ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ

Законы логического мышления исследовались английским математиком Дж. Булем, который разработал метод проверки истинности определенных высказываний. Понятия истинности и ложности берут свое начало в исчислении высказываний, приводящем к современным методам проектирования с использованием таблиц истинности.

В Булевой алгебре определяется ряд операций, достаточно удобных для использования при логическом конструировании. Логику проектирования удобно представлять математическим аппаратом алгебры переключательных схем.

Булева алгебра

Булева алгебра была основана Джорджем Булем (1815-1864 г.г.) и с середины 30-х годов прошлого столетия является основой для анализа цифровых логических схем. Булевой алгеброй называется непустое множество А с двумя бинарными операциями логического умножения А (конъюнкция) и логического сложения V (дизъюнкция), унарной операцией - (отрицание) и двумя выделенными элементами: 0 (Ложь) и 1 (Истина). Основные равносильности Булевой алгебры представлены в табл. 2.1. Использование следствий законов алгебры логики позволяет сократить (минимизировать) логические выражения.

Формальное описание работы схемы в виде Булева выражения позволяет построить логическую схему устройства, реализующего заданный алгоритм. Однако сложность минимизации, отсутствие наглядности и возможности контроля всех возможных вариантов реализации алгоритма привело к использованию таблиц истинности и карт Карно для формального описания работы комбинационных логических схем.

Таблица 2.1

Сводная таблица равносильностей Булевой алгебры

Формальное описание

Вербальное описание

a v b = b v а а a b = b л а

коммутативность, переместительность

a v (Ъ а с) = (a v b) v с а л (Ъ л с) = (а л Ь) л с

ассоциативность, сочетательность

конъюнкция относительно дизъюнкции a v (Ь л с) = (a v b) л (a v с) дизъюнкция относительно конъюнкции а а (Ъ v с) = (а л b) v (а л с)

дистрибутивность, распределительность

a v а = 1 а а а = 0

комплементность, дополнительность

(свойства отрицаний)

(a v b) = а а b (a Ab)-a vZ>

законы де Моргана

a v (а а Ь) = а a a (a v Ь) = а

законы поглощения (склеивания)

av(a/)=avb а а (а/ b) = а аЬ

Блейка-Порецкого

a v а = а а а а = а

идемпотентность

а = а

инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания

а v 0 = а а а 1 = а

свойства констант

а v 1 = 1

а л 0 = 0

дополнение 0 есть 11 = 0 дополнение 1 есть 0 0 = 1

(a v b) a (a v b) = b (a a b) v (a a b) = b

склеивание

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >