Обработка данных испытаний

В данном разделе рассматриваются только основные методы обработки экспериментальных данных -интерполяция и аппроксимация, которые являются основой для решения других задач обработки табличных данных.

Интерполяция (от лат. interpolatio - обновление, переделывание, изменение) - приближённое или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. Термин «интерполяция» впервые ввёл Дж. Валлис (J. Wallis - английский математик, 1616 -1703), который, кстати, также нашёл выражение для числа л в виде бесконечного произведения и ввёл общепринятый знак ДЛЯ бесконечности - GO . В широком смысле интерполяция - это разрешимость задачи интерполирования, построение интерполяционных формул, применение интерполирования для построения приближённых и численных методов решения различных задач математики. В узком смысле интерполяция - это нахождение значений заданной функции в тех точках внутри заданного интервала, где она не задана.

Таким образом, интерполирование есть нахождение интерполяционной функции Цх), приближённо заменяющей исходную fix), которая задана таблично, и проходящей через все заданные точки (узлы интерполяции).

Выбор интерполяционной функции Цх) является важной для экспериментатора задачей, так как через заданные точки можно провести любое количество функций, различающихся степенью многочлена.

Очевидно, что параметры интерполяционной функции можно найти из условия её прохождения через все заданные точки, составив и решив систему уравнений. Однако этот путь не самый эффективный, особенно при большом числе точек. Поэтому рассмотрим основные методы, используемые при интерполировании.

Метод Лагранжа (J.L. Lagrange - французский математик и механик, 1736 - 1813) заключается в построении интерполяционного полинома и-го порядка:

L(x) = yoQo(x) + ... +yjQj(x) + ... + ynQn(x), (3.4.1)

где Qo(x) =

  • (х- х0)...(х- хл1)(х- х;+1)...(х- х„)
  • (х. -х0)...(х;л1)(х. -хл1)...(х. -х„)

Нетрудно заметить, что (Цх,) = 0, если і ± j, и Q/xJ = = 1, если і = j, т.е. полином Лагранжа является, несмотря на специфичность записи, обычным полиномом и-го порядка.

Погрешность интерполяции

М "

L(x) - f(x)i < П (*-•*, ) • (3-4.2)

где М„+і = max f"+I>(x) I -максимальное значение (п+7)-й производной исходной функции fix).

Метод Ньютона (I. Newton - гениальный английский учёный, 1643 - 1727) используют в основном для интерполяции равномерно расположенных узлов интерполяции.

Метод Чебышева (П.Л. Чебышев - русский математик и механик, 1821 - 1894) позволяет выбрать узлы интерполяции для получения при заданном числе узлов минимально возможной погрешности.

Метод сплайнов применяют для восстановления не только значений функции, но также её первой и второй производной. Сплайн - это функция, которая на каждом межузловом интервале совпадает с некоторым полиномом, своим для каждого интервала. Полиномы соседних интервалов стыкуются так, чтобы функция была непрерывной, при этом должны быть непрерывны и несколько производных. Достоинством интерполяции с помощью кубических сплайнов является получение функции, имеющей минимально возможную кривизну. Недостатком же является необходимость получения сравнительно большого числа параметров.

Экстраполирование (от лат. extra - сверх, вне... и polio - приглаживаю, выправляю) - продолжение функции за пределы её области определения, при котором продолженная функция (как правило, аналитическая) принадлежит заданному классу.

Аппроксимация (от лат. approximo - приближаюсь) -замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Вид аналитической зависимости аппроксимации определяет сам экспериментатор в соответствии с физическим законом, лежащим в основе работы исследуемого объекта (процесса). В простейшем случае эта аппроксимация может быть линейной или квадратичной.

При аппроксимации используют в основном следующие методы.

Метод наименьших квадратов был предложен К. Гауссом (C.F. Gauss - немецкий математик, 1777 -1855) и А. Лежандром (А.М. Legendre - французский математик, 1752 - 1833). Метод заключается в том, что в качестве критерия используют сумму квадратов отклонений заданных и расчётных значений, т.е.

Рі(?і ^ірасч) > МІП, i=l

(3.4.3)

где Yi, Yipac4 - истинное и расчётное значения функции; pi - весовые коэффициенты.

В методе равномерного приближения используют в качестве критерия аппроксимации модуль максимального отклонения заданного и расчётного значений функции

(3.4.4)

тах Yi - YiPac4

Существует много различных программных систем для проведения математических расчётов. Рассмотрим лишь некоторые из них.

MathCad представляет собой интегрированную среду для выполнения, документирования и обмена результатами технических вычислений. MathCad служит средством вычислений, анализа и написания отчётов во всех отраслях науки и техники.

Записывая большинство математических формул в рабочем документе MathCad, как это делается на листе бумаги, можно тут же получить ответ. Совмещая текст, графику и формулы, записанные в привычном для нас виде, документ MathCad выглядит как страница учебника или научной статьи. При этом стоит внести изменения в любую из формул, как MathCad перестроит все графики, вычислит новые результаты и т.п. Можно анимировать (от лат. anima, animus - душа, жизнь, дух) любой график, записав его эволюцию при изменяющихся значениях параметров, а затем воспроизвести полученную мультипликацию даже со звуковым сопровождением.

Использование возможностей MathCad является чисто рутинным делом и не требует никакого программирования. Вычислительные возможности MathCad могут быть существенно расширены за счёт использования встроенных функций.

Maple V называют системой символьных вычислений, или системой компьютерной алгебры. Maple V предназначен для выполнения самых разнообразных математических вычислений, как аналитических, так и символьных.

Аналитические функции позволяют решать математические задачи, не назначая численные значения константам и приближения - переменным. Maple V понимает аналитические математические формулы и выдаёт ответ в виде таких же формул. Результатом работы Maple V является точное аналитическое решение, дающее глубокое понимание сути решаемой задачи.

Программа Derive служит для автоматизации математических вычислений и, прежде всего, символьных (аналитических) преобразований. Система прекрасно справляется и с численными расчётами, сочетая их с использованием двумерной или трёхмерной графики.

MathLab - система, предназначенная для выполнения инженерных и научных расчётов и высококачественной визуализации полученных результатов. MathLab используют для математических расчётов, моделирования физических систем и управления техническими объектами.

Система работает с многомерными массивами, массивами записей и массивами ячеек, с матрицами, в том числе и разреженными. Она позволяет проводить анализ и обработку данных, включая аппроксимацию и интерполяцию, численное интегрирование, решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисление минимумов и нулей функций, преобразование Фурье (J.D.J. Fourier - французский математик, 1768 - 1830), свёртку и фильтрацию и т.п. Она может выполнять графические команды и функции.

Пакет Mathematica позволяет осуществлять широкий спектр символьных преобразований, включающих, наряду с другими, операции математического анализа, дифференцирование, интегрирование и интегральные преобразования, разложение в ряды, решение дифференциальных уравнений и т.п. Одна из сильных сторон рассматриваемого продукта - развитая дву- и трёхмерная графика, используемая для визуализации математических объектов.

Statistica - интегрированная система комплексного статистического анализа и обработки данных в среде Windows. Она состоит из следующих основных частей:

  • - многофункциональной системы для работы с данными;
  • - мощной графической системы для визуализации данных и результатов статистического анализа;
  • - набора статистических модулей, в которых собраны группы логически связанных между собой статистических процедур;
  • - специального инструментария подготовки отчётов;
  • - встроенного языка Statistica Basic.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >