Цепь синусоидального тока с емкостным элементом

Рассмотрение процессов в цепи, обладающей только емкостью, является также научной абстракцией, как и в случае цепи с индуктивностью.

В цепи (рис. 9.8) с идеальным конденсатором (конденсатором без потерь), включенным на синусоидальное напряжение и = U_m sin (со/ + электрический заряд на пластинах конденсатора изменяется пропорционально напряжению q = С_и = CU_m sin (со? + |/_к) и, следовательно, в цепи будет проходить переменный ток. Мгновенный ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора:

ⁱ⁼^=^{sin (<,я+}'•'«)]=

= ®C(7„cos(

Рис. 9.8. Схема цепи переменного напряжения с емкостным элементом

Согласно выражению (9.3), ток, проходящий через емкостный элемент С, изменяется по синусоидальному закону и имеет на-, Я

чальную фазу = |/_м +—.

Следовательно, ток і опережает приложенное напряжение и на угол у . Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряжения (рис. 9.9).

Рис. 9.9. Мгновенные значения напряжения, тока и мощности в емкости

Сдвиг по фазе между напряжением и током в цепи с емкостью отрицательный:

Амплитудные и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, подобным закону Ома:

- 1 ? ?’ ? ?? -LI=xci.

/и

со С

юС ^с

Величину Х_с =---,

размерность сопротивления

имеющую

соС

(Ом), называют емкостным сопротивлением. Обратную емкостному сопротивлению величину Ь_с = соС, имеющую размерность проводимости (См), называют емкостной проводимостью.

Следовательно,

I =h.U ; I = b_rU.

В комплексной форме соотношение между векторами

и,„ =-J-^-i,.=-jX_ci„ U = -j^-i = -jX_ci.

соС соС

Вектор тока І опережает вектор напряжения U на угол у (рис. 9.10).

Рис. 9.10. Векторная диаграмма напряжения и тока для участка цепи с емкостью

Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения электрического поля емкости:

71

Рс =

СО/ + Ш „ + —

" 2

2 sin (со/ + f_it) cos (со/ + ) = UI sin (2со/ + f_lt).

Мощность колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2со, имея амплитуду UI (см. рис. 9.9). Поступая от источника питания, энергия временно (в течение четверти периода, когда мощность положительна) запасается в электрическом поле емкости, а затем (в следующую четверть периода, когда мощность отрицательна) возвращается в источник при исчезновении элек трического поля. Таким образом происходит колебание (обмен) энергии между источником питания и емкостью, причем активная мощность Р = 0.

Пример 9.1. К цепи приложено напряжение и = 50 sin со/ В, ток в це-

(лЛ ( лЛ

со/-—I А; 3) z = 10 sin I со/ + —I А.

Какие сопротивления включены в цепь в каждом из трех случаев?

Решение. Из условия задачи следует, что U_m = 50 В, 1_т = 10 А. В первом случае включено только активное сопротивление, так как напряжение и ток совпадают по фазе: у_и = 0 и p_z. = 0; ср = -ф. = 0.

Согласно закону Ома, активное сопротивление

R=^

• 50
• 10

= 5 Ом.

Г. 1 ⁷¹ л ^п

Во втором случае ток отстает по фазе на —, ф = - ф,- = 0 + — =

содержит только индуктивное сопротивление:

_v ^и_т 50 _с

^v = 5 Ом.

10

л;

• — - в цепь
• 2

В третьем случае ток опережает по фазе напряжение на включена только емкость, сопротивление которой

Х_с=^=50=₅Ом.

I. Ю

Пример 9.2. По индуктивному элементу L = 10 мГн проходит ток z = 10 sin (1000/4-30°) А. Записать выражение падения напряжения на индуктивности.

Решение. Ответ можно получить несколькими способами.

1. Можно использовать связь мгновенного тока, проходящего через индуктивность, и мгновенного напряжения на ней:

di ₉ 10 sin (1000/+ 30°)]

и = L — = 10 = 10 • 1000 • 10 cos (1000t + 30°) =

dt dt

= 100 sin (1000/+ 12°) В.

2. Напряжение на индуктивном элементе изменяется по закону

W =и_т sin (со/4-|/_н).

Определяем по закону Ома

и_т = АЛ = АЛ = 10 1000 10-² = юо в.

Определяем начальную фазу |/_ц из выражения ср = - у,.

Поскольку угол сдвига фаз на индуктивном элементе равен 90°, то _Жи = <р + х|/. = 90° + 30° = 120°;

и = 100 sin (1000/4-120°) В.