Пример 2. Программа «Занимательная математика», 5-й класс, 34 часа, общеинтеллектуальное направление

Программа «Занимательная математика»,

5-й класс, 34 часа,

общеинтеллектуальное направление[1]

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа курса внеурочной деятельности «Занимательная математика» адресована учащимся 5-го класса и является одной из важных составляющих работы с одаренными и с мотивированными детьми, которые подают надежды на проявление способностей в области математики в будущем.

Направление программы общеинтеллектуальное, программа создает условия для творческой самореализации личности ребенка.

АКТУАЛЬНОСТЬ

Программа обоснована введением ФГОС ООО, а именно — ориентирована на выполнение требований к содержанию внеурочной деятельности школьников, а также на интеграцию и дополнение содержания предметных программ. Программа педагогически целесообразна, ее реализация создает возможность разностороннего раскрытия индивидуальных способностей школьников, развития

интереса к различным видам деятельности, формирует потребность активно участвовать в продуктивной деятельности, умения самостоятельно организовать свое свободное время.

Цели:

  • • создание условий, обеспечивающих интеллектуальное развитие личности школьника на основе развития его индивидуальности;
  • • создание фундамента для математического развития, формирование механизмов мышления, характерных для математической деятельности.

Задачи:

  • • пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям, расширение кругозора;
  • • расширение и углубление знаний по предмету;
  • • раскрытие творческих способностей учащихся;
  • • развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой;
  • • воспитание твердости в пути достижения цели (решения той или иной задачи);
  • • решение специально подобранных упражнений и задач, направленных на формирование приемов мыслительной деятельности;
  • • формирование потребности к логическим обоснованиям и рассуждениям;
  • • специальное обучение математическому моделированию как методу решения практических задач;
  • • работа с одаренными детьми в рамках подготовки к предметным олимпиадам и конкурсам.

Ожидаемые результаты:

Личностными результатами реализации программы станет формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества, а также формирование и развитие универсальных учебных умений самостоятельно определять, высказывать, исследовать и анализировать, соблюдая самые простые общие для всех людей правила поведения при общении и сотрудничестве (этические нормы общения и сотрудничества).

Метапредметными результатами реализации программы станет формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности, а именно следующих универсальных учебных действий.

Регулятивные УУД:

  • • Самостоятельно формулировать цели занятия после предварительного обсуждения.
  • • Учиться совместно с учителем обнаруживать и формулировать учебную проблему.
  • • Составлять план решения проблемы (задачи).
  • • Работая по плану, сверять свои действия с целью и, при необходимости, исправлять ошибки.
  • • В диалоге с учителем учиться вырабатывать критерии оценки и определять степень успешности выполнения своей работы и работы других, исходя из имеющихся критериев.

Познавательные УУД:

  • • Ориентироваться в своей системе знаний: самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения той или иной задачи.
  • • Отбирать необходимые для решения задачи источники информации среди предложенных учителем словарей, энциклопедий, справочников, интернет-ресурсов.
  • • Добывать новые знания: извлекать информацию, представленную в разных формах (текст, таблица, схема, иллюстрации и др.).
  • • Перерабатывать полученную информацию: сравнивать и группировать факты и явления; определять причины явлений, событий.
  • • Перерабатывать полученную информацию: делать выводы на основе обобщения знаний.
  • • Преобразовывать информацию из одной формы в другую: составлять более простой план учебно-научного текста.
  • • Преобразовывать информацию из одной формы в другую: представлять информацию в виде текста, таблицы, схемы.

Коммуникативные УУД:

  • • Донести свою позицию до других: оформить свои мысли в устной и письменной речи с учетом своих учебных и жизненных речевых ситуаций.
  • • Донести свою позицию до других: высказывать свою точку зрения и пытаться ее обосновать, приводя аргументы.
  • • Слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения.
  • • Читать вслух и про себя тексты научно-популярной литературы и при этом вести «диалог с автором» (прогнозировать будущее чтение; ставить вопросы к тексту и искать ответы; проверять себя); отделять новое от известного; выделять главное; составлять план.
  • • Договариваться с людьми: выполняя различные роли в группе, сотрудничать в совместном решении проблемы (задачи).
  • • Учиться уважительно относиться к позиции другого, учиться договариваться.

Предметными результатами реализации программы станет создание фундамента для математического развития, формирование механизмов мышления, характерных для математической деятельности, а именно:

  • — познакомиться со способами решения нестандартных задач по математике;
  • — познакомиться с нестандартными методами решения различных математических задач;
  • — освоить логические приемы, применяемые при решении задач;
  • — рассуждать при решении логических задач, задач на смекалку, задач на эрудицию и интуицию;
  • — познакомиться с историей развития математической науки, с биографией известных ученых-математиков;
  • — расширить свой кругозор, осознать взаимосвязь математики с другими учебными дисциплинами и областями жизни;
  • — познакомиться с новыми разделами математики, их элементами, некоторыми правилами, а при желании — самостоятельно расширить свои знания в этих областях;
  • — познакомиться с алгоритмом исследовательской деятельности и применять его для решения задач математики и других областей деятельности;
  • — приобрести опыт самостоятельной деятельности по решению учебных задач;
  • — приобрести опыт презентации собственного продукта.

Формы и режим занятий:

В соответствии с ФГОС школьники выбирают содержание внеурочной деятельности, в которой они могут участвовать. В 5-м классе учащимся следует дать время на осознание своего выбора. В связи с этим наилучшим началом организации внеурочной деятельности по математике является середина сентября — начало октября, а завершением работы — конец апреля.

«Вхождение» в математику, ту математику, которой мы мечтаем учить школьников, — процесс, требующий значительного времени на анализ, понимание, вживание, осознание учебной задачи, то есть тех качеств, которые заявлены в ФГОС смыслообразованием современного образования. В рамках образовательного процесса следует создавать условия для целенаправленного и комфортного воспитания и развития школьников, в связи с этим рекомендованная продолжительность учебного занятия — 90 минут.

Вместе с тем, если в образовательном учреждении не могут быть созданы указанные условия, то режим проведения занятий может быть следующим: по 1 занятию раз в неделю в течение 34 учебных недель (табл. 3).

Осуществлять развитие творческих способностей учащихся необходимо систематически и целенаправленно через систему занятий, которые должны строиться на междисциплинарной, интегративной основе, способствующей развитию психических свойств личности — памяти, внимания, воображения, мышления.

Задачи на занятиях подбираются с учетом рациональной последовательности их предъявления — от репродуктивных, направленных на актуализацию знаний, к частично-поисковым, поисковым, исследовательским и проблемным, ориентированным на овладение обобщенными приемами познавательной деятельности. Система занятий должна вести к формированию важных характеристик творческих способностей: беглость мысли, гибкость ума, оригинальность, любознательность, умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.

Методы и приемы обучения: проблемно-развивающее обучение, знакомство с историческим материалом, иллюстративно-наглядный метод, индивидуальная и дифференцированная работа с учащимися, дидактические игры, проектные и исследовательские технологии, диалоговые и дискуссионные технологии, информационные технологии.

Кроме того, эффективности организации курса способствует использование различных форм проведения занятий: эвристическая беседа, практикум, интеллектуальная игра, дискуссия, творческая работа.

При закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно практиковать самостоятельную работу школьников.

Использование современных образовательных технологий позволяет сочетать все режимы работы: индивидуальный, парный, групповой, коллективный.

Основные формы проведения занятий:

  • 1. Комбинированное тематическое занятие:
    • — выступление учителя или кружковца;
    • — самостоятельное решение задач по избранной теме;
    • — разбор решения задач (обучение решению задач);
    • — решение задач занимательного характера, задач на смекалку, разбор математических софизмов, проведение математических игр и развлечений;
    • — ответы на вопросы учащихся;
    • — домашнее задание.
  • 2. Конкурсы и соревнования по решению математических задач, олимпиады, игры, соревнования.
  • 3. Заслушивание рефератов учащихся.
  • 4. Коллективный выпуск математической газеты.
  • 5. Разбор заданий городской (районной) олимпиады, анализ ошибок.
  • 6. Изготовление моделей для уроков математики.
  • 7. Чтение отрывков из художественных произведений, связанных с математикой.
  • 8. Просмотр видеофильмов по математике.

Специфика математической деятельности такова, что требует системной отработки навыка приобретаемых умений, поэтому поурочные домашние задания в разумных пределах являются обязательными. Домашние задания заключаются не только в повторении темы занятия, решении задач, но и в самостоятельном изучении литературы, рекомендованной учителем.

Результативность изучения программы:

Оценивание достижений на занятиях внеурочной деятельности должно отличаться от привычной системы оценивания на уроках.

Оценка знаний, умений и навыков обучающихся является качественной (может быть рейтинговой, многобалльной) и проводится в процессе:

  • — решения задач;
  • — защиты практико-исследовательских работ;
  • — опросов;
  • — выполнения домашних заданий и письменных работ;
  • — участия в проектной деятельности;
  • — участия в различных олимпиадах, конкурсах, соревнованиях, фестивалях и конференциях математической направленности разного уровня, в том числе дистанционных.

Таблица 3

Учебно-тематическое планирование

Тема

Количество часов

Формы проведения

1. Нулевой цикл «Знакомство»

2

беседа

2. Сюжетные задачи, решаемые с конца

2

обсуждение, практикум

3. «Переправы»

1

обсуждение, практикум

4. Числовые ребусы

1

практикум, соревнование

5. Геометрия: задачи на разрезание

2

беседа, моделирование

6. Повторение. Математическое соревнование

1

игра

7. Пересечение и объединение множеств. Круги Эйлера

1

исследовательская работа

8. Задача Пуассона (задачи на переливания)

2

обсуждение, практикум

9. Геометрия: лист Мёбиуса

1

беседа, моделирование

10. Занимательные задачи на проценты

2

обсуждение, практикум

11. Знакомство с логикой: «все», «некоторые», отрицание

1

исследовательская работа

12. Сумма и среднее арифметическое

1

обсуждение, практикум

13. Повторение. Математическое соревнование

1

игра

14. Задачи на четность: чередование

2

исследовательская работа

15. «Обходы»

2

обсуждение, практикум

16. «Взвешивания»

2

обсуждение, практикум

17. Сюжетные задачи на совместную работу

2

обсуждение, практикум

18. Задачи на четность: разбиение на пары

1

исследовательская работа

19. Примеры и конструкции

1

обсуждение, проектная работа

20. Логические задачи

2

игра, практикум

21. Повторение. Математическое соревнование

1

практикум, обсуждение

22. Итоговая олимпиада

2

олимпиада

23. Заключительное занятие

1

игра, обсуждение

Итого

34

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

В большинстве случаев содержание занятий непосредственно следует из указанной темы конкретного занятия. Отбор тех или иных задач для рассмотрения на занятии определяется исключительно педагогом, ведущим внеурочную деятельность в соответствии с уровнем базовой математической подготовки учащихся, а также в соответствии с уровнем их мотивации и потенциальной одаренности. Весьма обширный список предлагаемой литературы без труда позволит педагогу наполнить занятие содержательными задачами сообразно своему вкусу и интересам учащихся.

Вместе с тем руководитель, реализующий программу внеурочной деятельности, должен придерживаться следующих основных правил:

J Неправильно заниматься с учащимися младших классов одной темой в течение продолжительного промежутка времени, даже в рамках одного занятия полезно иногда сменить направление деятельности, при этом необходимо постоянно возвращаться к пройденному. Это целесообразно делать, предлагая задачи по данной теме при проведении устных и письменных олимпиад и других соревнований.

J В каждой теме необходимо выделить несколько основных логических «вех» и добиваться безусловного понимания (а не зазубривания!) этих моментов учащимися.

S Необходимо постоянно обращаться к нестандартным и «спортивным» формам проведения занятий, не забывая при этом подробно разбирать все предлагаемые на них задания; необходимо использовать на занятиях развлекательные и шуточные задачи.

Подчеркивая, что подготовка и проведение занятий — это творческий процесс, в который вовлекается педагог, тем не менее обратим внимание на ряд наиболее важных тем.

1. Нулевой цикл «Знакомство»

Очень многое для организации и успешности проведения внеурочной деятельности зависит от первого занятия. Возможна такая его структура:

• Руководитель освещает перспективы: что будет рассматриваться на занятиях, чем учащиеся будут заниматься, каково содержание и формы работы, как организуется самостоятельная и домашняя работа, подготовка докладов, рефератов, мини-проектов. Важно сообщить учащимся основные требования к участникам внеурочной деятельности.

  • • Учащимся предлагается несколько простых задач. Для их решения не требуется ничего, кроме здравого смысла и владения простейшими вычислительными навыками; их назначение — выявление логических и математических способностей учащихся (а в дальнейшем они используются в качестве материала для эмоциональных разрядок).
  • • Второй час занятия целесообразно посвятить разбору и обсуждению задач домашнего задания.
  • • Возможно, некоторое время следует посвятить рассказу о математике, о ее значении в жизни человека, о ее связях с другими науками.
  • 2. Сюжетные задачи, решаемые с конца

Методика решения текстовых задач. Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной и понравившейся задачей. Она может встретиться на школьном уроке, на занятии математического кружка, в журнале или в книге, ее можно услышать от друга или от родителей. Задачи на логику развивают в человеке сообразительность, интеллект и упорство в достижении цели. Очень часто одна решенная логическая задача пробуждает у ребенка устойчивый и долговременный интерес к изучению математики, желание искать и решать новые логические, нестандартные задачи и задачи повышенной трудности. А это во многом и есть главная цель учителя.

Понятие текстовой задачи, сюжетной задачи, виды задач. Чтение условия задачи, анализ условия задачи. Работа с информацией.

Пример задачи:

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика в начале?

3. «Переправы»

Один из типов сюжетных задач. Пример задачи:

J Волк, коза и капуста. На берегу реки стоит крестьянин с лодкой, а рядом с ним находятся волк, коза и капуста. Крестьянин должен переправиться сам и перевезти волка, козу и капусту на другой берег. Однако в лодку, кроме крестьянина, помещается либо только волк, либо только коза, либо только капуста. Оставлять же волка с козой или козу с капустой без присмотра нельзя: волк может съесть козу, а коза — капусту. Как должен вести себя крестьянин?

4. Числовые ребусы

Понятие числового ребуса. Условие числового ребуса. Виды ребусов. Правила восстановления записи числового ребуса. Обсуждение решения числовых ребусов.

В большинстве предлагаемые ребусы должны иметь несколько правильных расшифровок, что позволит определиться с решениями путем подбора. В этом случае каждая задача может быть предложена для работы на двух уровнях:

  • — найти какое-нибудь решение, найти как можно больше решений;
  • — найти все решения и доказать, что других решений нет.

Для обоснованного доказательства во втором случае, как правило, необходимо разобрать все возможные варианты с использованием разветвленной логической схемы.

Математические ребусы — удобный объект для тренировки учащихся в проведении достаточно сложных (трудоемких) логических рассуждений, в которых необходимо разобрать все возможные случаи.

Подавляющее большинство возникающих в практической деятельности проблем можно решать многими разными способами. Необходимо рассматривать все эти способы, сравнивать их и выбирать наилучший. Однако исследователи и инженеры часто останавливаются на каком-то одном варианте и не изучают альтернативные, в результате принимаются решения, отличающиеся от оптимальных. Математические ребусы можно использовать во время разминки на учебных занятиях, включать их в домашние занятия, размещать в математических газетах.

5. Геометрия: задачи на разрезание

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих задач на разрезание были найдены еще древними греками и китайцами. Первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абуль-Вафа — персидского астролога X в. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в XX в. прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Учитывая, что здесь не требуется глубокого знания геометрии, любители могут иногда даже превзойти профессионалов-математиков.

Задачи на разрезание помогают как можно раньше начать формирование у школьников геометрических представлений с использованием самого разнообразного материала. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

На первом этапе рекомендуется рассмотреть задачи на клетчатой бумаге, в которых разрезание фигур (в основном это квадраты и прямоугольники) идет по сторонам клеток.

Далее могут рассматриваться задачи, связанные с фигурами-пентамино (пентаминб — др.-греч. тгвута пять; домино), то есть с пятиклеточными полимино — плоскими фигурами, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединенных между собой сторонами («ходом ладьи»). Сегодня пентамино понимается более широко — как плоская фигура, составленная из плиток.

Это могут быть задачи на разбиение плоскости, в которых нужно находить сплошные разбиения прямоугольников на плитки прямоугольной формы; задачи на составление паркетов; задачи на наиболее плотную укладку фигур в прямоугольнике или квадрате; задачи, в которых одна фигура разрезается на части, из которых составляется другая фигура.

Примеры задач:

J Разделите фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части так, чтобы линия разрезов шла по сторонам квадратов. Придумайте два способа решения.

J На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5x5 клеток. Придумайте, как разрезать его по линиям сетки на 7 различных прямоугольников.

6. Повторение. Математическое соревнование. Игра

7. Пересечение и объединение множеств. Круги Эйлера

Понятие множества, пересечение множеств или их объединение. Круги Эйлера как геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, с целью наглядного представления.

Эта тема тесно связана с алгеброй множеств. Использование кругов Эйлера придает задачам алгебры множеств наглядность и простоту. Круги Эйлера с успехом применяются в логических задачах для изображения множеств истинности высказываний и во многих других случаях. Изображение условия задачи с помощью кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к ее решению.

Эта тема может послужить хорошим поводом, для того чтобы рассказать учащимся о жизни и деятельности Леонарда Эйлера и его трудах.

Примеры задач:

J Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек — фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

J На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и 2 книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

8. Задача Пуассона (задачи на переливания)

Одной из самых известных задач на переливание является задача Симеона Дени Пуассона, знаменитого французского математика и физика. В данной теме рассматривается решение задач на переливание различными методами. Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи.

На простых и занимательных примерах решения задач на «переливания» удается рассмотреть такие важные понятия, как «команда», «блок-схема», «программа». Решая задачи, учащиеся обучаются моделированию простейших алгоритмов. Решение задач этого цикла требует смекалки, развивают комбинаторное мышление.

В начале занятия следует лишь сформулировать задачу Пуассона, рассказать ее историю, но не пытаться ее решать. Решение задачи необходимо начать с наиболее простых и понятных задач, постепенно подводя к общему методу.

Примеры задач:

J В бочке 18 литров бензина. Имеются 2 ведра по 7 литров и черпак объемом 4 литра. Как налить в ведра по 6 литров бензина?

J Имеется стакан кофе и стакан молока. Ложку молока перелили в кофе, полученную смесь тщательно перемешали. Ложку смеси перелили обратно в молоко. Чего больше — молока в кофе или кофе в молоке?

9. Геометрия: лист Мёбиуса

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: «лента Мёбиуса») придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус, ученик «короля математиков» Карла Фридриха Гаусса. Исторический очерк о Мёбиусе. Несколько слов о топологии. Лист Мёбиуса как геометрический объект. Свойства листа Мёбиуса. Односторонность. Непрерывность. Связность. Ориентированность. Загадки листа Мёбиуса. Применение листа Мёбиуса в жизни. Проведение эксперимента с листом Мёбиуса.

У каждого есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, делать с ним различные эксперименты. Изучение листа Мёбиуса — хорошее введение в элементы топологии.

К занятию полезно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут работать (проводить эксперименты) учащиеся. Хороши ленты, у которых длина примерно в 5 раз больше ширины.

Примеры экспериментов:

J Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край? Какая часть ленты окажется закрашенной?

J Что произойдет с обычным кольцом, если его разрезать посередине?

J А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)? Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?

10. Занимательные задачи на проценты

Понятие процента. Нахождение процента от числа и числа по его проценту.

Примеры задач:

J Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?

J Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась влажность арбуза?

J Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20% короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А?

11. Знакомство с логикой: «все», «некоторые», отрицание

Что изучает логика? Исторический очерк. Понятие, суждение, умозаключение. Высказывания. Утверждения. Отрицание как логическая операция. Квантор.

Умение логически грамотно рассуждать является важным для каждого человека, а не только для избранных. Несмотря на то что весь школьный курс математики пронизан логическими идеями, но наиболее важные или специальные приемы логических рассуждений заслуживают особого внимания.

Тема посвящена образованию отрицательных утверждений, в которых используются слова «все» и «некоторые». На языке математики «все» соответствует квантору общности, «некоторые» — квантору существования.

Примеры заданий:

J Сказать то же самое по-другому:

  • а) Неверно, что все млекопитающие живут на суше.
  • б) Неверно, что 5 делится на 2.
  • в) Неверно, что некоторые рыбы летают.

J Построить отрицание предложений с помощью слова неверно и в более простой форме.

  • а) Сегодня будет солнечно.
  • б) Все собаки любят кошек.
  • в) Курица — домашняя птица.
  • г) Весной снег всегда тает.
  • д) 150 меньше 200.
  • е) Математика — точная наука.

J Придумать свои предложения и построить их отрицание.

J Доказать, что высказывание является ложным, и построить его отрицание:

  • а) Число 0 является натуральным.
  • б) Между числами 4 и 5 нет натуральных чисел.
  • в) Неправильная дробь меньше единицы.
  • 12. Сумма и среднее арифметическое

Понятие «среднее арифметическое», вывод соответствующих формул, изучение понятий «средняя скорость» и «средняя масса» и методы их нахождения; умение применять знания в практических задачах; закрепление арифметических действий с десятичными дробями.

Примеры задач:

J Человек шел 2 ч со скоростью 4,6 км/ч и 3 ч со скоростью 5,1 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен был идти, чтобы пройти то же расстояние за то же время?

J У Иванова Ивана по математике в журнале стоят оценки 4 5 3 4 5 4 3 3 4. Как вы думаете, какую оценку в четверти получит Иван? И почему?

J Миша, Петя и Коля были в походе. Подойдя к лесу, они решили сделать привал. У Миши было 2 пирожка, у Пети 4 и у Коли 6. Все пирожки мальчики разделили поровну и съели. Сколько пирожков съел каждый?

  • 13. Повторение. Математическое соревнование. Игра
  • 14. Задачи на четность (чередование, разбиение на пары)

Понятие четности. Применение идеи четности: известные утверждения. Четность суммы и разности нескольких чисел. Идея разбиения на пары.

Задачи, в которых используется понятие четности, встречаются очень часто. Поэтому желательно познакомить школьников с подходами к решению этих задач. Задачи естественным образом разбиваются на три цикла:

1. Разбиение на пары.

Если предметы разбиты на пары, то их четное число. Следовательно, если из нечетного числа предметов образовано несколько пар, то, по крайней мере, один предмет остался без пары. Для решения таких задач нужно в каждом случае увидеть, что именно и на какие пары разбивается.

2. Чередование.

Если из предметов двух сортов образована цепочка, в которой соседние предметы разных сортов, то на всех четных местах стоят предметы одного сорта, а на всех нечетных — другого. Отсюда вывод: предметов одного сорта на один больше, чем предметов другого сорта в случае, когда длина цепочки нечетна, и предметов обоих сортов поровну, тогда длина цепочки четна.

3. Чет — нечет.

Решение задач основано на простом наблюдении: сумма четного числа нечетных чисел — четна. Обобщение этого факта: четность суммы нескольких чисел зависит лишь от четности числа нечетных слагаемых: если количество нечетных слагаемых (не) четно, то и сумма — (не)четна.

Примеры задач:

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей разного пола четно.

J Шахматный конь вышел с поля al и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

J Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звен-ной ломаной, пересекать все ее звенья?

J На хоккейном поле лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 1999 раз. Могут ли после этого все шайбы остаться на исходных местах?

На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь, идущий по линиям сетки. Может ли он иметь длину 1999? А длину 2000?

J Все костяшки домино выложили в цепь по правилам. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков оказалось на другом?

J Из набора домино выбросили все кости с «пустышками». Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд по правилам?

J На доске 25x25 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

15. «Обходы»

Примеры задач:

J а) Расположите на плоскости 6 точек и соедините их непе-ресекающимися линиями так, чтобы из каждой точки выходили 4 линии.

б) Проведите 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было ровно три из отмеченных точек.

J а) Художник-авангардист нарисовал картину «Контур квадрата и его диагональ». Мог ли он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды?

б) А если его картина называлась бы «Контур квадрата и его диагонали»?

J а) Зачеркните 9 точек, изображенных на левом рисунке, четырьмя отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

б) Зачеркните 13 точек, изображенных на правом рисунке, пятью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды.

J Пешеход обошел 6 улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?

J а) 20 команд сыграли турнир по олимпийской системе (встречаются две команды, победитель играет дальше, проигравший выбывает). Сколько всего было сыграно матчей?

б) А если бы турнир проходил по круговой системе (каждая команда играет с каждой один раз) в один круг?

J Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединенных между собой реками. Из каждого озера вытекают 3 реки, и в каждое озеро впадают 4 реки. Докажите, что он ошибается.

16. Задачи на взвешивание

Задачи на взвешивание — достаточно распространенный вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Примеры задач:

J У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Ба-зилио заменил 1 монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

J Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей 9 монет: из них 8 настоящих, а 1 фальшивая — она легче, чем настоящая. Как найти ее Золушке за 2 взвешивания?

J Имеется 8 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определите за 3 взвешивания, какая из монет фальшивая.

17. Сюжетные задачи на совместную работу

Понятие производительности, работы, времени работы. Формулы, связывающие производительность, время и работу для случая, когда работа обозначена. Два типа задач:

  • 1. Задачи на нахождение совместной и личной производительности и времени.
  • 2. Задачи, когда работа выражается натуральным или дробным числом. Нестандартный подход к нахождению общей производительности.

Пример задачи:

J Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

  • 18. Задачи на четность. Разбиение на пары (см. п. 14)
  • 19. Примеры и конструкции

Примеры задач:

J Среди четырех людей нет трех с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

J Закрасьте некоторые клетки квадрата 4x4 так, чтобы любая закрашенная клетка имела общую сторону ровно с тремя незакрашенными.

J Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3x3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

J Как расположить 16 шашек в 10 рядов по 4 шашки в каждом ряду? Как расположить 9 шашек в 10 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки? (Ряд — это несколько шашек, лежащих на одной линии.)

При делении числа 2 х 3 = 6 на 4 получаем в остатке 2. При делении числа 3 х 4 = 12 на 5 получаем в остатке 2. Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2?

20. Логические задачи

Среди задач на сообразительность особый интерес представляют логические задачи. Если для решения задачи требуется лишь логически мыслить и совсем не нужно производить арифметические выкладки, то такую задачу обычно называют логической. При решении подобных задач решающую роль играет правильное построение цепочки точных, иногда очень точных рассуждений.

На первом этапе целесообразно рассмотреть три широко распространенных типа логических задач.

  • 1. Задачи, в которых на основании серии посылок, сообщающих те или иные сведения о действующих лицах, требуется сделать определенные выводы.
  • 2. Задачи о «мудрецах».
  • 3. Задачи о лжецах и тех, кто всегда говорит правду.
  • 21. Повторение. Математическое соревнование

По окончании цикла занятий проводится обобщающее занятие, в рамках которого проходит повторение изученного материала, а также проводится один из видов математического соревнования, который наиболее подходит для организации работы со школьниками, занятыми во внеурочной деятельности. Это может быть математический КВН, математический аукцион, математическая регата, игра по станциям, математический хоккей, математическое лото, мозговая атака и другие формы работы.

  • 22. Итоговая олимпиада проводится как форма итогового занятия по освоению программы, определяющего объективный уровень знаний и умений, полученных в результате участия во внеурочной деятельности по математике. Мероприятие проводится по правилам проведения классической олимпиады по математике. Вариант работы составляется учителем. В работу включаются задания, которые были предметом обсуждения на занятиях внеурочной деятельности.
  • 23. Заключительное занятие

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ

Методической особенностью изложения учебных материалов на занятиях является такое изложение, при котором новое содержание изучается на задачах. Метод обучения через задачи базируется на следующих дидактических положениях:

  • — наилучший способ обучения учащихся, дающий им сознательные и прочные знания и обеспечивающий одновременное их умственное развитие, заключается в том, что перед учащимися ставятся последовательно одна за другой посильные теоретические и практические задачи, решение которых дает им новые знания;
  • — с помощью задач, последовательно связанных друг с другом, можно ознакомить учеников даже с довольно сложными математическими теориями;
  • — усвоение учебного материала через последовательное решение задач происходит в едином процессе приобретения новых знаний и их немедленного применения, что способствует развитию познавательной самостоятельности и творческой активности учащихся.

Большое внимание уделяется овладению учащимися математическими методами поиска решений, логическими рассуждениями, построению и изучению математических моделей.

Для поддержания у учащихся активности и интереса к изучаемому материалу на протяжении всего занятия необходимо применять дидактически игры — современный и признанный метод обучения и воспитания, обладающий образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. Кроме того, на занятиях математического кружка необходимо создать атмосферу свободного обмена мнениями и активной дискуссии.

Исторический материал и работа с информацией входят в процесс обучения математике и в урочной деятельности, поэтому в рамках занятий внеурочной работы рекомендуется при любой возможности мотивировать учащихся на занятия математикой очерками об истории математики, историями из жизни великих математиков, сведениями из достижений современной математической науки, то есть самым широким образом популяризировать математику. Что касается работы с информацией, то любая встреча с математикой, точнее, с учебными задачами по математике, непосредственно связана с «работой с информацией».

Содержание программы внеурочной деятельности связано с программой по предмету «Математика» и спланировано с учетом прохождения программы 5-го класса.

С другой стороны, следует учитывать, что реализация программы по внеурочной деятельности позволяет устранить противоречия между требованиями программы предмета «Математика» и потребностями учащихся в дополнительном материале по математике и применении полученных знаний на практике; между условиями работы в классно-урочной системе обучения математике и потребностями учащихся реализовать свой творческий потенциал. Одна из основных задач образования в соответствии с ФГОС второго поколения — развитие способностей ребенка и формирование универсальных учебных действий, таких, как целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция. С этой целью в программе должно быть предусмотрено значительное увеличение активных форм работы, направленных на вовлечение учащихся в динамическую деятельность, на обеспечение понимания ими математического материала и развития интеллекта, на приобретение практических навыков самостоятельной деятельности.

Важно отметить, что количество часов, отводимых на реализацию программы, невелико — 34 часа в год; каждый учащийся должен попробовать и почувствовать вкус к тем или иным видам задач и сформировать относительно устойчивое умение решать эти задачи. Поэтому содержание программы устроено таким образом, что в рамках курса те или иные тематические разделы математики чередуются, при этом темы, естественно, не повторяются: элементы геометрии, логические задачи, текстовые задачи и т. д.

Замечательно, если постепенное освоение программы будет логично вписываться в общешкольные мероприятия, в районные и городские мероприятия по математике — в математические регаты, конкурсы, конференции и т. д.

С целью достижения качественных результатов желательно, чтобы занятия были оснащены современными техническими средствами, средствами изобразительной наглядности, игровыми реквизитами. С помощью мультимедийных элементов занятие визуализируется, вызывая положительные эмоции у обучающихся и создавая условия для успешной деятельности каждого ребенка.

Эффективность и результативность программы внеурочной деятельности зависит от соблюдения следующих условий:

  • — добровольность участия и желание проявить себя;
  • — сочетание индивидуальной, групповой и коллективной деятельности;
  • — сочетание инициативы детей с направляющей ролью учителя;
  • — занимательность и новизна содержания, форм и методов работы;
  • — эстетичность всех проводимых мероприятий;
  • — четкая организация и тщательная подготовка всех запланированных мероприятий;
  • — наличие целевых установок и перспектив деятельности, возможность участвовать в конкурсах, олимпиадах и проектах различного уровня;
  • — широкое использование методов педагогического стимулирования активности учащихся;
  • — гласность, открытость, привлечение детей с разными способностями и уровнем овладения математикой.

ЛИТЕРАТУРА

  • 1 Анфимова, Т Б. Математика. Внеурочные занятия: 5-6 классы / Т. Б. Анфимова. Москва : Илекса, 2011.
  • 2. Вакулъчик, П. А. Сборник нестандартных задач / П. А. Вакульчик. Минск : БГУ, 2001.
  • 3. Генкин, С. А. Математический кружок. Первый год / С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Д. В. Фомин. Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский дворец творчества юных, 1992.
  • 4. Екимова, М. А. Задачи на разрезание / М. А. Екимова, Г. П. Кукин, Москва : МЦНМО, 2005.
  • 5. Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев. Москва : Наука, 1979.
  • 6. Канелъ-Белов, А. Я. Как решают нестандартные задачи / А. Я. Каннель-Белов, А. К. Ковальджи. Москва : МЦНМО, 2015.
  • 7. Математический кружок. Первый год обучения: 5-6 классы (Коллектив авторов). Москва : Изд-во АПН СССР, 1991.
  • 8. Руденко, В. Н. Занятия математического кружка в 5 классе / В. Н. Руденко, Г. А. Бахурин, Г. А. Захарова. Москва : Изд. дом «Искатель», 1999.
  • 9. Спивак, А. В. Математический кружок: 6-7 классы / А. В. Спивак. Москва : Посев, 2003.
  • 10. Спивак, А. В. Математический праздник / А. В. Спивак. Москва : МЦНМО, 1995.
  • 11. Столяр, А. А. Зачем и что мы доказываем в математике / А. А. Столяр. Минск : Народная асвета, 1987.
  • 12. Шарыгин, И. Ф. Математика. Задачи на смекалку: 5-6 классы / И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. Москва : Просвещение, 2001.
  • 13. Шейкина, О. С. Математика. Занятия школьного кружка: 5-6 классы / О. С. Шейкина, Г. М. Соловьева. Москва : НЦ ЭНАС, 2003.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

  • 1. Гарднер, М. А ну-ка догадайся! / М. Гарднер. Москва : Мир, 1984.
  • 2. Гарднер, М. Есть идея! / М. Гарднер. Москва : Мир, 1982.
  • 3. Гарднер, М. Крестики-нолики / М. Гарднер. Москва : Мир, 1988.
  • 4. Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения / М. Гарднер. Москва : Мир, 1971.
  • 5. Гарднер, М. Математические досуги / М. Гарднер. Москва : Мир, 1972.
  • 6. Гарднер, М. Математические новеллы / М. Гарднер. Москва : Мир, 1974.
  • 7. Гарднер, М. Путешествие по времени /М. Гарднер. Москва : Мир, 1990.
  • 8. Гик, Е. Я. Замечательные математические игры / Е. Я. Гик. Москва : Знание, 1987.
  • 9. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах / В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь. Москва : Просвещение, 1984.
  • 10. Кноп, К. А. Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам / К. А. Кноп. Москва : МЦНМО, 2011.
  • 11. Кордемский, Б. А. Математическая смекалка / Б. А. Кордемский. Москва : ГИФМЛ, 1958.
  • 12. Линдгрен, Г Занимательные задачи на разрезание / Г. Линдгрен. Москва : Мир, 1977.
  • 13. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа. Москва : Учпедгиз, 1961.
  • 14. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. Москва : Наука, 1975.
  • 15. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. Москва : Наука, 1970.
  • 16. Радемахер, Г. Р. Числа и фигуры / Г. Р. Радемахер, О. Теплиц. Москва : Физматгиз, 1962.
  • 17. Смаллиан, Р. Алиса в стране Смекалки /Р. Смаллиан. Москва : Мир, 1987.
  • 18. Смаллиан, Р. Как же называется эта книга? / Р. Смаллиан. Москва : Мир, 1981.
  • 19. Смаллиан, Р. Принцесса или тигр? / Р. Смаллиан. Москва : Мир, 1985.
  • 20. Смыкалова, Е. В. Необычный урок математики / Е. В. Смыкалова. Санкт-Петербург : СМИО Пресс, 2007.
  • 21. Спивак, А. В. Математический кружок / А. В. Спивак. Москва : МЦНМО, 2015.
  • 22. Уфнаровский, В. Л. Математический аквариум / В. Л. Уфнаровский. Кишинев : Штиинца, 1987.
  • 23. Фарков, А. В. Математические олимпиады: методика подготовки: 5-8 классы / А. В. Фарков. Москва : ВАКО, 2012.
  • 24. Агаханов, Н. X. Математика. Районные олимпиады. 6-11 классы / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский. Москва : Просвещение, 2010.

ПРИМЕРНЫЕ ТЕМЫ УЧЕБНЫХ ПРОЕКТОВ

  • 5-й класс:
  • 1. Сумма углов треугольника на плоскости и на конусе.
  • 2. Совершенные числа.
  • 3. Четыре действия математики.
  • 4. Древние меры длины.
  • 5. Возникновение чисел.
  • 6. Счеты.
  • 7. Старинные русские меры, или Старинная математика.
  • 8. Магические квадраты.
  • 9. 38 попугаев, или Как измерить свой рост?
  • 10. 7 или 13? Какое число счастливее?
  • 11. Великие женщины-математики.
  • 12. Великие задачи.
  • 13. Великолепная семерка.
  • 14. Величайший математик Евклид.
  • 15. Веселые задачки.
  • 16. Веселый урок для пятиклассников.
  • 17. Веселые задачки для юных рыбаков.
  • 18. Витамины и математика.
  • 19. Единицы измерения длины в разных странах и в разное время.
  • 20. Жизнь нуля — цифры и числа.
  • 21. Задачи-сказки.
  • 22. Задачник «Эти забавные животные».
  • 23. Закодированные рисунки.
  • 24. Замечательная комбинаторика.
  • 25. Математика в играх.
  • 26. Мое любимое занятие — шашки.
  • 27. Число в русском народном творчестве.
  • 28. Число и числовая мистика.
  • 29. Число, которое больше Вселенной.
  • 30. Числовые великаны.
  • 31. Числовые забавы.
  • 32. Числовые суеверия.

ПРИМЕР 3.

  • [1] Авторы — Л. А. Жигулев, заслуженный учитель РФ, доцент кафедры физико-математического образования СПб АППО; Е. Ю Лукичева, к. п. н., доцент, заведующая кафедрой физико-математического образования СПб АППО.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >