Расчет несимметричной трехфазной цепи при соединении приемников треугольником

Трехфазный приемник соединяют треугольником, когда его фазы рассчитаны на напряжение, равное линейному напряжению трехфазной цепи (рис. 14.5).

Рис. 14.5. Трехфазная цепь при соединении фаз генератора и приемника треугольником

При несимметричной нагрузке Z_/Jg #= Z_gc Z_CJ для определения фазных токов используют закон Ома в комплексной форме, предварительно записав систему линейных напряжений генератора:

й =и ? и =и _е-№- и =[) _е-/¹²°°

Токи в фазах:

І_м = ^-; І_вс=^-, Іса=^-- (¹⁴-⁶)

/Id ^r~-y ⁷ d с r~y ^? LA r-^ /

—AB —BC —CA

Линейные токи определяют на основании первого закона Кирхгофа:

IА ~ АВ ~^СА ’ IВ ~ ВС ~ АВ •> ^С ⁼ СА ~ ВС' (14.7)

Пример 14.3. Несимметричный трехфазный приемник, соединенный треугольником (см. рис. 14.5), имеет Z_AB =10 Ом; Z__BC = 6 + 78 Ом; Z_CJ = 6-78 Ом. Напряжение сети U_n = 200 В. Определить линейные токи, построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Решение. Поскольку фазные напряжения равны линейным, то их комплексы равны:

и._в = 200 В; й_В(- = 200е ⁷¹²⁰⁰ В; U_CA = 200е^/|20° В.

Ad ⁷ DL ⁷ LA

Комплексные фазные токи равны:

• • _ ?7_ЙС _ 2ООе^-'¹²⁰’_ 200 (-0,5-7'0,866) _
• 1 П_Г - 1 У, О / I 2 А,

Z_BC 6 + 78 6 + 78

? _U_CA _ 200е^у12°° _ 200 (-0,5+ 7'0,866) _ _1Q8+/9,_A

Z_CA 6-78 6-78

Действующие значения фазных токов равны:

1_4В= 20 A; 1_ВГ = 1_С. = л/19,8² + 2,4² = 20 А.

Линейные комплексные токи равны:

L = І Ав -Ї_са=^ + 9^- j2,4 = 39,8 - 7'2,4 А;

4 = І ВС - Lb = -19,8 - 7'2,4 - 20 -39,8 - у2,4 А;

І с = La - І ВС = -19,8 + 72,4 +19,8 + >2,4 = >4,8 А.

Действующие значения линейных токов равны:

1_А = ^/39,8² +2,4² = 39,87 А; 1_В = д/39,8² +2,4² = 39,87 А; 1_С = 4,8 А.

При построении векторной диаграммы напряжений и токов (рис. 14.6) на комплексной плоскости откладывают векторы напряжений (U _АВ, U_CB и U_CA) и фазных токов (1_АВ,1_ВС, 1_СА )• Линейный ток I_А получают суммированием векторов 1_АВ и -1_С4, ток 1_В - суммированием векторов I_bS/ и -1_АВ , ток 1_С - суммированием векторов 1_СА и -1_ВС.

Рис. 14.6

Проанализировав выражения (14.6) и (14.7), следует заметить, что при соединении треугольником фазы приемника работают независимо друг от друга.

Изменение сопротивления в какой-либо фазе приемника вызывает изменение тока только в этой фазе, а также двух линейных токов, между проводами которых находится фаза с измененным сопротивлением.

При обрыве линейного провода трехфазная цепь преобразуется в однофазную, что приводит к уменьшению напряжений на фазах, связанных с данным линейным проводом. Режим работы цепи аварийный.

Если сопротивления линейных проводов не равны нулю (рис. 14.7, а), то из-за падения напряжения в них при соединении приемника треугольником не обеспечивается независимость работы фаз приемника.

Рис. 14.7. Трехфазная цепь с приемником, соединенным: а — треугольником, б — звездой

В этом случае для расчета цепи (см. рис. 14.7, а) треугольник заменяют эквивалентным соединением звездой (рис. 14.7, б), определяя сопротивление лучей звезды по следующим формулам:

g _ ^-ab—ca

Z_ab+Z_bc + Z_ca

g _ —bc—ub

-^в Z_ab+Z_bc+Z_ca’

7 7 ____—са —Ьс____

Z_ab+Z__bc+Z_ca

При симметричной нагрузке сопротивление луча эквивалентной звезды в 3 раза меньше сопротивления стороны треугольника:

После замены треугольника звездой получаем цепь с соединением звездой без нейтрального провода и определяем линейные токи. Затем находим линейные напряжения приемника, соединенного звездой, используя второй закон Кирхгофа. После этого определяем фазные токи приемника по закону Ома.

Пример 14.4. Определить токи на всех участках цепи при несимметричном режиме (см. рис. 14.7, а), если линейное напряжение генератора U_n =380 В, комплексные сопротивления линии и комплексные сопротивления фаз приемника, соединенных треугольником, равны:

= 3,02 + j5,855 Ом; Z_nB = 1,11 + >2,36 Ом; 7_лС = 2,65 + >7,32 Ом;

Z_ab = 8,85 + jl,75 Ом; Z_bc = 9,94 +710,25 Ом; Z_ca = 6,43 -71,31 Ом.

Решение. Заменим приемник, соединенный треугольником, эквивалентным приемником, соединенным звездой (см. рис. 14.7, б), и найдем комплексные сопротивления лучей звезды:

Z_abZ_ca (8,85 + 71,75)(6,43-71,31)

Z_ab + z_bc + Z_ca 8,85 + 71,75 + 9,94 + 710,25 + 6,43 - 71,31 = 1,98-у0,855 Ом;

Z_abZ_bc (8,85 + 71,75)(9,94 + 710,25)

Z_ab +Z_bc + Z_cll ~ 8,85 + 71,75+9,94 + 710,25 + 6,43-71,31

= 3,89 +72,646 Ом;

Z_bcZ_ca (9,94 + 710,25)(6,43-71,31)

Z_ab + z_hc + Z_ca 8,85 + 71,75 + 9,94 + 710,25 + 6,43 - 71,31 = 3,35 +70,68 Ом.

Заменим линию и приемник одним эквивалентным приемником, соединенным звездой (рис. 14.8).

Рис. 14.8

При этом:

Z.₄ = Z^ + Z_rt = 3,02 + /5,855 + 1,98 -/0,855 = 5 4-/5 Ом;

^ = ^+^,= 1,11 + /2,36 + 3,89 + /2,646 = 5 +/5 Ом;

Z_c= Z„c+Z = 2,65 + /7,32 + 3,35 + /0,68 = 6 +/8 Ом.

Рассчитываем полученную трехфазную цепь (см. рис. 14.8), для чего определяем напряжение U_NiN:

_TJ _ U_aY_a+U_bY_b+U_cY_c

^N'^N Y_a+Y_b+Y_c ’

где

U_B = U_A е’^/120° = 220e~^jl20° = -110 - /190 В;

U_c = a ^eji2°° = 220e^yl20° =-110 + /190 B;

Y_a = — = —= 0,1 - /0,1 Cm; Y_c = — = —= 0,06 - /0,08 Cm;

Z., 5 +/5 Z_c 6 +/8

Y_B =Y_a =0,1-/0,1 Cm;

220(0,1 - /0,1) + 220e~^yl20° (0,1 - /0,1) + 220e^/12Q° (0,06 - /0,08) __ ^N'^N ~ 0,1 - /0,1 + 0,1 - /0,1 + 0,06 - /0,08

= 19,86-/16,3 B.

Определяем фазные напряжения эквивалентного приемника:

U_AN. = U_A-U_NiN = 220 - 19,86 +716,3 = 200,14 + у 16,3 В;

BNf

=U_B-U_NiN= -110-у190-19,86+у 16,3 = -129,86-у 173,7 В;

t/_CjV, = t/_c-C7^ = -110 +у190- 19,86 +у16,3=- 129,86 +у 206,3 В.

Определяем токи Ї_А,І_В,І_С‘.

і A =UAN_xy_A = (200,14+у 16,3) (0,1 -у'0,1) = 21,644-у'18,384 А;

• 4 =U_BNiY_B = (-129,86 -у’173,7)(0,1 -у’0,1) = -30,356-у'4,384 А;
• 4 =^cn,Yc = (-129,86 + у206,3)(0,06 -у’0,08) = 8,7124 + /22,7668 А.

Проверку значений токов проводят согласно первому закону Кирхгофа: 4+4+4=°;

4 + 4 + 4 = 21,644 -у 18,384 - 30,356 -/4,384 + 8,7124 + /22,7668 =

= 0,0004 -/0,0012-0.

Действующие значения токов:

1_А = 28,4 А; 1_В = 30,7 А; 1_С = 24,4 А.

Определяем линейные напряжения U_ah, U_hc, U_ca на приемнике, соединенном звездой, по второму закону Кирхгофа, используя схему (см. рис. 14.7, 6):

U_ab = ІА^-a= (21,644 -у18,384)(1,98 -/0,855) - (-30,356 -/4,384) х х (3,89 + /2,64) = 133,4 + /42,65 В;

U_bc = —^с—с = (-30,356 -у4,384)(3,89 + /2,64) - (8,7124 + /22,7668) х

х (3,89 + у'2,64) = 133,4 + у42,65 В;

U_ca =-(^+^_с) = -(133,4+у42,65- 120,185 -7179,57) =

= -13,22 +у136,92В.

По закону Ома определяем токи І_аЬ, І_Ьс, І_са :

_4>=^₌133.4 _{+ У}42,65 ^і ₂ 77А;

^ah Z_ab 8,85 + yl,75

_t -120,185-7179,57 ₌ _

Lbc ⁹>⁹⁴ + 7’¹⁰>25

-13,22 + 7136,92

Z_rn 6,43-у 1,31

Действующие значения токов:

I_ab = V15,42² + 1,77² = 15,5 A; I_bc = 714,89² + 2,71² = 15,2 А;

1_са = д/б,14² + 20,05² = 20,9 А.