Использование таблиц истинности для описания работы комбинационных логических схем
Таблицы истинности могут быть однозначно сопоставлены вербальным алгоритмам и приводившимся выше диаграммам. Если принадлежность произвольной точки прямоугольника множеству У (или Z) считать «истиной» (с обозначением Т или 1), а противоположный случай -«ложью» (F или 0), то таблица истинности для операции И (конъюнкция) может быть изображена в виде табл. 2.2. Таблица истинности для операции ИЛИ (дизъюнкция) приведена в табл. 2.3.
Таблица 2.2
Таблица истинности для операции И
|
Y |
Z |
л |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Таблица 2.3
Таблица истинности для операции ИЛИ
|
Y |
Z |
V |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Заметим, что в этих таблицах представлены четыре различные комбинации случаев принадлежности (или непринадлежности) точки множествам Y и Z.
Таблица истинности - наиболее полный формальный метод описания того, как работает логическая схема. Однако описание работы схем с помощью таблиц истинности не только громоздко, но и, являясь первой ступенью синтеза любого цифрового устройства, не содержит описания его работы в минимальной форме, необходимой для облегчения анализа возможностей интегральных схем для конкретных приложений.
Для дальнейшего анализа и синтеза логической схемы необходимо преобразовать информацию в форме таблицы истинности в Булево выражение. Для записи в дизъюнктивно нормальной форме выделяются те комбинации переменных строки, которые дают логическую 1 на выходе. Аналогичным образом можно построить таблицу истинности по Булеву выражению.
Таблица истинности и Булево выражение по-разному описывают принцип действия одной и той же логической схемы. Например, если имеются три датчика А, В и С, а включение электродвигателя или другого исполнительного устройства происходит при срабатывании датчиков В и С или датчика А, то формальное описание данного вербального условия работы можно представить в виде таблицы истинности для трех переменных (рис. 2.1), которому соответствует Булево выражение в нормальнодизъюнктивной форме У = АлВлСуА/В лС.
|
№ |
А |
в |
с |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 2.1. Таблица истинности для Булева выражения
Y = АлВлСуАлВ лС
Необходимо учитывать все возможные комбинации входов, которые дают логическую единицу в таблице истинности. Например, минимизированное Булево выражение Y = А лС v А л В лС дает не две, а три логических единицы для выходной функции Y в таблице истинности (рис. 2.2).
|
№ |
А |
в |
с |
V |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Рис. 2.2. Таблица истинности для Булева выражения Y = А лС v А л В лС
В другом примере требуется обеспечить управление исполнительным элементом Y так, чтобы он срабатывал при наличии сигналов от любых - одного или двух - из трех датчиков А, В, С. В данном случае формализация словесного алгоритма в виде таблицы истинности представлена на рис. 2.3.
|
№ |
А |
в |
с |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 2.3. Формальное описание работы схемы по вербальному описанию в виде таблицы истинности
Формальное описание в виде исходного Булева выражения в нормально-дизъюнктивной форме - Уисх = ABC +АВС + АВС + АВС + АВС + АВС.
Логическая схема для реализации вербального алгоритма в соответствии с исходным Булевым выражением будет иметь вид (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Исходная логическая схема для реализации вербального алгоритма
Используя равносильности Булевой алгебры, можно минимизировать исходную функцию Yucx:
=АВС+_АВС+АВС+АВС+АВС+АВС=_
=А С(В+В)+ВС(А+А )+АВ (С+С)=А С+ВС+АВ
Логическая схема для реализации вербального алгоритма в соответствии с минимизированным Булевым выражением Упйп = АС + ВС + АВ будет иметь вид (рис. 2.5). Минимизированная схема работает аналогично исходной, но при этом дешевле и имеет более высокую надежность.
Рис. 2.5. Минимизированная логическая схема для реализации вербального алгоритма
Если пронумеровать строки таблицы истинности в соответствии с десятичным значением соответствующих двоичных кодов, то можно записать условие работы схемы в виде набора номеров строк, где выходная функция принимает значение 1. Например, функция, записанная в виде
Y=? (З, 5, б, 9, 10, 12), может быть представлена соответствующей таблицей истинности (рис. 2.6).
|
№ |
А |
в |
с |
D |
Y |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 2.6. Таблица истинности для функции У=? (3, 5, 6, 9, 10, 12)
Формальное описание в виде исходного Булева выражения в нормально-дизъюнктивной форме будет иметь вид:
Уисх =ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD.
Полученное Булево выражение может быть минимизировано с использованием свойств и аксиом Булевой алгебры и реализовано в виде логической схемы.
