ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ СОЗДАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ

Основные представления теории подобия

Технологические процессы представляют сочетание различных физических, физико-химических и химических явлений, которые в принципе можно описать дифференциальными уравнениями, которые очень часто неразрешимы аналитически. Поэтому возникает необходимость экспериментального изучения процессов на опытных установках различных размеров.

Плодотворное изучение процессов опытным путем возможно только при наличии теории, которая обеспечивает правильную постановку экспериментов и обработку их результатов.

Такой теорией является теория подобия, основывающаяся на представлении о подобии процессов.

Она отвечает на следующие вопросы:

  • 1) как нужно организовать эксперимент, чтобы число требующихся опытов было минимальным;
  • 2) как обработать полученные данные, если количество этих данных минимально;
  • 3) как результаты экспериментов перенести на процессы, протекающие в условиях, отличных от условий опыта.

Теория подобия строится на основе особого анализа дифференциальных уравнений, описывающих течение исследуемого процесса, при котором не требуется их интегрирование.

При составлении дифференциальных уравнений процесс рассматривается в произвольно выбранном элементе объема dV в течение произвольного времени dx, т.е. выводится математическая модель исследуемого процесса, описывающая его в любом элементарном объеме за элементарный промежуток времени. При этом отвлекаются от частных особенностей процесса, вследствие чего интегрирование этих уравнений дает бесчисленное множество решений, которые описывают множество однородных процессов, т.е. класс явлений, признаком которого является единство механизма протекания процесса.

Чтобы из этого класса выделить единичный процесс, необходимо иметь дополнительные данные, характеризующие этот процесс. Эти дополнительные данные называются условиями однозначности и к ним относятся:

  • 1) геометрические условия, характеризующие размеры и форму объема, в котором протекают процессы;
  • 2) физические свойства среды, существенные для рассматриваемого процесса;
  • 3) граничные условия, характеризующие взаимодействие среды с телами, ограничивающими объем, в котором протекает процесс;
  • 4) начальное состояние системы, т.е. ее состояние в момент, когда начинается изучение процесса.

Условие однозначности, заданное в виде конкретных численных значений, в соединении с дифференциальными уравнениями выделяет из всего класса один конкретный процесс.

А как перевести результаты на группу процессов?

Теория подобия позволяет распространить данные единичного опыта на определенную группу подобных процессов в пределах рассматриваемого класса путем особого способа задания условий однозначности: в виде ряда подобных значений параметров, которые записываются в форме произведения соответствующих параметров на постоянные числовые множители.

Подобие условий однозначности включает:

  • 1) геометрическое подобие;
  • 2) временное подобие;
  • 3) подобие физических величин, характеризующих процесс;
  • 4) подобие граничных условий и начальных условий.

Геометрическое подобие. В этом случае отношение всех сходственных размеров, например, двух сравниваемых аппаратов, является величиной постоянной, т.е.:

В этом случае I. и Г— геометрические размеры, характеризующие соответственно первый и второй аппарат, а С(константа подобия (коэффициент подобного преобразования). При переходе к третьему аппарату, подобному первому, константа подобия Сг получает другое значение.

Временное подобие. Подобие соблюдается, если отношение между соответственными интервалами времени процесса сохраняет постоянное значение:

=г2 = ... = С , (2.2)

г’ тэ2 тэ3

где т. и т* — соответственно интервалы времени в первом и втором процессах; Ст — константа временного преобразования.

Рассмотрим временное подобие на примере. В первом аппарате загрузка материала происходит за интервал времени тр нагрев при перемешивании — т2, охлаждение — т3, выгрузка — т4, а общее время процесса т = 2 ч. Соответственно во втором т 2 аппарате имеем: т'р т'2, т'3, т'4, т = 4 ч. Тогда Сх = — = — = 0,5;

т 4 отсюда следует, что соотношение между интервалами в двух сходственных стадиях сохраняется постоянным:

Ct = T! =хг = r? = т4 = т =0>5 т, т2 т3 т4 т

Временное подобие называют гомохронностъю, причем частным случаем является синхронностьт = 1).

Подобие физических величин. Подобие выполняется, если отношение значений этих величин для подобных процессов в сходственные моменты времени является величиной постоянной, т.е.:

4 = 4 = ^ = ... = Ср, (2.3)

Pl Р2 Рз

где р1 и p'j — соответственно значения физических величин в первом и втором процессах; Ср — константа подобия.

Если физическая величина изменяется по объему, то для подобных процессов должно соблюдаться подобие полей физических величин.

В этом случае:

W-

Cw = (2.4)

где w и w — например, скорости жидкости в сходственных точках геометрически подобных аппаратов.

Подобие граничных условий. Все значения величин, характеризующих эти условия, для сходственных точек в сходственные моменты времени находятся в постоянных соотношениях.

Подобие начальных условий. Это означает, что в момент времени, когда начинается изучение процесса (начальный момент), соблюдается подобие всех физических величин, характеризующих процесс. Таким образом, в двух подобных процессах изменение переменных, обусловливающих процесс, протекает подобно, т.е. изменясь, они отличаются только постоянным множителем преобразования.

Пусть для первого процесса функциональная зависимость в общем виде записывается:

F(/,T,p,...) = 0,

  • (2.5)
  • (2.6)
  • (2.7)

тогда для второго процесса, подобному первому:

F(/',t',p’,...) = 0, или

Следовательно, для соблюдения подобия нужно найти и выдержать условия, при которых умножение переменных в уравнениях на постоянные множители не меняло бы уравнение.

Для нахождения указанных условий проанализируем второй закон Ньютона:

F-ma-m^-, (2.8)

dr

где F — сила, Н; т — масса, кг; w — скорость, м/с; т — время, с.

Так как размерности правой и левой частей уравнения равны, то если разделить левую часть уравнения на правую, получим в левой части безразмерную величину:

F • dr т • dw

(2.9)

Применим последнее уравнение для двух подобных процессов. Для первого процесса:

F -dr _ т -dw

  • (2-Ю)
  • (2.11)

а для второго процесса, подобного первому:

F -dr _ т -dw

Поскольку процессы подобны, то переменные последнего уравнения можно выразить через переменные предыдущего уравнения путем умножения на соответствующие константы подобия:

F =Cf F , т = Ст • т , т = Ст-т, w = Cw-w, (2.12) откуда

CFF'd(CTT’) =1, CFCT/dT (2.13)

Стт d(CH.w ) CmCwm dw

Из записанных уравнений видно, что полученный комплекс из констант подобия должен быть равен единице, так как только при этом условии умножение переменных в уравнении на постоянные множители не меняет этого уравнения. Безразмерное отношение констант подобия называется индикатором подобия:

Из полученного соотношения видно, что мы можем произвольно выбрать три независимые константы подобия, а значения четвертой следует определять из этого соотношения.

Если в соотношении (2.14) константы подобия заменить отношением переменных, то получим другую форму уравнения, выражающего подобие процессов:

= 1, (2.15)

)

или

F • т F • т ., л

, , = „ ,=...= idem. (2.16)

т • w т • w

Обозначение idem следует понимать как «одно и то же». Это понятие не равносильно понятию постоянства полученного безразмерного комплекса для подобных процессов. В каждом из подобных процессов комплексы изменяются в пространстве и во времени. Но изменения эти происходят так, что для любых сходственных точек объема в сходственные моменты времени комплексы во всех подобных процессах принимают одно и то же значение.

Безразмерные комплексы, составленные по типу полученных комплексов, играют большую роль в теории подобия и получили название чисел (критериев подобия). Так, например, полученный критерий называется числом (критерием) Ньютона, он определяет механическое подобие:

Ne = — . (2.17)

mw

Анализ основного дифференциального уравнения показывает, что критерий Ne может быть получен из этого уравнения в результате следующих операций:

  • 14 Л. k
  • 1) запись дифференциального уравнения: г =т—,

dr

2) получение безразмерного комплекса делением обеих час-

F • dr л тей уравнения на правую часть: = 1;

m-dw р

3) вычеркивание символов дифференцирования: Ne =

т ? w

В теории подобия показано, что аналогичным путем критерии подобия получаются из дифференциальных уравнений любой степени по следующей схеме:

  • 1) запись дифференциального уравнения, описывающего исследуемый процесс;
  • 2) получение из дифференциального уравнения безразмерного комплекса величин делением обеих частей уравнения на правую или левую часть (при наличии в уравнении слагаемых производится деление всех слагаемых на одно из них);
  • 3) вычеркивание символов дифференцирования, включая символы порядка производных. Символы, показывающие степени переменных, по которым производится дифференцирование, сохраняются. Символы суммирования аналогичных членов дифференциального уравнения и индексов вычеркиваются. Если в выражение критерия входит линейный размер, то выбирается тот размер, который наиболее полно характеризует систему (например, диаметр трубы при изучении процесса движения в ней жидкости).

Кроме критериев, полученных из подобного преобразования дифференциального уравнения, применяют критерий, характеризующий условия задачи исследования. Например, при исследовании движения жидкости по змеевику задают диаметр трубы d и радиус змеевика R, откуда для подобных процессов следует:

— = idem.

R

Критерии, представляющие собой отношение двух одноименных величин и получающиеся непосредственно из условий задачи исследования, называются параметрическими критериями (симплексами).

Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем.

Первая теорема подобия. Подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подобия.

В соответствии с теоремой в опытах следует измерять те величины, которые входят в критерии подобия. Критерии подобия, составленные из условий однозначности, называются определяющими критериями. Если же критерий подобия включает хотя бы одну величину, не входящую в условие однозначности, то он называется неопределяющим или определяемым. Равенство определяемых критериев является следствием подобия.

Вторая теорема подобия. Зависимость между физическими величины, характеризующими процесс, может быть представлена в виде функциональной зависимости неопределяющих критериев от определяющих.

Эта функциональная зависимость распространяется на всю группу подобных процессов и называется критериальным уравнением, или уравнением подобия. Таким образом, вторая теорема отвечает на вопрос о том, каким образом следует обрабатывать результаты экспериментов.

Критериальные уравнения чаще представляются в виде степенных функций:

K^A-К^-К^К^...К^, (2.18)

где А, т, п, t, у — постоянные (определяются опытным путем); Кн — определяемый критерий; Ко определяющий критерий.

Третья теорема подобия. Подобны те явления, которые имеют подобные условия однозначности и одинаковые определяющие критерии.

Содержание этой теоремы лежит в основе моделирования — метода экспериментального изучения модели явления.

Пример. Известно, что математическое описание процесса распространения теплоты в движущейся вдоль твердой стенки среде одновременно теплопроводностью и конвекцией представляется дифференциальным уравнением Фурье — Кирхгофа:

d2t 82t

8x2 dy2

(2.19)

dt dt dt dt

--h --h wr+ w7 — - a dx dx y dy dz

где t = t(x, y, z, t) — температура среды; wx, w , w_ — составля-

X ющие скорости движения среды; т — время; а = — коэффи-

ср

циент температуропроводности среды, м2/с; X — коэффициент теплопроводности среды, Вт/(м-К); с — удельная теплоемкость среды, Дж/(кгК); р — плотность среды, кг/м3.

Условие на границе раздела движущейся среды и твердого тела может иметь вид:

=4„-U (2.20)

где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); tn, tcp — соответственно температуры поверхности стенки и среды, К; п — нормаль к поверхности тела.

Полученные уравнения описывают сложный процесс конвективного теплообмена, для большинства случаев они практически не разрешимы. В расчетной практике пользуются критериальными уравнениями, полученными из этих уравнений методами теории подобия.

Из последнего уравнения делением обеих его частей на левую часть получаем безразмерный комплекс:

Л А “лА дп дп

где А/ = zn ґ Эта разность называется температурным напором.

Вычеркнув в полученном комплексе символы дифференцирования, разности и направления (замена п на неориентированный в определенном направлении линейный размер 1) и проведя сокращения, получим критерий Нуссельта:

лг сс - Z Nu =---.

  • (2.21)
  • (2.19) конвективного a2z
  • 2 получаем безраз-

X

Из дифференциального уравнения переноса тепла делением всех членов на мерные комплексы:

dt

дт

d2t

а

dx2

dt

И. ---

и —

d2t

а—7 дх2

Вычеркнув в полученных комплексах символы дифференцирования (включая символы порядка дифференцирования) и направления, после сокращений получаем числа (критерии) подобия[1]:

число (критерий) Фурье

Fo = ^d' (2-22)

г-

и число (критерий) Пекле

Pe=W'1. (2.23)

а

Критерий Ре обычно представляют в виде произведения двух критериев:

w-l w-lv Ре = = -Re-Pr, (2.24)

a v а wl v

где Re = — критерий Рейнольдса; Рг = — критерий Прандт-

v а

ля; v — коэффициент кинематической вязкости, м2/с.

Полученные критерии подобия дают возможность найти критериальное уравнение (уравнение подобия), описывающее рассматриваемый процесс:

f (Re, Nu, Pr, Fo) = 0.

Из критериев уравнения только критерий Нуссельта не составлен целиком из условий однозначности, поэтому он является определяемым критерием. На этом основании уравнение записывается следующим образом:

Nu = f(Re,Pr,Fo). (2.25)

Если процесс стационарный, то из уравнения (2.25) выпадает критерий Fo, и оно принимает вид:

Nu=f(Re,Pr), (2.26)

или

Nu = A-Re'n-Prn. (2.27)

Так, например, при движении потока в трубе оно может быть /

дополнено параметрическим критерием Г = , где I — длина

d

трубы, ad — ее диаметр. В этом случае уравнение запишется в виде:

Nu = A-Re"-Pr"-rt. (2.28)

В соответствии с полученными критериальными уравнениями следует для рассматриваемого процесса обработать опытные данные и в результате получить А, т, п, к.

При решении конкретных задач по найденному из критериального уравнения значению критерия Нуссельта легко определяется коэффициент теплоотдачи:

Метод анализа размерностей

При изучении сложных процессов не всегда возможно записать дифференциальные уравнения, описывающие их протекание, и сформулировать условия однозначности. При изучении таких процессов для получения критериального уравнения применяют метод анализа размерностей. В этом случае необходимо, чтобы в результате предварительного опытного изучения процесса были выявлены физические величины и параметры, влияющие на течение этого процесса. Так, например, при исследованиях течения жидкости по трубе найдено, что на перепад давления в трубе влияют диаметр d и длина I трубы, плотность р, вязкость р и скорость w протекающей жидкости, т.е.:

р = f(cl ,1 ,p,p,w), (2.30)

где ц = vp — коэффициент динамической вязкости, Па-с, причем конкретный вид функциональной зависимости неизвестен.

Метод анализа размерностей позволяет из общей функциональной зависимости получить критериальное уравнение, описывающее изучаемый процесс.

Число критериев, входящих в критериальное уравнение, устанавливается с помощью п-теоремы, которая гласит: если общая функциональная зависимость связывает между собой п размерных величин, при составлении которых использовано т первичных единиц измерения, то эта функциональная зависимость может быть представлена в виде критериального уравнения, содержащего тс = (п-m) критериев подобия, составленных из величин, входящих в общую функциональную зависимость.

Таблица 2.1

Единицы измерения физических величин

Величина единицы

Размерность

Единица

Обозначение

Длина

L

метр

м

Масса

М

килограмм

кг

Время

Т

секунда

с

Сила тока

I

ампер

А

Температура термодинамическая

0

кельвин

К

Сила света

J

кандела

кд

Количество вещества

N

моль

моль

Размерность физической величины — выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях, отражающее связь данной физической величины с основными величинами системы единиц.

Международная система единиц (СИ) устанавливает в качестве основных семь величин, которые приведены в табл. 2.1.

Показателем размерности физической величины называется показатель степени, в которую возведена размерность основной величины, входящая в размерность производной величины.

Размерность X обозначается так: dim X (dim — сокращение от лат. dimensio — измерение). Размерной физической величиной называется величина, в размерности которой хотя бы один из показателей размерности не равен нулю. Например, размерность силы: dim F = dim т • dim а = LMT~2. Безразмерной физической величиной называется величина, в размерности которой все показатели степени равны нулю. Например, число Прандтля:

и-

dimPr = dimV = d,mV =^ = .

a dim a L~

Т

Необходимо строго различать понятия «размерность» и «единица измерения» физической величины. Часто единицу физической величины ошибочно называют размерностью. Размерность, например, силы LMT~2 путают с единицей силы Н / Ч Г fl и кгм

(ньютоном): [г J = /У = —7—. с

В уравнение (2.30) входят шесть размерных величин (п = 6), которые в СИ имеют следующие единицы измерения:

ЫН кгм 2

= —= —--Т = КГ/(МС )’

м с -м

d]= м;

/] = м;

[р]= кг/м3;

[ц] = Пас =кг/м;с= кг/(мс);

С -М"

[w] = m/c.

Размерности всех величин составлены из трех первичных размерностей (т = 3): diml = ?([/] = л/); dimt = Р([?] = с); dim т = Л/([/и] = кг). На основании л — теоремы уравнение может быть представлено в виде критериального уравнения, в которое входит п — п-т = 6~3 — 3 критерия подобия.

Представим одно из уравнений в виде произведения входящих в него величин в некоторых степенях:

p = Cdr -wx. (2.31)

Заменим величины, входящие в уравнение, формулами размерностей этих величин:

М • Т~2 • Г1 = С • [Z]'' ? [l]Y[М ? L~3 • [Г1 - М- Р’1 ]- • [L ? Г’1 ]г, (2.32) затем группируем однородные члены:

М ? Т~2 • Г1 = С • . 7(-z-x). (2.33)

Далее, приравнивая показатели степеней при одинаковых символах размерностей, получаем систему из трех уравнений с пятью неизвестными:

~1 = г + у - Зу ~ z + х, (2.34)

  • -2 = ~z - х, (2.35)
  • 1 = у + z. (2.36)

В этой системе не хватает уравнений, так как в нее входят пять неизвестных, поэтому выразим все неизвестные через какие-нибудь две, например, через г и у:

из (2.35) х = 2 - z,

из (2.36) у = 1 - z,

из (2.34) г = -1 - у + Зу + z - х = -у ~z.

Подставим полученные значения х,у,гв уравнение (2.31):

Др = С ? d(“-,z’/1'p(1"z)nzw(2"2), (2.37) сгруппируем величины по показателям степеней:

^ = СШ''Н?Г (2.38)

pw V Ц J

В критериальное уравнение входят три критерия подобия:

1. Критерий Эйлера Ей = — характеризует подобие

pw2

полей давления и является мерой отношения сил давления и инерционных сил, или, другими словами, отношение перепада статических давлений в потоке жидкостей к динамическому давлению.

wdp wd

2. Критерий Рейнольдса Ее =---=-- — характеризует

р v

гидродинамический режим потока, являясь мерой отношения сил инерции и сил вязкого трения.

3. Критерий геометрического подобия (параметрический)

г=‘ .

d

Эти критерии будут использованы при рассмотрении различных процессов в последующих разделах.

С учетом введенных обозначений уравнение запишем в следующем виде:

Eu = C Re~z Гг. (2.39)

Постоянные С, z и у в критериальном уравнении определяются на основании опытных данных.

Некоторые особенности применения теорем подобия к анализу процессов

Теория подобия не всегда позволяет добиться подобия между процессом, исследованном на экспериментальной установке (модели), и процессом, протекающем в промышленном аппарате (оригинале), не только для сложных процессов, описываемых большим набором критериев подобия, но и для сравнительно простых.

Например, для того чтобы обеспечить гидродинамическое подобие процессов, протекающих под влиянием силы тяжести, необходимо добиться, в частности, равенства критериев Reo = ReM и критериев Fro = FrM (индекс «о» — для оригинала, а «м» — для модели).

W2

Критерий Фруда Fr =—- — характеризует подобие про-gl

цессов, идущих при действии силы тяжести, и выражает соотношение сил тяжести и сил инерции, где w — скорость движения потока, I — определяющий размер, д — ускорение свободного падения.

Таким образом, для обеспечения подобия двух потоков необходимо, чтобы:

Re =Re ;Fr = Fr . (2.40)

м о’ м о v '

Масштабы модели и промышленного аппарата (оригинала) отличаются в п раз:

. 4)

/і = 0 , (2.41)

п

то есть: у 7

I W / W

Re0=-22-; ReM = ^-^~. (2.42)

v<> '

Примем, что жидкость одинаковая в обоих случаях, тогда v = v .

м о

Для подобия процесса необходимо выполнение (1.40)4-(2.42):

/0% L W: J 10

-2—= — , ИЛИ l0W0 = Wj ,

v0 Vi n

откуда:

Wj =nw0. (2.42)

Таким образом, скорость потока на модели необходимо увеличить в п раз.

Выполним аналогичные преобразования для критерия Фруда:

W2 W2

Ггм=-г, Fr0=—^~, (2.43)

gku glO

-7- = -у-. wi2Z0=Z1w^, w^lo=^w2o. (2.44)

gh glo n

Окончательно имеем:

W„

=-Д. (2.45)

Jn

В результате проведенного анализа получим, что для обеспечения процессов по критерию Рейнольдса необходимо, чтобы выполнялось соотношение (2.41), а чтобы обеспечить подобие по критерию Фруда, необходимо, чтобы выполнялось последнее соотношение.

Таким образом, для рассмотренного сравнительно простого случая не удается обеспечить подобие процессов.

Можно указать еще один существенный недостаток, присущий методу. Дело в том, что модель имеет меньшие размеры, чем оригинал, вследствие чего у модели могут появиться такие свойства, которые не характерны для оригинала. Например, возможно влияние пристенного эффекта (ПЭ), который, как считается, пропорционален отношению поверхности аппарата S к его объему V :

а «'а

С

ГО = 7Г (2.46)

У а

Если, например, имеем цилиндрический аппарат диаметром D, заполненный жидкостью до высоты Н, то:

с , с tiDH +---- л ,

пэ = $бок SdH =----z—= —+ —,

(2.47)

D Н

где ?6ок — площадь боковой поверхности цилиндра, соприкасающаяся с жидкостью; S — площадь днища аппарата; Уж — объем жидкости в аппарате.

При проведении исследований на объекте сравнительно малого масштаба можно сделать неверный вывод о поведении объекта моделирования при переходе к промышленным аппаратам, что чревато большими материальными потерями.

Подводя итог рассмотрению основных положений теории подобия, можно отметить следующие основные недостатки:

  • 1) не учитывается все многообразие влияющих на процесс факторов в рамках ограниченного числа принятых критериев;
  • 2) происходит существенное ухудшение точности расчетных уравнений для условий, отличающихся от условий экспериментов;
  • 3) выявляются ограничения, связанные с расчетом процессов для аппаратов промышленных размеров, если эти уравнения были получены для небольших модельных аппаратов.

В то же время, как было отмечено выше, основным достоинством теории подобия является установление набора параметров, которые определяют ход и характер протекания технологических процессов.

  • [1] Критерии принято называть именами известных ученых и обозначать двумя первыми буквами их имени.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >