ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИ ЧЕСКИХ ЦЕПЯХ КЛАССИЧЕСКИМ И ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДАМИ

Пример

Дано:

е(/) = ? = 26 В;

7?1 = 2 Ом;

Т?2 = 9 Ом;

?=11 мГн;

С = 360 мкФ.

Найти:

ur2 (0

  • 1. Система уравнений по законам Кирхгофа:
    • —і + Z] + z'2 = 0;

п • т di г-и с +

Сначала определяем ток i(t).

2. Независимые начальные уравнения:

мс(0_) = z/c(0) = wc(0+); zc(O_) = zc(O) = zc(O+).

До коммутации

z/c(0_) = 0 и z'c(0_) = 0,

следовательно,

zzc(O) = zzc(O+) = O; z(0) = z(0+) = 0.

3. Принуждённый режим.

В принуждённом режиме схема имеет вид

4. Определение корней характеристического уравнения и вида свободной составляющей тока.

Для схемы

найдём z(p):

Rl~c~

z(p) = R2+pL +----

/?,+ —

1 Ср

и получим уравнение

R2+pL +—— = 0.

2 r ^Ср + 1

Преобразуем его:

R{R?Cp + Т?2 + RCLp~ + pL + R = 0;

RyCLp1 + (RxR2C + Lp) + (R{ + R2) = 0.

Подставляем числовые значения:

2-360 10“611-10-3/?2 + (2-9-360 10“6 +11- 10’3)р + (2 + 9) = 0 .

Получаем

7,92 10-6р2 + 17,48-Ю’3 р + 11 = 0.

или

р2 + 2,21-10’3p +1,39 10’6 = 0.

Решаем его:

Д = (2,21 • 103)2 - 4 • 1,39 • 106 = -0,68 • 106;

А.^~2211О32±Л821О3=(-ЦО5±Л41)1О3 с".

Поскольку корни характеристического уравнения комплексносопряжённые, то свободная составляющая тока имеет вид

zCB = Ле-1105103" sin(410r+ (р).

Процесс носит колебательный характер.

5. Полный ток

z = znp + zCB = 2,36 + Ae~l 105' sin(41 Or + (р), А.

6. Определение постоянных интегрирования А и <р.

Первое уравнение для расчёта А и ср получаем из условия z(0) = 0, т.е. 2,36 + A sin ср = 0 .

Для получения второго уравнения запишем систему уравнений по закону Кирхгофа для момента t = 0+:

-f(0+) + z1(0+) + z2(0+) = 0;

z/c(0+) + T?2z(0+) + L—

^+7.^_+/ =E-

at z=o+

7Ц(0+)-«с(0+) = 0.

Учтём независимые начальные условия (п. 2) и получим

L— dt

t=0.

= Е, т.е. — = — = 26 =2,36 103.

dt L 11-Ю-3

Теперь продифференцируем выражение полного тока (п. 5):

— = -1105 А е-1105z sin(410t + <р) + 410 Ле'1105z cos(41 Ot + ф). dt

Запишем его для t - 0+ :

di dt

- -1105Л8Іпф + 410Лсо8ф

/=0+

и приравняем к ранее рассчитанному значению:

-1105 Л sin ф + 410Лсовф = 2,36 • 103.

Получим второе уравнение для расчёта постоянных интегрирования.

Решаем систему

Лвіпф - -2,36;

-1105 • Лзіпф + 410Лсо8ф = 2,36 • 103,

Л 2,36 Л = —-—, вІПф

-1105, --^-|8Іпф + 410||совф = 2,36-103,

V 8ІПф^ вІПф^

2607,8-967,6^ф = 2360,

^ф = 0,257,

Ф = 75,36° или ф = 1,32 рад,

Л =--^- = -2,44,

sin 75,63°

тогда ток будет равен

і = 2,36 - 2,44е“1105' sin(410t +1,32), А.

7. По условию задачи требуется найти напряжение uR1 :

% = R2h

uR1 = 9(2,36 -2,44e’1105'sin(410/ + 1,32)), В =>

=> 21,24 + 21,95е-1105/ sin(410/ +1,32), В ,

или

uR1 = 21,24 + 21,95е-1105r sin(410/ + 75,36), В .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >