Линейные однофазные электрические цепи синусоидального тока

Основные величины, характеризующие синусоидальные ток, напряжение и ЭДС

Этими основными величинами являются:

• - мгновенное значение;
• - амплитудное значение;
• - начальная фаза;
• - действующее значение;
• - среднее значение;
• - комплекс действующего или амплитудного значения и др.
• 3.1.1 Мгновенное значение

Мгновенное значение величины а показывает закон ее изменения во времени и записывается в виде:

а = А_т sin(oA +1// (3.1)

где А_т - амплитуда (максимальное значение) величины;

со - угловая скорость (круговая частота), рад/с;

t - текущее значение времени, с;

і// - начальная фаза, рад.

Мгновенные значения тока і, напряжения и или ЭДС е записываются в виде:

і = sin(cot + у/,), (3.2)

и = U_m sin(ol + if/,,), (3.3)

e = E_m sin(at + (/<.). (3.4)

Аргумент синуса (йХ + ^) называется фазой. Угол у/ равен фазе в начальный момент времени t =0 и поэтому называется начальной фазой.

Угловая скорость со связана с периодом Т и частотой f = 1^. формулами: 2д _ .

^{a) =} ~jT ^{или ы =} • (3.5)

Частота /, равная числу колебаний в 1с., измеряется в Герцах (Гц). При f =50 Гц имеем со =314 рад/с.

С учетом (3.5) формула (3.1) может иметь вид:

а = 4» И —t + Vy (3.6)

На рисунке 3.1 изображены графики синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

'1 +

/₂ = Л«2 sin^Ot+y/i).

Рисунок 3.1 - График синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами.

По оси абсцисс отложено время t и величина (Ot, пропорциональная времени и измеряемая в радианах.

Начальный фазный угол отсчитывается от начала синусоиды, т.е. от момента перехода синусоиды от отрицательных к положительным значениям до момента времени Г=0 (начало координат). При ^>0 начало синусоиды сдвинуто влево, а при i//₂<0 - вправо от начала координат.

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе.

Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая равна разности начальных фаз. На рисунке 3.1 у/_} -у/₂>(), т.е. ток /| опережает по фазе ток /₂ на угол или, что тоже самое, ток /₂ отстает по фазе от тока i_} на угол .

Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе’, если разность их фаз равна ±я, то говорят, что они противоположны по фазе (в противофазе).

Наибольшее распространение в электротехнике получил синусоидальный ток частотой 50 Гц, которая принята за стандартную частоту в России. В США стандартной является частота/=60 Гц.

Диапазон частот, применяемых на практике синусоидальных токов и напряжений, очень широк: от долей герца, например, в геологоразведке, до десятков тысяч мегагерц (МГц) в радиолокации.

Рисунок 3.2 - Условные обозначения идеальных источников ЭДС

Источники синусоидальной ЭДС (источники синусоидального напряжения) обозначают на схемах с помощью условных обозначений (рисунок 3.2, а, б), или только показывают вектор напряжения между зажимами источника (рисунок 3.2, в), так как в большинстве случаев принимают источники идеальными и ввиду равенства нулю их внутреннего сопротивления имеем е = и. Е = U и т.д.

3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений

Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока /₀ в течение промежутка времени t равна:

• (?=/₀²-Л/.
• (3.7)

Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ, выделившейся в резисторе с сопротивлением R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу тока і можно считать нс изменяющейся:

dQ = i²Rdt,

(3.8)

За период времени Т выделившаяся энергия:

т

Q = ji²Rdt, (3.9)

о

Пусть і = I_m зіпай, тогда:

т Т 2

О = fI² sin² wtRdt = I² Rsin² cotdt = — RT

о 0

Введем величину I =

называемую действующим значением синусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

Q = I²RT,

(3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Действующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:

U F

(3.11)

U = —^ и Е = -^

V2 <2

Из формул (3.9) и (3.10) получаем:

(3.12)

В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

В действующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за половину периода:

• 2 sin cot dt = — I _m , я
• (3.13)

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет —=0,638 от амплитудно-я

го значения. Аналогично, Е_ср = 2Е_т /я , U_ср - 2U_m /я.

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами и векторами

Синусоидально изменяющийся ток і изображается комплексным числом:

і = I_m sin(ax + ^.) <=> 1_те^^ (3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени /=0:

z = 7,„siny/, =/„,e^jV'_ (3.15)

Величину І_т называют комплексной амплитудой тока или комплексом амплитуды тока.

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока І понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на V2 :

j ₌hL ₌ L^._ej^ _=I. _eJVi _{(3 16)}

V2 4Ї

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выражения

Рисунок 3.3 - Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на комплексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен вектор /. При этом угол і отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки, если ^->0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I (так же, как комплекс напряжения и ЭДС) можно представить

• а) вектором І;
• б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:

І = I -е* = Re(/) +j Im(/) =+ j7sin(/_z, (3.17)

Пример 3.1: Ток і = + 30°), А. Записать выражение для комплекс

ной амплитуды этого тока.

Решение: В данном случае 1_т=2 А, ^=30°. Следовательно,

1,„ = 2-e^j3O° = (2cav30° + j-2.w«30°)= 7з + jl, А

Пример 3.2: Комплексная амплитуда тока /_т = 25е , А. Записать выражение для мгновенного значения этого тока.

Решение: Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значе-

: icot , ,

нию надо умножить на Є и взять коэффициент при мнимои части от по

лученного произведения:

і = lm(25 ? • е^,аг )= Im(25 ? е^>^’^3rf>))= 25 sin -30°), Л

Пример 3.3: Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1.

Ї и’*' -

Решение: I = =---т=— = V2 ? е^}3 , А.

V2 V2