МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В данной работе применялись методы математического планирования и анализа эксперимента, в частности, план Коно для 2-х факторов (Xi) и (Хг).

Теоретическая матрица плана Коно-2 представлена в табл. 5.1

Таблица 5.7. Теоретическая матрица плана Коно-2

Полученные в результате расчета уравнения регрессии оценивались графически в виде поверхностей отклика.

Статистическая обработка экспериментальных данных проводилась на ЭВМ и включала следующие этапы:

В матрице использовались кодированные факторы, которые основаны на отношении:

X = (Xi - Xoi)/J , (5.1)

где: X - кодированное значение і-того фактора;

Xi, Xoi - натуральные значения і-того фактора и натуральные значения

і-того фактора на нулевом уровне;

J - интервал варьирования і-того фактора.

Обработка эксперементальных значений матрицы дали возможность получить уравнение регрессии:

Y = Во + ? BiXi + 22 BijXiXj + 22 BijnXiXjXn ’ (⁵-²)

1 = 1 ij' -1 ijn = I

где: Y - расчетное значение критерия оптимизации;

Во - свободный член уравнения;

Bi - линейные коэффициенты;

Bij - коэффициенты, характеризующие двойное взаимодействие факторов;

Bijn - коэффициенты, характеризующие тройное взаимодействие факторов;

К - число факторов оптимизации;

Ск - число сочетаний из двух факторов;

mk - число сочетаний из трех факторов.

Для частного случая при К = 3 уравнение имеет вид:

Y = Во+В_хХ_х + В₂Х₂ + В₃Х₃ + В_х2Х_хХ₂ + В_хзХ_хХ₃ + В₂₃Х Х₃ + В_Х23Х Х₂Х₃, (5.3)

Коэффициенты регрессии определялись по формулам:

Bo = ^Yu/N, (5.4)

(7=1

ві = 2LXiuYu 1E Xiu 2 ’ (5-5)

«=і «=i

Bij = XijXijYu IN , (5.6)

И=1

Bijn = 22 XiuXjuXnuY и/N • (5.7)

M=1

где: Xiu, Xju, Xnu - значения факторов Xi, Xj, Xn в u-м опыте;

Yu - значение параметра оптимизации в том же опыте;

N - число опытов.

Обработка результатов в полном факторном эксперименте включала следующие операции:

• 1. Исключение резко выделяющихся значений с помощью критерия Грабса-Смирнова.
• 2. Проверка гипотезы об однородности дисперсии в опытах матрицы с помощью критерия Кочрена, расчетное значение которого определялось по формуле (5.8).

G _R = S²u max{ у} / Su ² {>>} (5-8)

И = 1

Полученное значение сравнивалось с табличным. Если Gr

• 3. Определялись коэффициенты уравнения по формулам (4.2-4.6).
• 4. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Для этого использовали критерий Стьюдента, расчетное значение которого tR {Bi} сравнивали с табличным ty. Если tR>ty, то гипотеза о значимости коэффициентов регрессии не отвергалась.

Расчетное значение критерия Стьюдента равнялось:

t_R{Bi} = B/S{Bi}, (5.9)

5. Гипотезу об адекватности представления результатов исследования полиномом первой степени проверялись с помощью критерия Фишера:

F_r = Saa²1 Seeocrf, (5.10)

где 8ад.² - дисперсия адекватности математической модели;

SBocnp.² - дисперсия воспроизводимости, характеризующая ошибку опыта;

N

Saa.² =m^Yu-Yru)2/N-Nk, (5.11)

W=1 где: Yu - средние значения критерия оптимизации в опытах, найденные эксперементально;

Yru - значения критерия оптимизации, полученные из уравнения регрессии. N т

Seeocn.² =S²{y} = Y'?t^Yiu~^Yu')²(5-12) и=1 i=l

где: Yiu - значения параметра оптимизации в параллельных опытах;

m - число параллельных опытов.

Гипотеза об адекватности линейной модели может быть принята, если расчетное значение F-критерия не превышает табличного для выбранного уровня значимости, обычно с 95% достоверностью.

В данной работе применен план Бокса второго порядка для трех факторов. Матрица плана Бокса строилась на кубе и содержала все вершины и центры (п-1) - мерных граней.

Число опытов в матрице равнялось: N=2+K 2^К.

При проведении эксперимента использовали рабочую матрицу. Для перехода от матрицы планирования к рабочей матрице использовали соотношение (5.4).

Обработка экспериментальных данных матрицы дала возможность получить полиномиальное уравнение вида:

к ^{Ск к} 1 ТА

Y = Во + BiXi + ? BijXiXj + ? BiiXi ² ’ 1 = 1 ij=l 1=1

Для случая, когда число факторов К=3 уравнение принимает вид:

Y=Bo+B_lX_l +B₂X₂ +B_l2X_tX₂ +B,X₃ +ад,Х₃ +В_пХ₂Х₃ +в,Х +_{(5 14)} +ад²+ад₃²

Обработка данных эксперимента проводилась на ЭВМ и включала следующие операции:

1. Нахождение среднего значения функции отклика по строкам:

Yu = l/m-^Yi, (5.15)

/ і

Определение построчных дисперсий:

Su²{y} = (l/m-l) Y (5.16)