Статистические модели процесса при пассивном и активном режимах обучения

Пассивный режим обучения (случай однотипности обучаемых)

Пусть в некоторый моментвремени t уровень знаний к-го обучающегося равен xfe(t), где к = 1,К, К — общее число обучающихся. Естественно считать, что xk(t) является случайным числом, а поэтому для описания его свойств необходимо знание плотности распределения вероятностей этой величины — РК(хА (/)). Сказанное можно трактовать несколько иначе. Рассматривая одного абстрактного обучающегося, можно утверждать, что в момент времени t его уровень знаний x(t) будет представлять собой случайную величину с той же плотностью распределения вероятностей И"(х^ (/)).

Здесь необходимо сделать некоторые замечания. Коль скоро речь зашла о случайных величинах, то адекватным математическим аппаратом, их описывающим, является аппарат математической статистики и теории вероятностей. В этом случае возникает необходимость в решении статистических задач, полное решение которых заключается в поиске соответствующих плотностей распределения вероятностей. Именно последние дают возможность определять необходимые для практики величины, такие как математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты корреляции и т. д. В этой связи дальнейшее направление исследований, проводимых в настоящей работе, связано с определением необходимых плотностей распределения вероятностей.

Что можно сказать о характере зависимости W(x(t))?

Рассмотрим начальный момент времени, когда для каждого из обучающихся будем считать, что уровень знания ими дисциплины равен 0, т. е. х(0) = 0. Для этого момента времени вполне естественно предположить, что соответствующая плотность распределения вероятностей будет представлять собой 5-функцию, т. е. И/(х(0)) = 5(х).

Спустя какое-то (пусть даже небольшое) время А/ произойдет некоторая дифференциация обучающихся по уровню знаний. Одни приобретут знания в большей, другие в меньшей степени. Это значит, что плотность распределения вероятностей станет отли

чаться от 5-функции. Она начнет расширяться, сохранив свой максимум в окрестности нуля. Сказанное дает возможность использовать одно из представлений 5-функции для выбора плотности распределения вероятностей на самом первом, отличном от 0, уровне.

Как известно, одно из представлений 5-функции имеет вид

5(x) = lim—е м.

Это дает возможность в качестве стартовой плотности распределения вероятностей выбрать именно экспоненциальный закон:

И'(х(0)) = И'„(х;ц) = .

  • 1 --
  • —е м, еслих>0;

М (4.2)

0, если х < 0,

где параметр р совпадает с величиной математического ожида

ния (среднего) и со значением среднего квадратичного отклонения.

Определяющий параметр р. зависит от большого числа факторов, и прежде всего от квалификации обучающего, т. е. от его “стоимости” (оплаты труда). Чем она выше, тем, естественно, этот параметр больше. Кроме того, на значение ц влияет взаимопонимание обучающего и обучаемого, при этом всякое непонимание материала, требующее дополнительного труда для его разъяснения, ведет к удорожанию обучения, так как увеличивает р.

Экспоненциальный закон показывает, что большему “количеству знаний” соответствует меньшее количество обучающихся. В рамках одного обучающегося это означает, что на начальном этапе он скорее осваивает меньшее “количество знаний”, чем большее.

Для большей наглядности будем рассматривать не непрерывное время, а его дискретные значения (уровни 1, 2, ... п,...), соответствующие различным разделам дисциплины.

Дальнейшая задача состоит в определении изменения плотности распределения вероятностей в зависимости от выбранного дискретного уровня, при этом оставим основное допущение, что на каждом уровне сохраняется экспоненциальный закон по отношению к уже достигнутому уровню знаний. На первом этапе примем допущение, что значение параметра р. не зависит от уровня п.

В рамках сделанных предположений прямые вычисления при помощи формулы (4.2) позволяют получить искомую плотность распределения нахождения обучаемого на уровне п в точке с координатой хп в виде

<*»

где Г(п) — гамма-функция от п.

Формула (4.3) носит название распределения Эрланга n-го порядка. Соответствующие кривые представлены на рис. 4.2, на котором хорошо видно “расплывание” кривых. Уже после 6~8 шагов закон распределения величины — приближается к равномерному.

Формула (4.3) дает возможность получить среднее значение для уровня знаний:

00

= (4.4)

дисперсию: 0

Dn = -(х„) = -("Н)2 = "К (4.5)

и среднее квадратичное отклонение:_____

<4 = = <ГрХДх„;|л)і/г„-(/7ц)2 = V^i. (4.6)

V О

Плотность распределения вероятностей W(x/p) нахождения обучаемого на уровне п в точке с координатой х

Рис. 4.2. Плотность распределения вероятностей W(xn/p) нахождения обучаемого на уровне п в точке с координатой хп

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >