Цепь синусоидального тока с идеальным резистором

Рассмотрим электрические процессы, возникающие в цепи, состоящей из идеального резистора (рис. 32).

В резисторе происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Параметром, характеризующим это свойство резистора, является сопротивление R (англ. resistance) [11].

Пусть напряжение на резисторе изменяется по закону и — U_msvMdt.

Для упрощения начальная фаза принята равной нулю: |/_и = 0.

Ток в цепи определяется по закону Ома

Рис. 32. Схема замещения (а), временная диаграмма (б) и векторная диаграмма (в)

В этом выражении начальная фаза тока равна нулю (|/, = 0), то есть на резисторе ток и напряжение совпадают по фазе: <р = 0. Амплитудные и действующие значения связаны законом Ома

^т R

ИЛИ

Мгновенная мощность, потребляемая резистором, определяется выражением р = ul = (t/_WJsin(D/)(7_WIsin(i)0= U_mI_msin²wt. Поскольку sin²co/ = (1 — cos2(or)/2, то/? = ul = U_mI_msin²(x)t = U_mI_m( 1 — cos2w/)/2.

Мгновенная мощность положительная. Это означает, что вся энергия, поступающая от источника, потребляется активной нагрузкой с сопротивлением R.

На практике используют среднее значение мощности за период, его называют активной мощностью [2]:

1 т тт J Т П J Т

p = ±[_pdf=^LJ!L_dt--^_CQ^tdt,

Ті ЗТ і VT і

¹ о о о

т

J cos Itotdt = 0.

о

Поэтому

P ₌ ^LLhiLl _{= UI}

2

Если записать U_m и I_m через действующие значения U и / m=Uj2; = то получим Р = UI.

Активная мощность выражается в ваттах. Учитывая, что U=RI, получаем Р = RI².

Запишем электрические величины в комплексной форме.

Напряжение и ток (действующие значения) (7 = Ue^jSVu; Z = Ie''^Vl; Ф_И = Ф_;.

Комплексное сопротивление цепи Z

z =4 = = R ?-*.•> = R eJO = R.

~ L іе^'

Активное сопротивление R является положительным действительным числом (мнимая часть комплексного сопротивления Z равна нулю).

Цепь синусоидального тока с идеальной индуктивностью

Катушка индуктивности при протекании по ней тока обладает способностью создавать магнитное поле (рис. 33). Это свойство характеризуется параметром катушки, называемым индуктивностью L. Катушка обладает и активным сопротивлением Л_к:

Лс=Р->

где р — удельное сопротивление материала проводника; / — длина проводника; s — сечение проводника.

Для удобства анализа работы катушки в цепи переменного тока будем считать, что R_K = 0 (идеализированная катушка).

Пусть по катушке с числом витков w протекает ток, изменяющийся по закону I = /_wsinco/ (начальная фаза принята равной нулю). Этот ток создает синусоидальный магнитный поток, мгновенное значение которого [3]

Li

Ф_г = — = Ф,„ sin со/,

W

где Ф_т — амплитуда потока; Ф_г =—; начальная фаза и частота w

равны начальной фазе и частоте тока.

Напряжение источника U = U_L уравновешивается ЭДС самоиндукции e_L катушки:

_г с//,_и sin со/

и, --е, = L — -----= со Л/cos со/ =

^{L L} dt

г г • I 71 і _rT . I 71 = &LI_m sin co/ + — = U_m sin co/ + —

Рис. 33. Электрическая цепь с индуктивным элементом: а — схема замещения; б — временная диаграмма;

в — векторная диаграмма

Из выражения следует, что начальная фаза напряжения |/_й = =л/2. Следовательно, синусоида напряжения на идеальной катушке индуктивности опережает синусоиду тока по фазе на угол л/2: ср = = V_W-ЧЛ =л/2-0 = л/2.

На практике, если напряжение по фазе опережает ток, говорят об индуктивном характере нагрузки. График мгновенных значений и векторная диаграмма тока и напряжения цепи с индуктивностью представлены на рис. 33.

Амплитуда напряжения U_m = (?>Ы_т. Отсюда

1 т т

ML

Действующее значение тока

со?

Это выражение представляет собой закон Ома для идеальной индуктивности. Индуктивное сопротивление со? выражается в омах и обозначается X_L (англ, inductive reactance): X_L = wL = InfL.

Индуктивное сопротивление катушки существует только в том случае, когда происходит изменение тока во времени, и зависит от скорости этого изменения. При постоянном токе (f = 0) индуктивное сопротивление равно нулю.

В индуктивном элементе мгновенная мощность

p = ui = U_mI_m sinf со/ ч- —— I sin со/ = ^т^^т sin '2mt = UI sin2a>

¹ т т 2 1 2

Амплитудное значение мгновенной мощности UI называют реактивной мощностью Q_L (Q_L = UI), или, учитывая, что U = X_LI, Оь=ХіІ^г-

Размерность реактивной мощности — вар. Активная мощность в такой цепи, определяемая как средняя мощность за период, равна нулю.

С энергетической точки зрения характер графика мгновенной мощности отражает накопление энергии в магнитном поле катушки (когда мощность положительная) и возврат ее источнику питания (когда мощность отрицательная). Приемники, которые получают энергию от источника, а затем возвращают ее источнику, называют реактивными.

Запишем электрические величины в комплексной форме. Напряжение и ток в цепи имеют вид (действующие значения) U = = ие^^и I = Ie^‘; |/_м = л/2; |/, = 0; (р = л/2.

Комплексное сопротивление цепи

₇ V Ueⁱ⁴‘ . _]п/2 . , ,_?

Х = =—^r = (oLe^J ' =jcoL = jX_l.

L Ie^{J 1}

Индуктивное сопротивление является положительным мнимым числом.