Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и ёмкости

Короткое замыкание цепи

При коротком замыкании цепи с последовательным соединением г и С (рис. 4.6, а)

ri + uc=0, (4.64)

_ duc

так как і-С——, уравнение для переходного емкостного напряже-dt

ния ис, равного в этом случае его свободному значению ипс , будет гС-^ + мс = 0. (4.65)

Характеристическое уравнение

г Ср + 1 = 0 (4.66)

1 имеет корень р =--, тогда

гС

__1_ _? ис = ис = Лер1 = Ле гС = Ае х,

где т = гС - постоянная времени этой цепи. Если начальное напряжение на ёмкости было равно Uo , оно сохранится и для первого мгновения после замыкания, откуда определится постоянная интегрирования: uc(O) = A = Uo. (4.67)

Следовательно, напряжение на ёмкости убывает по экспоненте (рис. 4.6, б)

__1_

uc=UQerC. (4.68)

Ток

Z = С^- = сио(—— V'C = (4.69)

dt гС) г

возникает при коротком замыкании цепи скачкообразно, принимая Ц, , значение--— , а затем убывает по тому же экспоненциальному закону,

г

Так как это ток разряда, то знак его отрицательный.

Энергия, расходуемая на нагрев сопротивления г за время переходного процесса:

гг2 2/ ,

fOC ~ fOO / /Л-- I ~

W = ? ri2dt = ? —е rCdt = -CUq, (4.70)

т.е. равна энергии, запасённой в ёмкости до замыкания цепи.

Включение цепи на постоянное напряжение

При включении цепи г, С на постоянное напряжение Uo (рис. 4.7, а) ёмкость будет заряжать до принуждённого напряжения и'с = 1/0.

Тогда переходное напряжение

t

ис =и'спс =Uq+Ае гС. (4.71)

Напряжение на ёмкости до переходного процесса, а следовательно, и в первый момент после включения равно нулю:

нс(О) = ?7о+Л=О, (4.72)

откуда A=-UQ и _ t Ґ _ t

wc=t/o-tZoe rC =UQ 1-е rC , (4.73)

k J

т.е. напряжение на ёмкости постепенно нарастает до своего окончательного значения и тем медленней, чем больше постоянная времени т = гС (рис. 4.7, б).

Рис. 4.7

Ток зарядки

i = c^ = -cua{-—У* = dt гС) г

(4.74)

при включении цепи возникает скачком и изменяется по тому же показательному закону, что и ток разряда, но имеет положительный знак.

Следовательно, энергия расходуется на нагрев сопротивления за время переходного процесса, независимо от величины г будет такой же, как и в случае разряда, т.е. W = ^CUq, и равна энергии, которая запасается в ёмкости при её разрядке.

Интересно отметить, что при разрядке конденсатора постоянным током 10, например от источника тока с пренебрежимо малой внутренней проводимостью, время зарядки до заданного напряжения Uo си

было бы t =----, т.е. конечным, а потери в сопротивлении W =

при малом г будут малы.

Включение цепи на синусоидальное напряжение

При включении цепи г, С на синусоидальное напряжение u = Um sin(coZ + р),

где р - фаза включения (рис. 4.8, а), принуждённое напряжение на ёмкости

| І_ 1 соС

«с =

.2

- sinf coz + |/ - arctg— --— | = Uс sinf coZ + p-

гсоС 27 к 27

rcoC 2

Переходное напряжение

(4.75)

ис = и'с + и”с = UCm sin^coZ + v|/ - ср - у j + Ае

гС

(4.76)

иС (0) = UCm sinf V - Ф - J + А = 0,

(4-77)

откуда постоянная интегрирования

^ = -^CmSin| V-ф-у L

(4.78)

и окончательно

X X Z X _ t

“с = t/Cmsinl ®? + V-sinl V-9--K rC- (4.79)

Переходный ток цепи

/ = С-^^-= ZCT sin(co/+ |/- ф) + sinf|/-q)-- rC ? (4-80)

dt r(?)C < 2 J

При включении в тот момент, когда принуждённое напряжение л

на емкости равно нулю, например при ф - ф = —,

( лЛ

ис = UCm sinco/ и і = Im sinl со/ + — I, (4-81)

т.е. сразу после включения наступает установившийся процесс.

В общем случае на синусоидальные установившиеся напряжение на ёмкости и ток в цепи налагаются свободные составляющие, значения которых уменьшаются по показательному закону. В результате ток z и напряжения иа = ri и ис в течение некоторых промежутков времени могут превосходить максимальные значения Im , Uam, UCm . Величины сверхтока и перенапряжений зависят от фазы включения ф и от постоянной времени гС, определяющих, соответственно, начальные значения свободных составляющих и скорость их уменьшения.

При включении в тот момент, когда принуждённое напряжение на ёмкости получает максимальное значение UCm, а принуждённый ток равен нулю, например при ф - ф = 0:

=иСт^[^І -^j + Ucme ГС

(4.82)

I ~—

(4.83)

i = ImSin(?)t--— Є rC

m шС

В этом случае при большой постоянной времени гС получается большое перенапряжение на ёмкости, равное в пределе двойной амплитуды 2UCm установившегося напряжения на ёмкости, но малый сверхток (рис. 4.8, б). При малой постоянной времени может получиться сверхток /(0) = ^Ст , во много раз превосходящий амплитуду г

1т тока установившегося режима, но тогда перенапряжения на ёмкости практически не будет (рис. 4.8, в).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >