Переходный процесс в цепи постоянного тока с последовательно соединенными резистором и конденсатором. Заряд и разряд конденсатора

Рассмотрим переходный процесс при включении конденсатора под постоянное напряжение (заряд конденсатора). Схема цепи приведена на рисунке 18.8. При переводе ключа в положение 1 начинается процесс заряда конденсатора. Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение цепи после коммутации имеет вид

iRx+uc=UQ.

Поскольку І = ТО R,C^^~ + Uc = Uq. dt dt

Исходя из этого неоднородного дифференциального уравнения, переходное напряжение

ис = иСу + «ссв,

ису = Uo,

duc

так как —j— в установившемся режиме равно нулю.

Схема цепи для заряда и разряда конденсатора

Рис. 18.8. Схема цепи для заряда и разряда конденсатора

Уравнение для свободного напряжения записывается в следующем виде:

duc

R/C--+ис =0.

dt

Характеристическое уравнение

RCp +1=0

имеет корень поэтому

t

иг=Аер'=Ае"^.

'-св

Переходное напряжение

t

Uc = Ucy + WcCB = Uq + Ае R'c .

Постоянная интегрирования А определяется по начальному значению напряжения ис(0). Так как до коммутации цепь была разомкнута, то, согласно второму закону коммутации, ис(0+) = ис(0 ) = 0. Для времени t = 0 уравнение для переходного напряжения ис будет иметь следующий вид:

о

О=^о + Лея'с =U + A, A=-Uo.

Переходное напряжение на конденсаторе

uc=Uo-Uoe R'C = UO 1-е R'c =L70|l-/;

Переходный ток

dt Rx Rx

Кривые изменения uc, ucy, ucCB, і показаны на рисунке 18.9.

Кривые изменения ис, ис, uc и і при заряде конденсатора

Рис. 18.9. Кривые изменения ис, ису, ucw и і при заряде конденсатора

Рассмотрим переходный процесе при разряде конденсатора. При разряде конденсатора на резистор R-> ключ переводится в положение 2 (см. рис. 18.8). В этом случае, согласно второму закону Кирхгофа, для короткозамкнутого контура (правого) будет иметь место следующее уравнение:

RA + ис = 0.

Поскольку І = то RQ^Uc_ _|_ и Q

dt dt dt

Решением этого однородного дифференциального уравнения будет функция

ис = иСсв = Аер1.

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению, имеет вид RiCp + 1 = 0 и корень

р = ——. Поэтому ис = ucCB = Ае R1C.

R^C

Постоянная интегрирования А определяется по начальному значению напряжения мс(0). Согласно второму закону коммутации, wc(0+) = мс(О-) = Со- Для времени t = 0 выражение напряжения ис получит вид

_ о

U0 = Ae~ v = Л, A = U0.

Таким образом, напряжение на конденсаторе

Uc = R1C = Uq є т .

Ток где т = R2C - постоянная времени цепи.

Кривые изменения і, ис представлены на рисунке 18.10.

Кривые изменения тока и напряжения при разряде конденсатора

Рис. 18.10. Кривые изменения тока и напряжения при разряде конденсатора

Энергия, запасенная до коммутации в электрическом поле конденсатора, в течение переходного процесса выделяется в виде теплоты В сопротивлении Т?2-

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >