ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ МИКРОСИСТЕМНЫХ ДАТЧИКОВ

Расчет жесткостей однослойных упругих подвесов с криволинейными обводами

Наиболее ответственным узлом в ЧЭ механоэлектрических преобразователей интегрального исполнения является упругий подвес. Для упругих подвесов (интегральных и неинтегральных) характерным является одно общее свойство — это острая противоречивость требований к их характеристикам. Например, получение подвесов со сколь угодно малой жесткостью при одновременной их идентичности и надежности представляет собой одну из труднейших задач. Требование минимальной жесткости необходимо в основном для одной цели — для обеспечения точности измерительного прибора, которая обратно пропорциональна отношению жесткости «электрической пружины» к жесткости упругого подвеса. Живучесть интегрального подвеса определяется сведением к минимуму концентрации напряжений в местах его переходов к несущей корпусной пластине или к телу подвижной массы.

В свою очередь, концентрация напряжений обусловливается несколькими причинами: несовершенством геометрической формы подвеса, несовершенством химикотехнологических приемов при размерной обработке, а также наличием различных дефектов в кристаллах [7].

В целях получения математических соотношений для расчетов жесткостей упругих подвесов микросистемных подвижных узлов, применяемых в качестве чувствительных элементов в микросистемных акселерометрах и гироскопах, рассмотрим варианты конструкций маятникового и осевого типов. На рис. 3.1 приведена кинематическая схема ЧЭ маятникового типа и схема нагружения упругого подвеса, которая может использоваться в конструкциях как микросистемных акселерометров, так и гироскопов.

Подвес нагружен сосредоточенной инерционной силой Г|1Н, приложенной в центре тяжести чувствительной массы и распределенной нагрузкой вдоль подвеса с интенсивностью q.

Принимая инерционную массу абсолютно твердым телом, запишем уравнение моментов для балки подвеса:

?||М/^ = ^п-х)2 + /и/[(Оп+/)-х], (3.1)

Интегральный маятник

Рис. 3.1. Интегральный маятник: 1 — чувствительная масса; 2 — несущая пластина; 3 — упругий подвес

где ?|100| — модуль упругости по направлению [100]; J — момент инерции сечения подвеса; q — нагрузка, линейно распределенная вдоль подвеса; 1= 1и — аП расстояние от линии сопряжения подвеса с инерционной массой до центра тяжести маятника; /ц — плечо маятника.

Выполнив дважды интегрирование уравнения (3.1) при граничных условиях г(0) = z'(0) = 0, получим

Г ,dZ ЧД 2 2 Х I

?|1(1П|/— = — а„х-а„х +— + т/ 11001 dx 2 п п 3

х2

Ч+Ох-у

. / 2 3 4

г т X ?И00|^у й" Т “Т +Ї2 I+

(3.2)

Из уравнения (3.1) определим момент от сил инерции, действующих на чувствительный элемент при х = 0:

M = ^a>+mj(au+l).

(3.3)

Угол поворота инерционной массы найдем из первого уравнения системы (3.2) при х = ап:

dz

а = —

а

U^ + 2/l

dx

2EJ

Х=Л„

2т )

Угловую жесткость подвеса определим как отношение момента, действующего на чувствительный элемент, к углу поворота инерционной массы:

  • 1 +-------:I И----
  • 2т(а„+1)

(3.4)

где т„ = qan — масса подвеса.

При коротких подвесах с криволинейными обводами по толщине и ширине эффективная длина его, по сравнению с расстоянием от линии сопряжения с инерционной массой до центра тяжести маятника, является малой величиной, т. е. ап«: /. Масса подвеса также меньше массы маятника более чем на десять порядков, т.е. тп т. Соответственно, пренебрегая в (6.51) малыми величинами, получим для вычисления угловой жесткости подвеса следующую формулу:

_ ?|100Г

У ос а

(3.5)

Из (3.5) видно, что угловая жесткость упругого подвеса зависит от модуля упругости материала подвеса и от его геометрических характеристик: длины подвеса и момента инерции сечения подвеса относительно оси изгиба. Точка приложения силы на маятнике на угловую жесткость подвеса влияния не оказывает. В подвижном узле маятникового типа присутствует также и осевая составляющая жесткости. Для ее определения рассмотрим второе уравнение в системе (3.2). После подстановки пределов интегрирования получим

Соответственно составляющая осевой жесткости будет иметь вид

ЗЕ /о -Чіоо г

  • **11
  • (3.6)

Рассмотрим далее подвижный узел чисто осевого типа (рис. 3.2). Чувствительную массу будем считать абсолютно твердым телом, а упругие подвесы жестко заделанными как со стороны несущей пластины, так и со стороны чувствительной массы. Такая конструктивная схема упругой системы является статически неопределенной. Каждая из четырех балок подвеса нагружена распределенной нагрузкой q и неизвестными силовыми факторами F. и Mv в месте заделки балки подвеса с чувствительной массой.

Уравнение моментов для одной балки подвеса можно записать в следующем виде:

V = " Х)2" Е(а" ~Х) + М' ?

(3.7)

Интегрируя дважды (3.7) при граничных условиях z(0) = z'(0) = 0, будем иметь

(3.8)

Для определения неизвестных силовых факторов в (3.8) учтем уравнение связи

  • 4Е = mi = F Z J Z ИН
  • (3.9)

и граничное условие

dx

= 0.

(3.10)

Пренебрегая распределенной нагрузкой вследствие ее малости и подставляя (3.7) и (3.8) в (3.6) и (3.9), определим жесткость подвеса:

Осевой чувствительный элемент

Рис. 3.2. Осевой чувствительный элемент: 1 — подвижная масса; 2 — упругий подвес

= Л„н _ 12EJ/7 z(0) д’

(3.11)

Анализируя выражения (3.2) и (3.11), можно обобщить, что для получения численных значений как угловой жесткости, так и осевой необходимо определять моменты инерции сечения балок подвеса относительно оси изгиба. Далее приведена табл. 3.1 с готовыми формулами для вычисления моментов инерции подвесов трех распространенных видов сечений: прямоугольного, шестигранного и эллиптического по двум ортогональным осям.

Рассмотрим теперь особенности расчетов упругих подвесов с криволинейными боковыми обводами по ширине, а также по толщине. При рассмотрении жесткости с кривизной обводов по ширине представим ее в виде полинома второго порядка от координаты х:

bn (х) = Atx2 + Вхх + С,,

  • (3.12)
  • (3.13)

где константы Л,, Bt и С, находятся из геометрических размеров подвеса:

4=4(/>піах-/>тіп)/д’, С,=Лтах

Подставляя (3.13) в (3.12), развернув выражение для момента Jx в соответствии с табл. 3.1 и проведя операции интегрирования и преобразования аналогично (3.11)—(3.13), получим

100/(^п щах)

лм,

(3.14)

Таблица 3.1

где /(Л) = —— функция, учитывающая влияние кривизны обводов по ширине arctg^/lA-l

на жесткость упругого подвеса; Л =

Теперь рассмотрим жесткость подвеса с кривизной по толщине, представив ее также в виде полинома второго порядка от координаты х:

с(х) = А2х2 + В2х + С2,

где

Л, =4ус 1', B,=—Axi', С, = с ; у = (с —с )/с ? . (3.15)

2 п’ 2 2 п’ 2 птах’ • 'птах п пип // п тт

После интегрирования исходного уравнения (3.15) с переменной толщиной подвеса получим

q _ ^М^Сп min) у (у) а *?*11

(3.16)

/(Y) =

5 +бу

+ 4(1 + 2у)2

функция, учитывающая влияние кривизны обводов

по толщине на жесткость упругого подвеса. Здесь следует заметить, что в формулах (3.14) и (3.16) расчет моментов инерции осуществляется по тем же формулам табл. 3.1 с учетом отмеченной зависимости: в первом случае — от максимальной ширины btl подвеса, а во втором — от минимальной толщины сп. Особенности расчета жесткостей микромехани-ческого датчика угловых скоростей по конструктивной схеме (см. рис. 1.31,л) следующие. Подвижная масса ДУС подвешена на восьми Г-образных упругих подвесах. Такая подвеска позволяет чувствительной массе иметь линейные перемещения по осям х и у и угловое перемещение относительно ОСИ Z-

Каждый Г-образный подвес состоит из двух балок: горизонтальной и вертикальной, соединенных между собой под углом 90’. Один из концов составной балки жестко соединен с корпусной пластиной, а второй — с подвижным узлом. В любом случае на изгиб работает одна из балок Г-образного подвеса, а вторая — на растяжение или сжатие (рис. 3.3 а и б).

Считаем, что горизонтальные и вертикальные балки идентичны. Поэтому можно рассчитать жесткость одного подвеса, а жесткость полной подвески будет составлять сумму из восьми жесткостей одиночного подвеса. Жесткость балки, работающей на растяжение (сжатие), определяется в виде

Схемы деформации балок упругих подвесов

Рис. 3.3. Схемы деформации балок упругих подвесов: 7 — заделка к неподвижному основанию; 2 — балка, работающая на изгиб; 3 — Г-образное сочленение горизонтальной и вертикальной балок; 4 — балка, работающая на растяжение (сжатие)

F F ^поог

(3.17)

где F— площадь поперечного сечения балки; аП длина балки.

Найдем отношение жесткостей балок, работающих на растяжение (сжатие) к жесткости на изгиб:

Gy лс;’

(3.18)

Жесткость балок на растяжение (сжатие), определяемая формулой (3.17), превосходит жесткость той же балки на изгиб более чем на шесть порядков. Поэтому балки, работающие на растяжение (сжатие), можно принять недеформируемыми, а расчет жесткости на изгиб с достаточной точностью следует осуществлять по формулам (3.14) и (3.17).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >