; VO];

% Решаем систему

[t,R] = ode45(@MyDiffEquation, tspan, Condition);

°/оПостроение графиков figure();

hold on;

plot(t,R(:,l), t, R(:,2), 'LineWidth',,2);

legend (X(t)','Vx(t)));

figure();

hold on;

plot(R(:,l),R(:,2), 'LineWidth’,2);

legend ('Vx(X)');

% Формируем систему уравнений

%R(1) — соответствует x(t),

%R(2) - соответствует Vx=dx/dt.

function dRdt=MyDiffEquation(t,R)

MyKoeffMu=0;

dRdt=[R(2); MyKoeffMu *(1-R(1)*2) *R(2)-R(1)]; end.

Исследуем случай без затухания (у. = 0). Выполнение программного кода приведет к построению двух графиков, представленных на рис. 14 и 15.

Зависимости координаты и скорости от времени

Рис. 14. Зависимости координаты и скорости от времени

На первом из них приведены зависимости координаты и скорости от времени, мы наблюдаем хорошо известные гармонические колебания. Как видно, результат численного расчета соответствует аналитическому решению, найденному ранее.

Фазовая диаграмма гармонического осциллятора

Рис. 15. Фазовая диаграмма гармонического осциллятора

Рисунок 15 представляет собой фазовую диаграмму. В общем случае для построения фазовой диаграммы выбираются две переменные, которые однозначно определяют состояние системы второго порядка. Наиболее часто в качестве таких переменных выбираются обобщенные координаты и импульсы. Анализ фазовой диаграммы полезен, так как позволяет выявить все возможные состояния в системе, а также отслеживать динамику ее развития. Для нашего случая выбраны координата и скорость (соответствует случаю единичной массы). Видно, что фазовая диаграмма гармонического осциллятора представляет собой окружность.

Исследуем, как изменится поведение нашей системы в случае нелинейного отклика, для этого изменим значение р на ненулевое. Зависимости скорости и координаты от времени приведены на рис. 16.

Зависимость координаты и скорости от времени для осциллятора Ван дер Поля

Рис. 16. Зависимость координаты и скорости от времени для осциллятора Ван дер Поля

Как видно, движение в этом случае является периодическим: и координата, и скорость с течением времени восстанавливают свои значения. Однако закон изменения величин весьма далек от гармонического, что подтверждается фазовой диаграммой на рис. 17.

Изначально движение осциллятора не является периодическим, системе требуется некоторое время для перехода к такому состоянию. Область фазовой диаграммы, отвечающая за периодическое движение, представляет собой сложную геометрическую фигуру, что и говорит о негармоничности движения.

Фазовая диаграмма осциллятора Ван дер Поля

Рис. 17. Фазовая диаграмма осциллятора Ван дер Поля

Рассмотрим изменение фазовой диаграммы при изменении начальных условий движения. Для этого создадим несколько вариантов начальных значений координаты и скорости осциллятора и организуем их циклический перебор. Все результаты для сравнения будут выводиться на одну фазовую диаграмму.

% Задаем начальные условия и коэффициент сопротивления

V0=[4, -2, -5, 4] ;

Х0=[0, З, -1, -3];

MyKoeffMu=2;

% Задаем промежуток времени

tspan=[0 20];

% Решаем систему несколько раз с выводом графика

figured;

hold on;

grid on;

fori=l:4

Condition=[XO(i); VO (і)]

[t,R] = ode45(@MyDiffEquation(tspan, Condition);

plot(R(:,l),R(:,2), 'LineWidth ’,2);

end

Результат приведен на рис. 18.

Предельный цикл (1, 2, 3, 4 - начальные состояния системы

Рис. 18. Предельный цикл (1, 2, 3, 4 - начальные состояния системы,

5 - область предельного цикла)

Независимо от начального состояния системы (точки 1-4) с течением времени она приходит к установившемуся периодическому движению, получившему название «предельный цикл» (область 5 на фазовой диаграмме).

Существование предельных циклов обнаружено для многих нелинейных колебательных систем, одной из наиболее известных является аттрактор Лоренца, описываемый системой уравнений

^ = <7-(у-П at

^ = X-(r-Z)-y, at

— = X • Y — b • Z.

dt

Подобная система встречается в приложениях газодинамики, гидродинамики и оптики. В зависимости от значений параметров о, г и b возможны разные поведения системы (некоторые примеры приведены на рис. 19).

Необычное поведение аттрактора Лоренца связано с тем, что это одна из систем, в которых наблюдается динамический хаос, - явление, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то что оно определяется детерминистическими законами [7]. В основе динамического хаоса - неустойчивость решения по отношению к малому изменению параметров системы вблизи особых точек. При моделировании таких систем численными методами очень желателен предварительный теоретический анализ.

Аттрактор Лоренца

Рис. 19. Аттрактор Лоренца

Задания к лабораторному практикуму

1. Постройте график аналитического решения уравнения свободных незатухающих колебаний с начальными параметрами, заданными преподавателем.

  • 2. Промоделируйте вынужденные колебания под действием гармонической периодический силы. Найдите численное решение системы с параметрами, заданными преподавателем.
  • 3. Промоделируйте движение осциллятора Дуффинга - одномерного маятника, движущегося в поле.

U(X} = — + —.

J 2 4

Рассмотрите случай вынужденных колебаний под действием гармонической периодической силы. Рассмотрите случай для значений А = 2,75; В = 0,2.

4. Составьте программу для моделирования аттрактора Лоренца. Исследуйте поведение системы при различных комбинациях параметров о, г и Ь.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >