Элементы электрических цепей синусоидального тока

• - мощность в любой момент времени положительна (/? > 0) . Это значит, что в резистивном элементе происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии («потребление» энергии);
• - постоянная составляющая в формуле (3.22) есть среднее значение мгновенной мощности за промежуток времени равный периоду Т. Следовательно, энергия Ж , преобразуемая в резистивном элементе в течение периода, определяется по формуле:

Энергия, преобразуемая в резистивном элементе за любой промежуток времени от 0 до t определяется по формуле

/ t

W = j pdt = U • I j (1 - cos 2ax)dt. (3.24)

о о

3.2.2 Индуктивный элемент

Классическим примером индуктивного элемента (ИЭ) является катушка индуктивности - провод, намотанный на изоляционный каркас (рисунок 3.5,а)

На рисунке 3.5,6 изображен индуктивный элемент, через который протекает ток

i_L = I_m sin M .

(3.25)

Рисунок 3.5 - Конструкции катушки индуктивности (а), изображение ИЭ на схеме (б), векторная диаграмма (в), временные диаграммы (г) напряжения и тока, временная диаграмма мгновенной мощности (д)

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение на индуктивном элементе

• (1Ф d(Li) . dir , di,
• (3.26)

^L dt dt dt ^L dt

где Ф - магнитный поток, сконцентрированный внутри индуктивного элемента (катушки индуктивности), Вб;

L - индуктивность элемента (коэффициент пропорциональности между маг-

нитным потоком и током в индуктивном элементе), для линейного индуктивного элемента индуктивность L = const, Гн.

Подставляя в (3.26) выражение (3.25), получим:

и _L = со- L-1 _т cos cot = U _т sinlcot + 90°), (3.27)

где U„, =Ш'Ы„ = X_L-I_m.

Величина X_L =co-L называется реактивным индуктивным сопротивлением, измеряется в Омах и зависит от частоты со.

Сопоставляя выражения (3.25) и (3.27) сделаем важный вывод: ток в индуктивном элементе отстает по фазе от напряжения на — (90°).

Это положение иллюстрируется на рисунках 3.5,в, г. Из формулы (3.27) следует также:

• - индуктивный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого X_L =co-L, прямо пропорционален частоте.
• - закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения:
• (3.28)

так и для действующих значений:

U_m=X_L-I_m^^ = X_L-^U = X_L-I. (3.29)

Выразим мгновенную мощность р через і и и:

p = u-i = U_т cos cot -1 _т sin cot = I™ ^s^^{n =} U I^sin • (3.30)

График изменения мощности p во времени построен на основании формулы (3.30) на рисунке 3.5, д. Анализ графика и (3.30) позволяют сделать выводы:

- мгновенная мощность на индуктивном элементе имеет только переменную составляющую f—^w 2шґ = U -Isinlcot, изменяющуюся с двойной частотой (2co).

- мощность периодически меняется по знаку: то положительна, то отрицательна. Это значит, что в течение одних четверть периодов, когда р > 0. энергия запасается в индуктивном элементе (в виде энергии магнитного поля), а в течение других четверть периодов, когда р < 0, энергия возвращается в электрическую цепь.

Запасаемая в индуктивном элементе энергия за время dt равна:

dW = pdt. (3.31)

Максимальная энергия, запасенная в индуктивном элементе, определится ио формуле:

Т/ т/

/4 4 I

W_m = f pdt= f U ? I sinlcot = U ? I ? —. (3.32)

о о

Подставляя в (3.32) U = 1 -a>-L, получим:

і

W_m=I²-L = ^-. (3.33)

3.2.3 Емкостный элемент

Примером емкостного элемента является плоский конденсатор - две параллельные пластины, находящиеся на небольшом расстоянии друг от друга (рисунок 3.6, а).

Пусть к емкостному элементу приложено напряжение (рисунок 3.6, б)

u_c-U_msinaX. (3.34)

На пластинах емкостного элемента появится заряд q, пропорциональный приложенному напряжению:

q-Cu_c. (3.35)

Тогда ток в емкостном элементе

dq „du_r „ _rr , . І _пгм

(3.36)

i_c = —j- = C -co-CU_m coscot - I_m sin(ot +90 J.

Рисунок 3.6 - Емкостный элемент. Конструкция плоского конденсатора (а), изображение на схеме (б), векторы (в), временные диаграммы (г) тока и напряжения, временная диаграмма мгновенной мощности (д)

Таким образом, получим важные соотношения:

(3.37)

. и_т _и,„

• 1/(<«С) X,. ’ гле Х_с =--реактивное емкостное сопротивление, измеряется в Ом и
• а) С

зависит от частоты.

Сопоставляя выражения (3.36) и (3.34), приходим к выводу: ток в емкостном элементе опережает по фазе напряжение, приложенное к нему, на 90°.

Это положение иллюстрируется на рисунках 3.6, в, г.

Анализ выражений (3.36) и (3.37) позволяет сделать и другие выводы:

• - емкостный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого Х_с обратно пропорционален частоте.
• - закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения:

U_m=X_c-I_tn, (3.38)

так и для действующих значений:

и_т = *с ? Л„ => = ^Хс • => и_с = Х_с • 1_С. (3.39)

Выразим мгновенную мощность р через і и и :

p = u-i = U_m sin cot ? I _т cos cot = ^{m m} sin 2cot = U I sin 2cot. (3.40)

Л. tr! tri 2

График изменения мощности p во времени построен на рисунке 3.6, д. Анализ графика и (3.40) позволяют сделать выводы:

• - мгновенная мощность на емкостном элементе имеет только переменную составляющую I”' sin = U I sin 2cot, изменяющуюся с двойной частотой (2со).
• - мощность периодически меняется по знаку - то положительна, то отрицательна. Это значит, что в течение одних четверть периодов, когда р>0, энергия запасается в емкостном элементе (в виде энергии электрического поля), а в течение других четверть периодов, когда р < 0, энергия возвращается в электрическую цепь.

Запасаемая в емкостном элементе энергия за время dt равна dW = pdt.

(3.41)

Максимальная энергия, запасенная в емкостном элементе, определится по формуле:

т/ т/

/і /4 |

W = f pdt = Г U ? 1 sin 2rof = U • I • —.

• (3.42)
• (3.43)

о ^Jo ⁰¹

Учитывая, что I = C a> U, получим:

IV„, =U²C = ^^-", ₂