Классификация планов экспериментального исследования

Классификация планов для дискретных независимых переменных

Для более конкретного изложения оптимальности планов эксперимента для дискретных переменных, приведем различные типы таких планов.

Простейшая схема — однофакторный план, допускающий полную рандомизацию, т. е. план, содержащий определенное число наблюдений на каждом из s уровней заданного фактора [7]. Порядок или место осуществления каждого из N наблюдений может выбираться в соответствии с некоторой случайной схемой. Математическую модель в этом случае принято записывать в следующем виде ytj, вычисляют по формуле

Уц = д + а?+ ?0(l,...,s;j = 1,...,/) (1.26)

где Уіу - результат j-того наблюдения на z-том уровне фактора;

ц - независимый параметр, среднее;

at - неизвестный параметр, эффект z-того уровня фактора;

Eij - случайная ошибка наблюдения.

Все ошибки неоднородности в условиях проведения эксперимента, не связанные с изменением уровней фактора, при полной рандомизации входят в величины ?ij, приводя к увеличению дисперсии опыта. Для исключения этих ошибок применяется так называемое рандомизованное блочное планирование. В таких планах все множество опытов разделяется на некоторое количество блоков таким образом, чтобы внутри каждого блока было возможно проведение испытаний для всех уровней основного фактора в однородных условиях.

Ошибки, возникающие вследствие неоднородности в условиях проведения эксперимента, здесь представляются как блоковые эффекты.

Для сохранения общности в изложении теории иногда удобнее рассматривать множество блоков как совокупность уровней нового фактора. Однако необходимо учитывать, что блоковые эффекты часто требуют только исключения, а не оценки. Для учета и исключения влияния двух типов неоднородности (двух блоковых факторов) часто используются латинские квадраты.

Часто на практике возникает необходимость разбить эксперимент на такие блоки, что каждый из «их не вмещает полного числа уровней основного фактора. В этом случае желательно не просто разбросать уровни внутри блоков, а постараться расположить их таким образом, чтобы, несмотря на неизбежную потерю независимости, получить достаточную информацию об основных эффектах. Отсюда возникла теория неполноблочных планов. Каждое множество блоков, как и прежде, можно рассматривать как дополнительный фактор, поэтому теорию неполноблочных планов можно представить как частный случай многофакторных (главным образом двухфакторных) планов.

Наиболее полно развита теория сбалансированных неполноблочных планов. Это планы с одним множеством блоков: из s уровней основного фактора в каждый из b блоков входит к уровней (к < s); каждый уровень встречается в плане г, каждая пара уровней в блоках Л раз.

Рассмотрим, например, неполноблочный план, представленный в таблице 1.3. Всего основной фактор имеет четыре уровня, в каждом из четырех блоков мы имеем по три уровня, каждый из уровней основного фактора встречается в плане три раза, каждая пара уровней встречается в блоках два раза.

Таблица 1.3 — Пример неполноблочного плана

Блоки

Уровни основного фактора

Блоки

Уровни основного фактора

1

0

2

3

3

0

1

2

2

1

2

3

4

0

1

3

В случае, когда имеется два источника неоднородности и вводятся два множества блоковых ограничений, аналогом сбалансированных неполноблочных планов являются неполные латинские квадраты, или квадраты Юдена. В таких схемах в блоках одного множества содержатся все уровни основного фактора; относительно же блоков второго множества схема представляет собой сбалансированный неполноблочный план, таблица 1.4.

Таблица 1.4 — Пример квадрата Юдена

Блоки 1-го множества

Блоки 2-го множества

1

0

1

2

3

4

5

6

2

1

2

3

4

5

6

0

3

3

4

5

6

0

1

2

Здесь по отношению ко второму множеству блоковых ограничений (столбцам) план можно рассматривать как сбалансированный неполноблочный план с константами г = 3, Л = 1.

Если при постановке плана без блоковых ограничений мы все N опытов можем осуществлять в случайном порядке, то в блочных планах рандомизацию можно производить только внутри блоков, поэтому в литературе такие планы иногда называются планами с ограничениями на рандомизацию. В планах же с двумя множествами блоковых ограничений нельзя проводить рандомизацию внутри блоков, так как это нарушило бы структуру плана; поэтому здесь случайным может быть, например, сам выбор латинского квадрата из множества возможных латинских квадратов.

Дальнейшим логическим развитием однофакторных планов для дискретных переменных являются многофакторные планы, допускающие полную рандомизацию. Для случая двух факторов, например, имеем такую модель yijk, вычисляют по формуле

Уцк = И + at+(3j+ Yij + ?tjk (1.27)

гДе Уі]к — результат ?-того наблюдения на сочетании і-того уровня первого фактора и j-того уровня второго фактора;

ц - общее среднее;

«j - эффект /-того уровня первого фактора;

/?7 - эффект/-того уровня второго фактора;

Yij - эффект взаимодействия і-того уровня первого фактора и у-того уровня второго фактора;

?ijk - случайная ошибка наблюдений.

Введем определение факторной модели и факторного плана, которые обычно используются для дискретных переменных. Полная модель для п факторов — это факторная модель: она содержит эффекты уровней всех факторов и эффекты взаимодействия всех уровней всевозможных групп факторов. Полную факторную модель можно упростить, опустив некоторое множество членов. Для того чтобы модель оставалась факторной, необходимо) выполнение следующего условия: если в модель входит член, представляющий собой эффект взаимодействия уровней каких-либо факторов, то в нее должны входить все эффекты взаимодействия уровней любой подгруппы этих факторов. Например, неполная модель эффектов уровней для четырех факторов yijkl, вычисляют по формуле

Yijkl = М + ai + Pj + Yk + Sl + 0ij + ^ik + ^kj + &ijk + ?ijkl (1-28)

Планы, которые включают переменные с числом уровней, определяемым данной факторной моделью, и позволяют оценить эту модель, называются факторными планами для данной модели. Факторную модель можно записать и в другой параметризации, представив ее, например, в виде полинома особого типа. Такое представление особенно удобно в случае, когда часть переменных имеет дискретный, а другая часть непрерывный характер.

Полные модели включают эффекты взаимодействий уровней всевозможных групп факторов. Такой тип моделей требует постановки, как минимум, полного факторного плана, т. е. опытов со всевозможными сочетаниями уровней всех факторов. Это, как правило, обеспечивает избыточную информацию, так как практически эффекты взаимодействия высших порядков редко оказываются значимыми. Поэтому в практических задачах чаще используются неполные факторные модели и соответствующие им дробные факторные планы. Подробнее остановимся на классификации многофакторных планов.

Самый общий случай многофакторного плана — это план, в котором каждый фактор меняется на произвольном числе уровней, причем на каждом из уровней имеется произвольное число наблюдений. Будем говорить, что для данных d факторов выполняется условие пропорциональности частот, если число совместных появлений в плане любых уровней этих факторов в Nd-1 раз меньше произведения чисел их появлений по отдельности (здесь N — общее число наблюдений в плане). Если для любых d факторов из всего множества факторов, включенных в эксперимент, выполняется условие пропорциональности частот, то план называется регулярным факторным планом мощности d. Эти планы могут использоваться, когда модель включает эффекты взаимодействия уровней факторов вплоть до порядка [d/2 — 1], где квадратные скобки означают целую часть числа. Другие планы для этой модели называются нерегулярными.

Рассмотрим пример регулярного плана мощности 2. Уровни факторов будем обозначать 0,1,2,... В плане из девяти опытов для трех факторов, таблица 1.5, каждый из трех уровней двух первых факторов встречается по три раза, один из уровней третьего фактора встречается три раза, а другой шесть раз. Рассмотрим совместные числа появления различных сочетаний уровней первого и третьего факторов. Сочетания 0—0, 1—0, 2—0 появляются по два раза, а сочетания 0—1, 1—1, 2—1 появляются 1 по одному разу. Уровень 0 первого фактора и 0 второго фактора появляются в плане соответственно три и шесть раз, совместно они появляются два раза. Поскольку 3 - 6:2 = 9, a d — 1 = 1, то для рассмотренных двух уровней факторов выполняется условие пропорциональности частот. Подобную проверку можно провести для уровней любых двух факторов. Планы мощности 2 называются ещё планами главных эффектов; им соответствуют модели, содержащие эффекты уровней и не содержащие взаимодействий (так называемые аддитивные модели).

Таблица 1.5 — Пример регулярного плана мощности 2

Номер опыта

xi

х2

х3

Номер опыта

Xi

*2

Хз

1

0

0

0

6

2

1

0

2

1

0

1

7

0

2

0

3

2

0

0

8

1

2

0

4

0

1

1

9

2

2

1

5

1

1

0

Для всех регулярных планов вычисления при проверке гипотез методами дисперсионного анализа оказываются чрезвычайно простыми. Кроме того, базируясь на регулярных планах, можно выбрать полиномиальную факторную модель, эквивалентную модели эффектов уровней, такую, что оценки ее параметров оказываются независимыми.

Частным случаем регулярных планов являются симметричные равномерные регулярные планы. Симметричным факторным планом называется план, все факторы которого имеют одинаковое число уровней; равномерным называется план, у которого уровни любого фактора встречаются одинаковое для данного фактора число раз. Симметричный равномерный регулярный факторный план мощности d называется ортогональной таблицей мощности d и обозначается (2V, к, s, d), где N — число опытов; к — общее число факторов; s — число уровней каждого фактора; d — мощность плана, таблица 1.6.

Таблица 1.6 — Ортогональная таблица

0

0

0

0

1

0

1

1

2

0

2

2

0

1

1

2

1

1

2

0

2

1

0

1

0

2

2

1

1

2

0

2

2

2

1

0

В прикладных работах редко оказывается, что все изучаемые факторы имеют одинаковое число уровней, поэтому большее применение имеют несимметричные факторные планы. Симметричные же планы представляют собой в основном базу для построения несимметричных эффективных планов. Имеется несколько способов построения регулярных несимметричных планов на основе регулярных симметричных. Некоторые способы дают возможность получать равномерные несимметричные планы. Наиболее универсальный — так называемый способ сжатия — позволяет получать в общем случае регулярные несимметричные неравномерные планы из симметричных, объединяя любые два уровня заданного фактора. Например, если в симметричном факторном плане для четырех трехуровневых факторов столбец а) для четвертого фактора уровням 0 и 1 поставить в соответствие уровень О двухуровневого фактора, а уровню 2 уровень 1 этого фактора, то получим регулярный несимметричный план для трех трехуровневых и одного двухуровневого фактора, таблица 1.7.

Таблица 1.7 — Построение несимметричного плана методом сжатия

Х1

х2

х3

х4

*1

*2

*3

х4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

0

1

1

1

0

2

2

1

0

2

2

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

2

0

1

1

2

0

1

2

0

2

1

2

0

1

2

0

2

2

2

0

2

1

2

1

0

1

2

1

0

0

2

2

1

0

2

2

1

0

і

(

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >