Эмпирические модели и их математическое описание

Под математическим описанием эмпирической модели процесса будем понимать систему уравнений, связывающих функции отклика с влиянием управляющих параметров.

Ценность эмпирической модели заключается в следующем:

- дается информация о влиянии основных факторов на функцию отклика;

  • - позволяет количественно определить значения функций отклика при заданном режиме ведения процесса;
  • - модели служат основой для процедур оптимизации работы системы.
Схема формирования функции отклика

у = /(%,#)

Рис. 2.15. Схема формирования функции отклика

Геометрический образ соответствия функции отклика у = fр х2) называется поверхностью отклика. Координаты пространства, по осям которых отложены факторы, называется факторным пространством. Для удобства рассматриваемая поверхность отклика может быть представлена на факторной плоскости (хр х2) линиями построенных значений функции отклика (рис. 2.16).

Графическое изображение возможной поверхности отклика

Рис. 2.16. Графическое изображение возможной поверхности отклика

В основе получения этих моделей лежит эксперимент. Проводя эксперимент, мы должны ответить на два вопроса.

Первый — проверка воспроизводимости опытов

Прежде чем приступить к созданию математической модели, необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы. Для этой цели проводят несколько серий параллельных опытов в рассматриваемой области изменения влияющих факторов (рис. 2.17, табл. 2.3).

Варианты графической интерпретации функций отклика

Рис. 2.17. Варианты графической интерпретации функций отклика

Таблица 2.3

Экспериментальные данные

Результаты параллельных опытов

л

Sj

1

2

3

1

Лі

Лі

Л1

У1

2

Лі

Л2

л2

У2

s22

3

Лі

Лз

Лз

Уз

si

І

п

Лі

л2

Лз

уп

S2n

  • 1. По результатам каждой серии параллельных опытов вычисляется:
  • 1 п
  • 1 = ^-" ;і = У-к, (2.41)

Л У=1

где к — число параллельных опытов при одинаковых условиях.

  • 2. Для каждой серии параллельных опытов вычисляют оценку дисперсии:
  • 3. Из полученных значений Sj выбирают максимальное значение S2 :

maxSj. (2.43)

4. Рассчитывают критерий Кохрена:

max S', С =_____J-

(2.44)

р « ’

Zsy2

рассчитанное значение Ср соответствует условиям опыта.

  • 5. По таблицам находят табличное значение критерия Кох-рена Ст.
  • 6. Сравнивают расчетное и табличное значения. Если Ср < Ст, то опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсии однородными.

Если Ср > Ст, то опыты не воспроизводимы и, следовательно, что-то надо изменить и устранить нестабильность.

Второй — вычисление погрешности экспериментальных данных

Проверим оценку однородности дисперсии несколькими сериями параллельных опытов путем их усреднения: о 1 N

S2y= (2.45)

7Vy=i

f = N(k - 1) — степень свободы.

Оценку дисперсии среднего значения рассчитываем как:

С2

(2.46) к

Для того чтобы в известной мере скомпенсировать влияние системы погрешности, используют прием рандомизации.

Ошибки бывают:

  • - случайные;
  • - систематические.

Рандомизация помогает превратить систематическую погрешность в случайную.

Таким образом, рандомизация заключается в том, что опыты проводятся в случайной последовательности, которая устанавливается с помощью таблицы случайных чисел.

Полный факторный эксперимент

Метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами х01, ^02 - [1]оп К0Т0РЬ1е называются центром плана либо основным нулевым уровнем.

Необходимо получить некоторое представление о функции отклика, которая количественно характеризует протекание процесса в зависимости от влияющих факторов (рис. 2.18).

Схема факторного эксперимента

Рис. 2.18. Схема факторного эксперимента

Интервал варьирования — это такое значение фактора в физических величинах, прибавление которых к нулевому уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора Ах.:

Хін 01 “ ^1’

(2.47)

Х= Х02 + АХ? ’

Уровень фактора х.н, х.в — это определенное значение фактора, при котором будут проводиться измерения при проведении эксперимента по умолчанию модели процесса.

Очевидно, что интервал варьирования факторов должен составлять часть области определения факторов, если решается задача оптимизации. Это необходимо, чтобы осуществить движение к оптимизации в области определения факторов. Если решается задача аппроксимации, то интервал варьирования охватывает всю область L.

Пример. При проведении технологического процесса выход продукта зависит от концентрации компонента хр % и температуры х2, °С. В ходе исследования было получено:

=40%,xlmin =20%;

*2 min =40 C,X2max =80 С.

Найти сочетание факторов, при которых установка будет давать максимум продукции.

Графическая интерпретация зоны оптимума

Рис. 2.19. Графическая интерпретация зоны оптимума

В ходе предварительного эксперимента было получено, что функция отклика имеет максимум х01 = 30%, х02 = 60°С — центр плана (рис. 2.19).

Область М: Axj - 5%

Ах2 =5°С

х = х()| + Дх, =30 + 5 = 35% J

х ~ xoi _ = 30 - 5 = 25%;

Х= Х02 + = 60 + 5 = 65°С j

Х= Х02 ^2 = 60 - 5 = 5 5° С .

Перенесем начало координат факторного пространства в центр плана. С этой целью введем новую переменную X. — кодированную переменную (рис. 2.20).

Схема определения кодированных значений факторов варьирования

Рис. 2.20. Схема определения кодированных значений факторов варьирования

Так как чаще всего исследования проводятся при неполном знании механизма изучаемых явлений, то, естественно, и вид функции отклика у неизвестен. При решении задач ограничиваются поиском функции в виде отрезка ряда Тейлора:

у = р0+р1%1+р2Х2+... + РЛ« +

+ + 0(„_1)л Х(п_^Хп + (2.48)

+ Р11^4 + Р22^2 + • • • + ^пт^п

При этом обычно ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведение факторов в первой степени. Таким образом, удается находить уравнение у, если поверхность отклика у имеет не слишком большую кривизну.

Пользуясь результатами эксперимента, можно оценить лишь выборочные коэффициенты уравнения, которые являются лишь оценками для теоретических коэффициентов. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении (2.48), вместо символов р, обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут Ъ, подразумевая под этим соответственно выборочные оценки этих коэффициентов.

Итак, с помощью полного факторного эксперимента ищут математическое описание процесса в виде уравнения регрессии, а входящие в него коэффициенты — коэффициенты регрессии:

у = Ь0 +1^X1 + Ь2Х2 +... + ЬпХп + (2 49)

+ Z?12^i%2 + п-)пХ{п-')пХп

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируются на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и -1, т.е. в узловых точках. Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные не повторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

Матрица планирования эксперимента

Принцип построения матрицы планирования для ПФЭ:

  • 1) уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту;
  • 2) частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора в два раза меньше, чем у предыдущего.

xi

Х2

У

1

-1

-1

Уі

2

+1

-1

Уг

3

-1

+ 1

Уз

4

+1

+ 1

У.

Общее число опытов N = 2п:

N

(2.50)

j=N

N n

Zxji=Af;

(2.51)

j=l

N

(2.52)

где N — число опытов; j — номер опыта; г, j, т — номера факторов.

Свойства, выраженные выше, называются ортогональностью, и это свойство позволяет вычислять коэффициенты для уравнения регрессии по простым формулам независимо друг от друга.

На основании результатов ПФЭ вычисляются коэффициенты регрессии:

  • 1 N
  • (2.53)
  • 7Vy=l
  • 1 N

bi= м1ЛуУj J (2.54)

^7=1

1 N

blm = д, Z x jlx jmJ'y ; 1 * m • (2-55)

Анализ полученного уравнения регрессии

Проверка значимости коэффициентов регрессии. В результате расчетов может оказаться, что некоторые регрессионные коэффициенты могут оказаться пренебрежимо малыми. Значимость коэффициентов регрессии проверяются следующим образом.

Для серии параллельных опытов оценки однородных дисперсий можно усреднить и найти величину, называемую оценкой дисперсии воспроизводимости:

о 1 N э

Sy = -XSj, (2.56)

где f = N(k - 1); N — число опытов; к — число параллельных замеров.

Значимость коэффициентов регрессии оценивают по оценке дисперсии коэффициентов:

2 Sy

Sb = .r- (2.57)

к ? N

Учитывая, что при полном факторном эксперименте все коэффициенты получаются с одинаковой погрешностью, то принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие:

b > (2.58)

где t — критерий Стьюдента.

Если выполняется соотношение, то все коэффициенты значимы, в противном случае их можно исключить из уравнения регрессии.

Проверка адекватности полученного уравнения регрессии

Необходимо проверить, насколько хорошо полученное уравнение описывает поверхность отклика. Это делается с помощью критерия Фишера, который представляет собой: где 5ад,5г — оценка дисперсии адекватности и, соответственно, ошибка в дисперсии среднего значения.

i 7V 2

S= >

(2.60) где N — число опытов полного факторного эксперимента; В — число коэффициентов регрессии искомого уравнения, включая И Ьо; — это, соответственно, экспериментальное и расчетное значения функции отклика в j опыте.

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие F

J р т

  • [1] , #02 — центр плана. Чаще всего эти точки определяют некоторую точку факторного пространства, которая в ходе предварительного эксперимента была оценена как наилучшая (по максимуму или минимуму) переменной состояния. Чаще всего в работе диапазон изменения факторов, в которых факторы не изменяют своих физических свойств и не искажают сути исследуемого процесса, задается L — область определения фактора.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >