Методика изучения величин

Объем. Изучение объема

Объем — это свойство материальных тел, расположенных в трехмерном пространстве, заключающееся в способности занимать часть пространства. Объем — одна из основных скалярных величин, связанных с геометрическими телами. Объемы тел, так же, как длины отрезков и площади фигур, можно сравнивать. Наиболее просто сравнивать объемы внутренних пространств сосудов по вместимости в них жидкостей или сыпучих веществ. Объемы твердых тел можно сравнить по количеству вытесненной жидкости при погружении этих тел. Однако такой путь сравнения не всегда возможен. Поэтому сравнение объемов тел стремятся проводить на основе измерений. Наиболее детально разработана теория измерения объемов многогранников.

Объем геометрического тела — это мера количества пространства, занимаемого точками множества. Объем измеряют с помощью единиц объема. Единицей измерения объема служит объем куба, ребро которого равняется единице длины. Это кубические метры, кубические сантиметры, кубические дециметры, кубические миллиметры.

Кубический сантиметр — это место, занимаемое в пространстве кубом, ребро которого равно 1 см, кубический дециметр — место, занимаемое в пространстве кубом с ребром 1 дм, и так далее.

Кубические метры, дециметры, сантиметры, миллиметры кратко обозначаются так: м3, дм3, см3, мм3.

Чтобы узнать, сколько кубических сантиметров в 1 дм3, начертим куб с ребром в 1 дм. Его объем равен 1 дм3. Посмотрим, сколько раз помещается в этом кубе маленький кубик объемом в 1 см3. Для этого разделим наш куб на такие маленькие кубики. Так как 1 дм = 10 см, наш куб можно разделить на 10 слоёв толщиной в 1 см каждый. В каждом таком слое помещается 100 маленьких кубиков. Значит, во всех 10 слоях таких кубиков 100 • 10 = 1000. Итак, в кубе с ребром 1 дм помещается 1000 кубиков ребром 1 см, а значит, 1дм3=1000 см3'

Точно так же можно узнать, сколько кубических дециметров в одном кубическом метре. Их тоже 1000, так как 1 м = 10 дм. И кубических миллиметров: в одном кубическом сантиметре тоже 10 • 10 • 10 = 1000, так как 1 см = 10 мм.

А кубических метров в кубическом километре — целый миллиард, так как 1000 • 1000 • 1000 = 1 000 000 000.

В жизни мы часто пользуемся ещё одной единицей объема — литром. Литр равен одному кубическому дециметру.

Меры объема

м3 = 1000 дм3

1 дм3 = 1000 см3

1 см3 = 1000 мм3

Сводная таблица мер длины, площади и объема

1 м = 10 дм

1 м2 = 100 дм2

1 м3 = 1000 дм3

1 дм = 10 см

1 дм2 = 100 см2

1 дм3 = 1000 см3

1 см = 10 мм

1 см2 = 100 мм2

1 см3 = 1000 мм*

Кубический метр — метрическая мера объема. Один кубический метр — это объем куба, ребро которого равно одному метру. Обозначается один кубический метр так: 1 м3.

Кубический дециметр (литр) — метрическая мера объёма. Один кубический дециметр — это объем куба, ребро которого равно одному дециметру. Обозначается один кубический дециметр так: 1 дм3.

1 дм3 равен одной тысячной доле кубического метра.

Кубический сантиметр — метрическая мера объема. Один кубический сантиметр — это объем куба, ребро которого равно одному сантиметру. Обозначается один кубический сантиметр так: 1 см3.

Кубический миллиметр — метрическая мера объема. Один кубический миллиметр — это объем куба, ребро которого равно одному миллиметру. Обознается один кубический миллиметр так: 1 мм3.

1 мм 3 равен одной миллиардной доле кубического метра.

Литр — то же, что кубический дециметр. Обознается один литр так: 1 л.

Целью изучения темы «Объем» в начальной школе является уточнение представлений у младших школьников о свойстве объектов окружающего мира занимать большее или меньшее место в пространстве, о способах сравнения материальных тел по данному свойству, о процессе измерения объема.

Л. В. Селькина определяет в изучении данной темы две ступени:

  • 1) формирование представления об объеме как вместимости, единицах объема, способности к измерению вместимости с помощью различных единиц, решению задач на сравнение, сложение и вычитание объемов;
  • 2) уточнение представления об объеме как величине, изучение его свойств, введение формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда [23, 34].

Понятие об объеме как о величине дается по аналогии с понятием о площади. Первые представления об объеме ребенок получает в процессе манипулирования с различными предметами, в ходе игры. Результат сравнения фиксируется в суждениях вида: «Моя кукла большая. У тебя маленькая кукла»;

«В ведерке мало воды, а в ванне много»; «В коробке лежит 8 кубиков» и др. На интуитивном уровне у ребенка есть представление об объеме как свойстве предметов реального мира. В речи результат сравнения фиксируется обычно словами «большой», «маленький», «одинаковые», «равные». Введение понятий «объем», «вместимость» требует специально организованной работы со стороны педагога.

Принимая во внимание «величинный» подход раскрытия смысла натурального числа (натуральное число — способ обозначения количества мер, поместившихся в измеряемом предмете), необходимо создать условия для осознания ребенком натурального числа как результата обозначения процесса измерения величин вообще и объема в частности.

С этой целью ученикам предлагается сравнить различные объекты (например, кубики, мяч, книга, глобус, стакан с водой, мешочек с песком, листья деревьев, геометрические фигуры, геометрические тела и проч.) и ответить на вопросы: «Что общего?», «Чем отличаются?», «Какие предметы равные?», «По какому свойству равные?» и т.п. Отвечая на вопросы, ученики выделяют разные свойства предметов, в том числе и величину «объем»: занимать место в пространстве.

Приведем примеры заданий.

  • 1. Учитель предлагает узнать, в какую вазу вмещается больше воды (на столе: две вазы для цветов разной формы, ведерко с водой, мерный стаканчик). Проверьте правильность своего ответа.
  • 2. Учитель задает задание сосчитать, сколько мерных стаканчиков понадобится, чтобы наполнить доверху банку (на столе: банка для сыпучих продуктов, крупа в пакете, разные мерные стаканчики). Сначала берут маленький стаканчик и считают, сколько таких мер понадобится. Затем берут стаканчик большего размера: «Как вы думаете, больше, меньше или столько же (как прежних) войдет в банку таких стаканчиков?» Предположение проверяется подсчетом. «Почему так получилось?»
  • 3. Подберите такую мерку-кубик, чтобы вместимость коробки была 16 кубиков; 8 кубиков. Изменилась ли вместимость коробки, когда мы взяли другую мерку?
  • 4. Из узкого прозрачного сосуда воду переливают в широкий прозрачный сосуд. На вопрос: «Изменилось ли количество воды?» ребята ответили по-разному: «Стало больше», «Стало меньше», «Осталось столько же». Как это могло получиться? (Первый сравнил по ширине водяного столба, второй — по высоте, третий — по объему).

Можно сравнивать емкость (вместимость) различных сосудов, наполняя один из них водой и переливая ее в другие сосуды или пересыпая определенное количество песка в коробки различной величины. Таким образом, объем выступает как величина, объемы можно сравнивать. Переливая определенный объем жидкости в сосуды различной формы (банка, бутылка, графин), можно показать, что хотя форма изменилась, но объем остался таким же. В ходе такой работы у детей уточняются и систематизируются интуитивные представления об основных величинах, включая объем; формируется общее представление об измерении объема.

Для ознакомления с измерением объема в произвольных мерках можно провести такую работу.

Учащимся предлагается сравнить по две коробки, различия в размерах которых очевидны (например, обувная коробка и упаковка для духов), затем — коробки, различия в объемах которых уже не так очевидны (низкая, но широкая коробка и высокая, но узкая). Дети могут сравнить коробки по длине, по площади. Попытки сравнить объемы коробок визуально и вложением одной коробки в другую не приводят к результату. Формулируется цель дальнейшей деятельности — научиться сравнивать по объему другим способом. Заметим, что коробки должны быть значительными по размеру, чтобы у учащихся не возникло желания заполнить их сыпучими веществами (солью, песком, крупой и т.п.). Кроме этого, смысл термина «измерить» учащиеся связывают именно с измерением, т.е. определением численного значения величины. Поэтому учащимся предлагают выбрать подходящую единицу объема (ученики чаще используют термины «мерка», «посредник»), заполнить коробки предметами-мерками и сравнить их количество в каждой коробке.

Возникает вопрос: какие мерки можно использовать для измерения объема? Учитель предлагает в качестве единиц объема использовать кусочек деревянной палочки, теннисный мячик, пирамидки. Конечно, мерой может быть любой предмет, если его объем принять за единицу объема. В ходе практической работы коробочка заполняется разными предметами, и выясняется, что деревянной палочкой удобно измерять длину, но неудобно измерять объем: палочек надо очень много, они неплотно прилегают друг к другу. Теннисные мячики не полностью заполняют пространство коробки, между ними остается пустое пространство. Пирамидки сложно уложить плотно, они рассыпаются, некоторые их части выходят за пределы коробки.

  • — Какие предметы мы можем взять, чтобы их удобно было уложить в коробку и измерить ее объем? (Спичечный коробок, кубик, брусочки прямоугольной формы.)
  • — Почему? (Они плотно прилегают друг к другу, между ними нет зазоров.)
  • — Да, верно. Для измерения объема принято использовать куб, длина ребра которого равна единице длины — 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км.

Поскольку дано понятие об объеме как о величине, нетрудно подойти к вопросу о необходимости определенных единиц для измерения этой величины. С учениками повторяется процесс измерения длины и площади, устанавливается, что измерение нового вида величины — площади — потребовало и новых единиц для измерения (квадратных единиц, которыми можно покрыть площадь).

— Единицы измерения площади мы называли квадратными, так как они равны площади единичного квадрата. Как назвать единицы измерения объема, если они равны объему единичного куба? (Кубическими. Кубический сантиметр, кубический дециметр и т.д.)

Следует демонстрация образцов единиц кубических мер — 1 куб. см, 1 куб. дм и 1 куб. м.

Следующий шаг — сравнение тел по объему на основе прямого измерения. Приведем примеры таких заданий.

  • 1. Из одинаковых единичных кубов составь фигуру и определи ее объем в соответствующих единицах.
  • 2. Определи объем коробки, заполняя ее единичными кубами. Что надо сделать, чтобы численное значение объема этой коробки стало больше? Меньше? Проверь себя.
  • 3. Определи объем фигуры по рисунку (рис. 1).

Ребро -1 см.

4. Объем фигуры — количество единичных кубов. Найди объем фигуры разными способами. Выбери рациональный способ. Объясни свой выбор (рис. 2).

Рис. 2

5. Посчитай число единичных кубов, из которых составлены фигуры. Найди рациональный способ подсчета (рис. 3).

Рис. 3

6. Определи объем каждой фигуры, если ребро каждого кубика равно 2 см (рис. 4).

Рис. 4

7. Решение текстовых задач, содержащих характеристики объема. Например: «На молочный завод привезли 220 л молока. Часть молока расфасовали в 120 пол-литровых пакетов, а остальное молоко — в бутылки по 2 л. Сколько бутылок потребовалось?», «На одном деревообрабатывающем станке за 4 часа изготовили 8 кубометров бруса. А на другом за такое же время — 12 кубометров. За какое время можно изготовить 20 кубометров бруса, если оба станка будут работать одновременно?».

При выводе правила для вычисления объема можно прибегнуть к аналогии с выводом правила для вычисления площади.

Изучение материала следует начинать с повторения приема определения площади. Затем надо сравнить объемы двух параллелепипедов при помощи вложения одного тела (коробки) в другое. На следующем этапе переходим к сравнению объемов двух равновеликих тел. Можно взять две открытые коробки (передняя и верхняя грани либо отсутствуют, либо их можно отбросить), равновеликие по объему, но заметно отличающиеся линейными размерами ребер, и поставить вопрос о том, какая из них имеет большую емкость (вместимость).

Попытка решить вопрос вложением одной в другую окажется безрезультатной. Учитель напоминает, как сравнивали площади прямоугольников, когда наложение не давало результатов: фигуры разбивали на равные квадраты. Учитель кладет на стол кубы (удобно кубические дециметры), и с его помощью ученики наполняют коробки, пересчитывают количество кубических дециметров в одной и другой коробках и сравнивают объемы тел. Следует вывод, что для сравнения объемов тел надо наполнить их кубическими единицами и затем сосчитать число единиц.

Далее учащиеся, пользуясь заранее изготовленными коробками, измеряют их объем при помощи заполнения кубическими сантиметрами. Работа должна быть тщательно подготовлена. Надо по возможности добиться аккуратного изготовления коробок с тем, чтобы в них уложилось целое количество кубических единиц. Полезно провести непосредственное измерение объема также и нестандартными единицами, например, стаканами, кружками, бутылками.

Следующим этапом может явиться расчленение тела на кубические сантиметры. Из большой картофелины вырезается прямоугольный параллелепипед так, чтобы длины его ребер выражались в целых сантиметрах. Затем полученное тело разрезается на слои, один слой на бруски, один брусок на кубические сантиметры. Работа эта требует большой тщательности, и если трудно организовать ее выполнение каждым учеником, то учитель проделывает эту работу сам. Затем из полученных элементов восстанавливается параллелепипед и идет подсчет количества кубических сантиметров (рис. 5).

Слой

Куб Брусок / / / / / / Л

Параллелепипед

  • 6 куб. см х 3 х 5= 90 куб. см
  • 1 куб.см 1 куб. см х 6= 6 куб. см 6 куб. см х 3= 18 куб. см

Рис. 5

Желательно, чтобы ученики, пользуясь набором кубических сантиметров, брусков и слоев, сложили бы из кубических сантиметров брусок, из брусков — слой, из слоев — прямоугольный параллелепипед.

Можно показать расчленение параллелепипеда на чертежах. Рисунок 6, а показывает параллелепипед, в котором выделен верхний слой. Рисунок 6, б служит для того, чтобы показать тот же параллелепипед, но с одним отделенным слоем.

Рис. 6

По данному рисунку легко установить число слоев и связать его с высотой параллелепипеда. Затем берем один слой (рис. 7, а)

a)

6)

Рис. 7

и отделяем от него один брусок (рис. 7, б).

Рис. 8

На этом рисунке видно число брусков в одном слое, и это надо связать с шириной основания параллелепипеда. Далее берем один брусок (рис. 8, а) и отделяем один кубический дециметр (рис. 8, б, в), установив связь количества кубических дециметров в одном бруске с длиной основания параллелепипеда. Теперь уже нетрудно восстановить ход рассуждений в обратном порядке и определить количество кубических единиц в параллелепипеде путем перехода от бруска к слою и от одного слоя к числу слоев.

Все эти чертежи можно выполнить на доске в достаточно большом размере. Однако использование чертежей также встречает трудности. Они заключаются в том, что все эти преобразования надо показать не сразу, а постепенно, с тем, чтобы весь процесс расчленения параллелепипеда протекал на глазах у учеников. Чтобы ускорить процесс вычерчивания, можно наиболее трудоемкие чертежи (рис. 6, а, б) выполнить заранее, а остальные выполнять постепенно, в ходе беседы с учениками, тем самым привлекая их к активному участию в получении необходимых выводов.

Итак, подготовительная работа закончена, надо перейти к выводу правила для вычисления объема. По аналогии с выводом правила для вычисления площади надо подвергнуть критике способ заполнения тела кубическими единицами как неудобный, а практически зачастую и невыполнимый.

Объяснение протекает примерно так. Учитель заполняет открытую коробку кубическими дециметрами. Затем снимаются все слои, кроме нижнего, а в одном из углов оставляется один столбик, при помощи которого можно подсчитать количество слоев.

Рис. 9

В беседе с детьми учитель подводит их к выводу, что можно не оставлять столбики кубиков, а достаточно измерить высоту тела, чтобы узнать, сколько будет слоев (рис. 9). Затем учитель подводит учеников к выводу, что измерение ширины укажет число брусков, а измерение длины — число кубических единиц в бруске.

В результате формулируется правило вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, надо измерить его длину, ширину и высоту одной и той же мерой и полученные числа перемножить. В произведении получим число, выражающее в кубических единицах объем прямоугольного параллелепипеда.

Принятая в начальной школе запись 6 куб. см • 3 • 5 - 90 куб. см вполне согласуется со всем ходом рассуждений по выводу правила для вычисления объема. Не следует спешить с требованием, заучить правило. Пусть ученики 14

некоторое время объясняют, что измерить длину нужно для того, чтобы узнать, сколько кубических единиц содержится в одном бруске, ширину — чтобы узнать, сколько брусков в одном слое, высоту — чтобы узнать количество слоев, что полученные числа надо перемножить для вычисления объема, что результат выразится в кубических единицах (в единицах объема).

Через некоторое время можно будет предложить ученикам выучить правило для вычисления объема. После этого можно им показать другую форму записи вычисления объема: 6 • 3 • 5 = 90 (куб. см) или 6 м • 3 м • 5 м = 90 куб. м. Вычисление объема куба не встретит затруднений, если тщательно был проработан вывод для объема параллелепипеда. Когда ученики изучат таблицы линейных, квадратных и кубических мер, следует сопоставить эти меры и их единичные отношения с помощью наглядных пособий и соответствующих таблиц.

Чтобы показать связь между кубическими единицами, единицами объема жидких и сыпучих тел и единицами веса, надо поставить на весы открытую коробку в форме куба объемом в 1 куб. дм и после ее уравновешивания налить водой. Масса воды — 1 кг. Затем на весы ставится литровая кружка, уравновешивается, в нее переливается вода из кубического дециметра и опять ставится гиря в 1 кг.

При изучении тел и их объемов надо учитывать сказанное ранее о разграничении существенных и несущественных признаков. Например, изменив положение прямоугольного параллелепипеда так, что ширина, длина и высота переменились местами, можно показать независимость объема от положения тела в пространстве.

Весьма широки практические приложения, связанные с задачами на вычисление объемов. Следует привлечь материалы местного характера. Важное значение имеет вычисление объемов на основе измерений, выполненных учащимися, как в классе, так и вне класса, дома. Среди практических задач могут быть и задачи на вычисление боковой и полной поверхности куба и параллелепипеда.

Развитию пространственного воображения способствуют задачи и упражнения занимательного характера, проводимые во внеклассной и классной работе.

В результате изучения этого раздела ученики должны уметь выделять прямоугольный параллелепипед и куб среди других тел, знать их элементы, указать сходство и различие этих тел, находить их в окружающей обстановке.

  • 1. Уметь чертить куб и параллелепипед на клетчатой и нелинованной бумаге.
  • 2. Уметь вычислять объем этих тел и понимать роль каждого из трех измерений при вычислении объема.
  • 3. Иметь понятие об объеме как о величине, качественно отличной от длины и площади, и конкретные представления о мерах объема и их соотношении.

Приведем примеры заданий разного уровня сложности и практической направленности.

  • 1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 18 см, 26 см и 10 см.
  • 2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина 320 мм, ширина в 4 раза меньше длины, а высота на 3 см больше ширины.
  • 3. Площадь поверхности куба равна 216 см2. Найдите его объем.
  • 4. Дан прямоугольный параллелепипед. Сумма длин всех его ребер равна 152 см. Сумма высоты и длины — 30 см, а высоты и ширины — 20 см. Найдите объем этого параллелепипеда.
  • 5. Коробка без крышки имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его объем равен 5544 см3, ширина — 14 см, высота — на 4 см больше ширины. Сколько квадратных сантиметров бумаги понадобится, чтобы оклеить эту коробку?
  • 6. Объем выставочного зала музея составляет 1800 м3. Какова высота потолков этого зала, если площадь пола равна 300 м2?
  • 7. В ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда (длина основания 40 см, ширина 30 см, высота 20 см) надо уложить кубики, заполнив его полностью. Сколько кубиков наибольшего размера поместится в этот ящик?
  • 8. Сколько маленьких кубиков надо убрать из фигуры, изображенной слева, чтобы получить фигуру, изображенную справа (рис. 10)?

Рис. 10

9. Квадратную коробку заполнили в три слоя одинаковыми кубиками. Ребята вынули 20 кубиков верхнего слоя, которые лежали вдоль стенок коробки. Сколько кубиков осталось лежать в коробке?

Анализируя современные учебники по математике для начальной школы, можно увидеть, что развитие у учащихся представлений об объеме происходит по-разному. В учебниках М. И. Моро и др. (УМК «Школа России») этот материал представлен через систему задач без выделения отдельной темы. Здесь рассматривается одна единица измерения объема — литр.

В учебниках А. Л. Чекина (УМК «Перспективная начальная школа») представлена величина «вместимость» как частный случай величины «объем». Осо-16

бое внимание обращается на правильное использование этих понятий. Например, говоря о вместимости чашки, подразумевается объем жидкости, который максимально помещается в этой чашке. Под объемом чашки понимается объем жидкости, которую вытесняет эта чашка при полном погружении (объем складывается из объема дна, стенок и ручки данной чашки). Для измерения объема вводятся кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический миллиметр, кубический метр. Особое внимание уделяется изучению темы «Литр и килограмм». Здесь на пропедевтическом уровне учащиеся знакомятся с физическим понятием «плотность». Разные тела имеют разную плотность. Поэтому только 1 л пресной воды имеет массу 1 кг (и то приблизительно) [35, 15-17].

Вопросы и задания для самоконтроля

  • 1. Что такое объем?
  • 2. Любое ли материальное тело имеет объем?
  • 3. Любая ли геометрическая фигура имеет объем?
  • 4. Как можно сравнить объемы материальных тел?
  • 5. Как выявить способы сравнения объемов, которыми владеют дети, перед началом изучения темы?
  • 6. Как использовать опыт детей при сравнении объемов различных физических тел: сыпучих, жидких, твердых? Приведите примеры.
  • 7. Какие предметы, геометрические тела могут быть мерами (эталонами, мерками) объема?
  • 8. Какие меры измерения объема являются общепринятыми? Почему именно они?
  • 9. Расскажите, как организовать ознакомление учащихся с общепринятыми единицами объема в настоящее время. Приведите примеры вопросов и заданий для учащихся.
  • 10. Каковы причины появления формул вычисления объема геометрических тел?
  • 11. Какова процедура прямого измерения объема тела? Какова процедура косвенного измерения объема тела?
  • 12. Каковы причины того, что дети-дошкольники при переливании жидкости из одного сосуда в другой на вопрос «Изменилось ли количество жидкости?» часто отвечают утвердительно («феномен Пиаже»)? Как его преодолеть? Разработайте варианты соответствующей работы с детьми.
  • 13. Как представлено понятие «объем» в современных учебниках математики? Сделайте содержательный анализ.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >