Технологические объекты регулирования

Объектами регулирования в химической промышленности являются теплообменники, сосуды, емкости, ректификационные и абсорбционные колонны, реакторы, печи и т. д. Прежде чем строить систему регулирования, необходимо изучить статические и динамические характеристики объекта. Для этого используются математические модели, основные правила построения которых рассмотрены выше (разд. 8.2). В случае сложного объекта используется принцип декомпозиции: объект регулирования разбивается на простейшие одноёмкостные элементы; строятся математические модели этих элементов; используя структурные методы, строится модель объекта в виде дифференциального уравнения, системы дифференциальных уравнений, передаточной функции. Широкое распространение получили экспериментальные методы определения динамических характеристик.

При всем разнообразии технологических процессов и их аппаратурного оформления имеются общие признаки, позволяющие проводить классификацию объектов регулирования.

Ранее были рассмотрены одномерные и многомерные объекты. Последние делятся на объекты с несвязанными и с взаимосвязанными параметрами. Примером многомерного объекта с взаимосвязанными параметрами может служить ректификационная колонна, греющего пара Q в кипятильник (рис. 8.22) изменится температура t в кубе. Это вызовет изменение уровня жидкости h в кубе из-за изменения скорости её испарения. При изменении расхода кубового продукта G изменится уровень жидкости h в кубе, что повлечет изменение температуры t. В качестве другого примера может служить экзотермический реактор идеального перемешивания, где расход хладоагента и реагентов влияет на температуру в реакторе и состав продуктов реакции.

Рис. 8.22

При изменении расхода

Объекты с сосредоточенными параметрами обладают свойством иметь одинаковые значения регулируемой величины во всем объекте в данный момент времени (имеет место полное перемешивание среды), поэтому их динамические свойства описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для упрощения расчетов начальные условия обычно принимаются нулевыми.

К объектам с сосредоточенными параметрами относятся реакторы идеального перемешивания, куб колонны, теплообменники смешения, сосуды и т. д.

Пар

X

0(0= т) Г ------L Q(?,_T)

Конденсат

Пар

X

• 1 -|*14^f12pl3K14|*15-H*i” • • —“
• ?'-----------------------

Конденсат

Рис. 8.23. Схема кожухотруб ч ато го теплообменника

У объектов с распределенными параметрами регулируемые величины имеют различные значения в данный момент времени в разных точках объекта (имеет место идеальное вытеснение среды), поэтому их динамические свойства описываются дифференциальными уравнениями с частными производными.

Для примера рассмотрим математические модели кожухотрубчатого теплообменника, обогреваемого насыщенным паром (рис. 8.23, а).

В кожухе имеет место идеальное перемешивание пара, а нагреваемая среда движется в режиме

идеального вытеснения. Если тепловой ёмкостью металла труб и кожуха пренебречь, то математическая модель динамики теплообменника может быть представлена в виде одного уравнения типа

Pl’lCpI = -фіСрі j*т('2 - '1), (8.78)

где pi и - плотность и удельная теплоемкость нагреваемой среды; F - поверхность теплообмена; S| - площадь поперечного сечения потока; L - длина зоны идеального вытеснения; I - пространственная координата, изменяющаяся от 0 до L; К_Т - коэффициент теплопередачи; v - объемная скорость потока идеального вытеснения; /] = t (I, т) -функция распределения температуры по пространственной координате; /2 - температура греющего пара.

Если тепловой ёмкостью металла труб нельзя пренебречь, то математическая модель динамики теплообменника может быть представлена системой из двух уравнений, записанных для стенки (8.79) и потока нагреваемой среды (8.80):

^{= _?}з)^_^2^а2(^?3 ^-zl)> (8.79)

ОТ

P1⁵1^C^1^- = -^vP1^C/21^- ⁺ ^^а2^{(/з -Z1)}’ (⁸-⁸⁰)

ОТ Ol L где G3 и С₃ - вес и удельная теплоемкость металла труб; ot] и - коэффициенты теплоотдачи; Fj и - поверхности теплообмена; /3 -температура металла труб.

В связи с трудностями решения таких уравнений объекты с распределенными параметрами заменяются последовательно соединенными ячейками идеального перемешивания, и получается ячеечная модель (см. рис. 8.23, б).

Примерами объектов с распределенными параметрами являются кожухотрубчатые теплообменники, трубчатые реакторы, трубчатые печи, ректификационные и абсорбционные колонны и т. д.

Свойство объекта самостоятельно возвращаться в равновесное состояние после снятия возмущения называют самовыравниванием. Например, при ступенчатом воздействии выходная величина возвращается в равновесное состояние благодаря наличию внутренней отрицательной обратной связи.

Степень самовыравнивания количественно оценивает свойство самовыравнивания и находится из отношения величины ступенчатого воздействия к вызванному этим воздействием отклонению выходной величины в равновесном состоянии:

х- 1(т) х_в • 1(т) _О1 .

р = —У,или р= ^в у. (8.81)

И⁰⁰)

Степень влияния входной величины на скорость изменения выходной величины оценивают по величине, называемой ёмкостью объекта. Под ёмкостью объекта понимают отношение входной величины к скорости изменения его выходной величины:

(8.82)

dy! dx

Чем больше ёмкость объекта, тем меньше скорость изменения выходной величины.

При прохождении сигнала через объект выходная величина начинает изменяться с некоторым отставанием от времени изменения входного сигнала. Это связано с ограниченной скоростью распространения потоков массы и тепла в объекте. Такие объекты обладают запаздыванием. Запаздывание оценивается величиной, называемой временем запаздывания, tq-1/v, где / и тр -путь и время прохождения сигнала через объект; v - скорость распространения сигнала в объекте.

-пр Реакция нейтрального (астати-

ческого) объекта на ступенчатое воз-действие стремится к бесконечности с

• — - постоянной скоростью. Такие объекты
• -----Н не обладают свойством самовыравни-

І0—? вания, так как в них отсутствуют внут-

~ст ренние отрицательные обратные связи.

Рис. 8.25. Схема сосуда В качестве примера нейтрального объело стоянным отводом жидкости

екта рассмотрим сосуд, из которого жидкость откачивается насосом с постоянной производительностью ?>_ст = const (рис. 8.25).

Ранее (разд. 8.2) было получено уравнение динамики сосуда со свободным сливом (8.14). Так как ??_ст(т) = ?>_сто = const, то уравнение динамики будет иметь вид

^Я(т)

s~

⁺ бет,0 ^— (?пр (^т) •

(8.83)

Учитывая, что 0_пр>о = Q_CT,0 ^и 2пр(^т) “ 2ст,0 = ^А0пр(^т) > получим

да=_депр(т).

(8.84)

dx ^н

Проинтегрируем уравнение (8.84):

АЯ(г) = Яд2_пр(т)А. (8.85)

^Л0

Теперь можно сделать очевидный вывод: по динамическим свойствам рассматриваемый объект аналогичен интегрирующему звену (8.52), выходная величина которого устремляется в бесконечность при т—>оо с постоянной скоростью (см. рис. 8.16). Следовательно, это нейтральный объект регулирования.

Реакция устойчивого (статического) объекта на ступенчатое воздействие стремится к новому равновесному состоянию. Такие объекты обладают свойством самовыравнивания, так как в них имеется внутренняя отрицательная обратная связь.

В рассмотренных ранее примерах (разд. 8.2) динамические свойства описывались уравнением

dy

а — + ^аЪУ = ^ь0^х • (8.86)

dx

Применим к этому уравнению операцию прямого преобразования Лапласа и получим решение в операторной форме:

ад =-----— Х(р). (8.87)

^а0

Уравнению (8.87) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 8.26. Здесь последовательно соединены усилительное звено с передаточной функцией W^p) =b()/aQ и интегрирующее звено с передаточ

ной функцией W₂(p) =-------, охваченное отрицательной обратной

связью в виде усилительного звена W_oc(p) -к_ос=1.

В случае сосуда со свободным сливом обратная связь выражается влиянием величины стока жидкости на выходной сигнал - уровень жидкости.

График переходной функ

ции устойчивых объектов анало- Рис. 8.26. Структурная схема устойчивого гичен графику на рис. 8.13. объекта первого порядка

Реакция неустойчивого объекта на ступенчатое воздействие стремится к бесконечности с постоянно увеличивающейся скоростью за счет имеющейся внутренней положительной обратной связи (рис. 8.27).

Например, в реакторе идеального перемешивания, в котором протекает экзотермическая химическая реакция, при нарушении условия равновесия, когда тепло реакции будет превышать отводимое из реактора тепло, температура начинает повышаться, что приводит к возрастанию степени превращения реагентов. Это, в свою очередь, приводит к дальнейшему повышению температуры в реакторе с увеличивающейся скоростью.

Рис. 8.27. График переходной функции неустойчивого объекта

Неустойчивые объекты не являются работоспособными, и их необ

ходимо сделать устойчивыми. Для этого вводят дополнительно отрицательные обратные связи, компенсирующие влияние положительных обратных связей.

Многие реальные объекты можно представить как последовательное соединение простейших элементов: нейтральных, устойчивых, с за паздыванием. Тогда математическая модель может быть представлена дифференциальным уравнением высокого порядка с запаздывающим аргументом:

^ап ^d +••• + «! + W(^T) = ^0^х(^т - ^то) • (⁸-⁸⁸)

ch” dx