Математическое моделирование технических объектов

Математическое обеспечение автоматизированного проектирования включает в себя математические модели объектов проектирования и алгоритмы выполнения проектных процедур.

Общие сведения о математических моделях

СД-z/b Проектирование представляет собой процесс преобразования описаний проектируемого объекта, начиная от исходного описания — технического задания - и заканчивая окончательным описанием - комплектом конструкторской документации, предназначенным для использования в процессе изготовления и эксплуатации данного объекта. В процессе проектирования возникают специфические промежуточные решения — проектные решения. В качестве промежуточных описаний в процессе проектирования часто выступают математические модели объекта (ММ).

Математическая модель технического объекта - это система математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств, таблиц и др.) и отношений между ними, отражающая некоторые свойства технического объекта.

Свойств у технических объектов - бесконечное число, поэтому в ММ учитываются только свойства, существенные для решае

мой задачи с точки зрения разработчика.

Свойства технических объектов в ММ количественно характеризуются некоторыми числовыми величинами, которые называют параметрами (или характеристиками). В общей теории математического моделирования ММ любого объекта характеризуют внут ренними, внешними, выходными параметрами и фазовыми переменными.

Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов, входящих в состав проектируемого объекта, например номиналы элементов принципиальной схемы и т. д.

Выходные параметры модели характеризуют внешние свойства объекта (его рабочие характеристики), которые зависят от параметров элементов, составляющих объект (внутренних параметров), и параметров окружающей среды (внешних параметров).

Понятия внутренних и выходных параметров инвариантны, при моделировании на более сложном уровне выходные параметры могут стать внутренними и наоборот. Например, сопротивление резистора является внутренним параметром при моделировании усилительного устройства, компонентом которого он является. Но это же сопротивление будет выходным параметром при моделировании самого резистора, что требуется при его пленочном исполнении.

Т Внешние параметры модели - это характеристики внешней

по отношению к проектируемому объекту среды, а также рабочие управляющие воздействия. Вектор внешних параметров в общем случае содержит множество самых различных составляющих. В качестве внешних параметров ММ выступают характеристики внешней среды и воздействия, которые могут быть выражены количественно.

Внутренние параметры мы можем менять (хотя бы частично), т. е. геометрические размеры, способ соединения элементов, электрическую схему и т. д. Внешние параметры не зависят от разработчика (температура, давление, влажность и пр.) и обычно являются дополнительными требованиями в ТЗ к функционированию объекта [1, 2, 3].

Пример

Для ММ электронного усилителя: зо

  • 1) выходные параметры - полоса пропускания, коэффициент усиления, входное сопротивление, потребляемая мощность и т. д.;
  • 2) внутренние параметры — сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, параметры активных элементов (транзисторов) и т. д. и способ соединения этих элементов между собой (т. е. принципиальная схема);
  • 3) внешние параметры - сопротивления генератора и нагрузки, температура окружающей среды, управляющие сигналы и т. д.

Пусть для некоторой ММ есть т внутренних параметров, I внешних параметров и п выходных параметров. Векторы этих параметров обозначим соответственно X = (х{, х2,..., хп) - внутренние параметры; Q = (q{, q2,---, tf/) _ внешние параметры; Y = (ух2,..., ут) - выходные параметры. Тогда ММ объекта можно записать в общем виде:

Y = F(X,Q). (2.1)

A Наличие такой ММ позволяет легко оценивать выходные па-

** раметры по известным значениям векторов X и Q. Однако суще

ствование зависимости (2.1) не означает, что она известна разработчикам и может быть представлена в явном аналитическом виде относительно вектора Y. Как правило, ММ в виде (2.1) удается получить только для достаточно простых объектов. Типичной является ситуация, когда ММ сложных объектов задаются в алгоритмическом виде, т. е. известен алгоритм (последовательность) расчета вектора Y по заданным внутренним параметрам X и внешним параметрам Q.

? К выходным параметрам (рабочим характеристикам) тех-

нических объектов предъявляются определенные требования, которые формулируются в ТЗ на проектирование. Обычно их записывают в виде одно- или двусторонних неравенств:

ТТГ<У[<ТТ (i = l,m),

(2.2)

здесь TTf ,ТТ* - нижние и верхние допустимые значения величины у,. Совокупность технических требований ТТ~ ,ТТ* (i = l,m), предъявляемых к вектору Y, образуют векторы технических требований

тт =(ттх ,ТТ2 ,

и ТТ*

ТТ*,тт2тт*

Требуемые соотношения между параметрами Y и техниче

скими требованиями ТТ и ТТ* называют условиями работоспособности.

Используя соотношение (2.2), можно записать общий вид требований ТЗ к выходным параметрам ММ:

ТГ < Y < ТТ*. (2.3)

Уравнения математической модели могут связывать некоторые физические характеристики компонентов, которые полностью характеризуют состояние объекта, но не являются выходными или внутренними параметрами модели (например, токи и напряжения в радиоэлектронных устройствах, внутренними параметрами которых являются номиналы элементов электрических схем, а выходными параметрами - выходная мощность, коэффициент передачи и т. п.). Такие характеристики называют фазовыми переменными.

Минимальный по размерности вектор фазовых переменных V = (vp v2,..., vs.), полностью характеризующий работу объекта проектирования, называют базисным вектором. Например, при составлении уравнений ММ радиоэлектронных устройств в качестве базисного вектора V можно использовать вектор узловых потенциалов либо вектор напряжений на конденсаторах и токов в индуктивностях - так называемые переменные состояния. Использование вектора фазовых переменных позволяет упростить алгоритмическую реализацию программ, составляющих уравнения математической модели устройства.

В общем случае выходные параметры Y представляются операторами от векторов X, Q, V и могут быть определены из решения системы уравнений

ММ устройства. С учетом вышесказанного, ММ любого технического объекта может быть представлена в виде следующих уравнений:

Ф(й,х,ё) = 0; (2.4)

У = Ч/(Й), (2.5)

где ф и ф - операторы, определяющие вид системы уравнений ММ.

В результате решения системы (2.4) определяются действующие в устройстве фазовые переменные V. Система уравнений (2.5) определяет зависимость выходных параметров объекта У от фазовых переменных V. В частных случаях составляющие вектора V могут являться внутренними или выходными параметрами ММ, и тогда системы уравнений (2.4) и (2.5) упрощаются.

A Ї—°) Отметим, что часто моделированием называют лишь получе-

«г ние системы (2.4). Решение уравнений (2.4) и отыскание вектора Y с помощью уравнений (2.5) называют анализом математической модели.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >