МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В данной работе применялись методы математического планирования и анализа эксперимента, в частности, план Коно для 2-х факторов (Xi) и (Хг).

Теоретическая матрица плана Коно-2 представлена в табл. 5.1

Таблица 5.7. Теоретическая матрица плана Коно-2

№ опыта

Xi

х2

1

0

0

2

+

+

3

-

+

4

-

-

5

+

-

6

+

0

7

0

+

8

-

0

9

0

-

Полученные в результате расчета уравнения регрессии оценивались графически в виде поверхностей отклика.

Статистическая обработка экспериментальных данных проводилась на ЭВМ и включала следующие этапы:

В матрице использовались кодированные факторы, которые основаны на отношении:

X = (Xi - Xoi)/J , (5.1)

где: X - кодированное значение і-того фактора;

Xi, Xoi - натуральные значения і-того фактора и натуральные значения

і-того фактора на нулевом уровне;

J - интервал варьирования і-того фактора.

Обработка эксперементальных значений матрицы дали возможность получить уравнение регрессии:

Y = Во + ? BiXi + 22 BijXiXj + 22 BijnXiXjXn ’ (5-2)

1 = 1 ij' -1 ijn = I

где: Y - расчетное значение критерия оптимизации;

Во - свободный член уравнения;

Bi - линейные коэффициенты;

Bij - коэффициенты, характеризующие двойное взаимодействие факторов;

Bijn - коэффициенты, характеризующие тройное взаимодействие факторов;

К - число факторов оптимизации;

Ск - число сочетаний из двух факторов;

mk - число сочетаний из трех факторов.

Для частного случая при К = 3 уравнение имеет вид:

Y = Во+ВхХх + В2Х2 + В3Х3 + Вх2ХхХ2 + ВхзХхХ3 + В23Х Х3 + ВХ23Х Х2Х3, (5.3)

Коэффициенты регрессии определялись по формулам:

Bo = ^Yu/N, (5.4)

(7=1

ві = 2LXiuYu 1E Xiu 2 ’ (5-5)

«=і «=i

Bij = XijXijYu IN , (5.6)

И=1

Bijn = 22 XiuXjuXnuY и/N • (5.7)

M=1

где: Xiu, Xju, Xnu - значения факторов Xi, Xj, Xn в u-м опыте;

Yu - значение параметра оптимизации в том же опыте;

N - число опытов.

Обработка результатов в полном факторном эксперименте включала следующие операции:

  • 1. Исключение резко выделяющихся значений с помощью критерия Грабса-Смирнова.
  • 2. Проверка гипотезы об однородности дисперсии в опытах матрицы с помощью критерия Кочрена, расчетное значение которого определялось по формуле (5.8).

G R = S2u max{ у} / Su 2 {>>} (5-8)

И = 1

Полученное значение сравнивалось с табличным. Если Gr

  • 3. Определялись коэффициенты уравнения по формулам (4.2-4.6).
  • 4. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Для этого использовали критерий Стьюдента, расчетное значение которого tR {Bi} сравнивали с табличным ty. Если tR>ty, то гипотеза о значимости коэффициентов регрессии не отвергалась.

Расчетное значение критерия Стьюдента равнялось:

tR{Bi} = B/S{Bi}, (5.9)

5. Гипотезу об адекватности представления результатов исследования полиномом первой степени проверялись с помощью критерия Фишера:

Fr = Saa21 Seeocrf, (5.10)

где 8ад.2 - дисперсия адекватности математической модели;

SBocnp.2 - дисперсия воспроизводимости, характеризующая ошибку опыта;

N

Saa.2 =m^Yu-Yru)2/N-Nk, (5.11)

W=1 где: Yu - средние значения критерия оптимизации в опытах, найденные эксперементально;

Yru - значения критерия оптимизации, полученные из уравнения регрессии. N т

Seeocn.2 =S2{y} = Y'?tYiu~Yu')2(5-12) и=1 i=l

где: Yiu - значения параметра оптимизации в параллельных опытах;

m - число параллельных опытов.

Гипотеза об адекватности линейной модели может быть принята, если расчетное значение F-критерия не превышает табличного для выбранного уровня значимости, обычно с 95% достоверностью.

В данной работе применен план Бокса второго порядка для трех факторов. Матрица плана Бокса строилась на кубе и содержала все вершины и центры (п-1) - мерных граней.

Число опытов в матрице равнялось: N=2+K 2К.

При проведении эксперимента использовали рабочую матрицу. Для перехода от матрицы планирования к рабочей матрице использовали соотношение (5.4).

Обработка экспериментальных данных матрицы дала возможность получить полиномиальное уравнение вида:

к Ск к 1 ТА

Y = Во + BiXi + ? BijXiXj + ? BiiXi 21 = 1 ij=l 1=1

Для случая, когда число факторов К=3 уравнение принимает вид:

Y=Bo+BlXl +B2X2 +Bl2XtX2 +B,X3 +ад,Х3 пХ2Х3 +в,Х +(5 14) +ад2+ад32

Обработка данных эксперимента проводилась на ЭВМ и включала следующие операции:

1. Нахождение среднего значения функции отклика по строкам:

Yu = l/m-^Yi, (5.15)

/ і

Определение построчных дисперсий:

Su2{y} = (l/m-l) Y (5.16)

/=і

Проверка однородности дисперсий по критерию Кочрена, расчетное значение которого определялось по формуле (5.17). Полученное значение сравнивалось с табличным. Если Gr

  • 2. Оценку дисперсии воспроизводимости:
  • 52{у} = 52{у}/т=2;2;(Ги-УИ)2> (5-17)

где: N - число опытов в матрице.

Вычисление коэффициентов уравненй:

+ (5.18)

И=1 1=1 И = 1

Bi = gMjMjYu ' (519)

и = 1

Bij = g^XijXujYu, (5.20)

И=1

W М N N

ви = g^xiu^y + g6? ? 2"г“ -- <5-21>

И=1 /=1 И=1 И = 1

где: Yu - среднее экспериментальное значение критерия оптимизации;

gi-g6 - постоянные коэффициенты для обработки экспериментальных данных

Определение дисперсий коэффициентов регрессии:

S2{BiJ} = giS2{y}, (5.22)

52{By} = g,S2{H> (5-23)

и их вариаций Cov{ BoBij } = g„S{у} (5.24)

cov{ BoBii } = g6S{y}, (5.25)

3. Расчет дисперсии адекватности производился по формуле

Saa.2 {у} = ? п(уп - )2 /N - Я, (5.26)

і

где уп - расчетное значение критерия оптимизации;

X - число коэффициентов регрессии.

Л = (К + 2)(К + 1)/2 , (5.27)

где К - число факторов. Для данного эксперимента 1 = 10.

  • 4. Определение значимости коэффициентов регрессии с помощью критерия Стьюдента -1 (5.9)
  • 5. Для проверки адекватности полученной регрессионной модели второго порядка экспериментальным данным использовали критерий Фишера, расчетное значение которого определяли по формуле (4.10), причем если Fr

Выводы по главе

  • 5
  • 1. В работе применялись методы математического планирования и анализа эксперимента эксперементальных данных, а также план Бокса второго порядка для трех факторов.
  • 2. Обработка экспериментальных данных матрицы дала возможность получить полиномиальное уравнение с использованием критерия Фишера.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >