Математические модели кровообращения

Сердечно-сосудистая система. Первые модели кровообращения описывали деятельность сердца в замкнутой гемодинамической цепи. При этом контуры рефлекторной регуляции предполагались разомкнутыми, а показатели насосной функции сердца и резистивно-емкостные свойства сосудистого русла могли изменяться по воле экспериментатора. Эти свойства рассматривались как входы модели, а выходами служили основные показатели гемодинамики (минутный объем крови и кровяное давление) в различных частях системы, прежде всего в участках, прилегающих к сердцу.

Во всех моделях сосудистое русло представлено в виде сети из участков с сосредоточенными параметрами. Описания гемодинамики в i-м участке системы практически одинаковы в разных моделях и имеют вид

где Q{, (2м - объемная скорость на выходе и входе /-го участка; Vi - объем крови в i-м участке; р{ - давление; R, - сопротивление между /-м и (/ + 1 )-м участками, С, - растяжимость; и,- - ненапряженный объем; Voi - начальное наполнение участка. В некоторых моделях учитывается также инерционность кровотока и вязкие свойства сосу-

Электрический аналог математической модели сердечно-сосудистой системы

Рис. 5.64. Электрический аналог математической модели сердечно-сосудистой системы: р - давление крови, i - кровоток,

R - сопротивление сосудов кровотоку, С - растяжимость сосудов, Е - объемная жесткость желудочков сердца

диетой стенки в участках аорты (R'). В этом случае уравнения (5.148), (5.149) имеют соответственно вид:

где L, - инерционность кровотока, те. I. = —, где р - плотность

$i

крови, S - площадь сечения сосуда.

Приведенные выше уравнения аналогичны описанию электрических RLC-цепей, поэтому модели сердечно-сосудистой системы нередко иллюстрируют соответствующими электрическими схемами (рис. 5.64). Создаются такие модели для исследования характеристик сердечно-сосудистой системы как объекта управления. Поскольку в замкнутую гемодинамическую цепь включен саморегулирующийся насос (сердце), модели используются также для определения общих саморегуляторных свойств сердечно-сосудистой системы. Несмотря на то, что большинство моделей неуправляемой системы кровообращения динамические, на практике исследования с их помощью проводятся в установившихся режимах. При этом изучаются статические зависимости таких важнейших переменных гемодинамики, как минутный объем крови Q, средние величины системного Ра и легочного артериального Рар, центрального Pv и легочного венозного Pvp давлений от параметров, характеризующих состояние сердца и сосудов. В качестве последних рассматривались общее периферическое сопротивление R, растяжимость С и ненапряженный объем и сосудистого русла или его частей, общий объем крови V, частота сердечных сокращений, показатель сократимости (инотропного состояния) сердца.

Целью модельного анализа было прежде всего определение чувствительности переменных к изменению параметров и относительной роли сердечных и сосудистых факторов в регуляции гемодинамики. Статические модели сердечно-сосудистой системы позволяют получить и исследовать аналитические выражения, связывающие переменные кровообращения с параметрами, характеризующими насосную функцию сердца и резистивно-емкостные свойства сосудистого русла. Выведена формула для минутного объема крови:

где pms - среднее системное давление; индексами а и v обозначены величины, соответствующие артериальному и венозному участкам системы кровообращения. Проведен анализ зависимости минутного объема крови от условий притока крови к сердцу (венозного возврата). Показано, что изменения венозного сопротивления оказывают значительно большее влияние, чем артериального.

Модель статики сердечно-сосудистой системы, состоящей из правого и левого желудочков сердца, двух системных (артериального и венозного) и двух легочных участков, имеет вид:

Здесь

Индексомр обозначены величины, относящиеся к сосудам легких. Коэффициенты а,Ь и а, |3 характеризуют насосную способность левого и правого желудочков сердца в соответствии с описанными выше данными о статических характеристиках сердца и зависят от частоты сокращений н инотропного состояния сердца. Эта зависимость может быть раскрыта, например, с помощью приведенной выше модели статики изолированного желудочка следующим образом (величины с индексами R и L соответствуют правому и левому желудочкам сердца):

где к - показатель инотропного состояния сердца, экспериментальным аналогом которого является изгоняемая фракция желудочка, F - частота сердечных сокращений (ударов/мин.)

Решение приведенной системы уравнений дает формулы для основных гемодинамических переменных:

Здесь Ср = Сар + Сор - суммарная растяжимость малого, а С, = Са + Cv- большого круга кровообращения; и - суммарный ненапряженный объем сосудистого русла.

Формулы (5.155) - (5.159) позволили провести анализ чувствительности Q и Ра к изменению регулируемых параметров^:, F, Dv = /Cv G = IR, V по следующей методике. По литературным данным были выбраны два исходных уровня параметров кровообращения, соответствующие двум состоянияморганизма человека: а) в случае покоя; б) в случае интенсивной физической нагрузки .

Для обоих состояний определялись функции чувствительно-

3Q ( - (1 Z7

сти —, —— (где а, - варьируемый параметр из множества {к, F,

да. да

Dv, G, V}), при условии постоянства (на одном из двух принятых уровней) остальных параметров. Показано, что чувствительность Q к изменению какого-либо параметра связана обратной зависимостью с этим параметром и прямой - с остальными. Аналогичный вывод можно сделать для чувствительности Ри, если во множестве параметров рассматривать не G (общую проводимость сосудистого русла), a R.

Рассмотренные выше модели неуправляемой сердечно-сосудистой системы представляются на первый взгляд крайне упрощенными и в силу отсутствия регуляторных связей далекими от практики. Однако именно они нашли в настоящее время наибольшее применение в экспериментальных исследованиях и клинике, поскольку в установившихся режимах соотношения между переменными и параметрами действительно определяются формулами (5.155)—(5.159) или близкими к ним. Следовательно, если известны истинные значения параметров, характеризующих сердце и сосуды (k, F, R,, Д, V), то по формулам (5.155) - (5.159) могут быть найдены истинные значения переменных (Q, Pa, Pv и др.). Наоборот, если известны для данного состояния организма значения переменных кровообращения, то подставляя их в формулы (5.155) - (5.159), можно решить получившуюся систему уравнений относительно ее параметров, определив таким образом состояние насосной функции сердца и сосудистого русла.

Для изучения регионарного кровообращения использованы математические модели, учитывающие особенности геометрии сосудистого русла, биофизические свойства сосудистой стенки и гетерогенность крови.

В принципе все известные математические модели регионарного кровообращения можно разбить на модели кровотока в единичном сосуде, модели кровотока в системе сосудов без учета регуляторных и управляющих механизмов, модели управления сосудистой сетью, учитывающие определенные регуляторные и управляющие воздействия. В первых двух типах используется биофизический подход, а модели третьего типа представляют собой формализованные системы, исследование которых основано на применении методов теории автоматического управления. В задачу анализа последних входит определение зависимостей между гемодинамическими характеристиками сети, геометрическими параметрами, реологическими свойствами стенки и крови, а также параметрами регулирования кровотока в различных режимах работы органа.

Математическое описание регионарной и системной гемодинамики базируется на методах механики сплошных сред, т.е. уравнениях Навье - Стокса или на реологическом описании движения крови с учетом ее неньютоновских свойств. Распространенным, хотя и весьма приближенным способом описания гидродинамики, является применение уравнения Пуазейля.

Гемодинамику в каждом из участков сосудистого русла можно адекватно описать с помощью упрощенных линеаризованных уравнений типа Навье-Стокса и уравнения неразрывности:

Здесь Pt - давление крови; Qt - объемная скорость кровотока; R„ С„ G„ L, - соответственно эквивалентные значения сопротивления, податливости стенки, утечки и инерционности потока рассматриваемого участка сети; i - номер участка; х - фиктивная пространственная координата, связанная с номером (порядком ветвления) участка сосудистой сети. Коэффициенты уравнений (5.160) являются переменными величинами, зависящими от геометрических и биофизических свойств сосудов, и определяются из соотношений:

где rjj - динамическая вязкость крови; ni - количество сосудов в данном участке; г, - средний радиус сосудов /-го участка; р - плотность крови; Е; - модуль упругости Юнга для сосудов данного участка; 51 - толщина стенки сосуда.

Система уравнений микрогемодинамики решается вместе с уравнениями, описывающими влияние упруговязких свойств стенки:

и уравнением, учитывающим сократительную активность гладкой мускулатуры стенки под влиянием импульсации водителей ритма:

В уравнениях (5.162) и (5.163) г0 - радиус сосуда, а 5 толщина сосудистой стенки при нулевом трансмуральном давлении Р = Ре; Ре - давление окружающей сосуды среды; г|с - модуль вязкости материала стенки; А,г, А2г - изменение радиуса сосудов под действием соответственно упруговязкой деформации и электрической активности соответственно;/- эквивалентная частота пейсмекеров, характеризующая влияние электрической активности водителей ритмов на сокращение гладкомыщечных волокон стенки; Рош - осмотическое давление в ткани; Рп - пороговое значение давления крови, при превышении которого активируются гладкая мускулатура сосудистой стенки, ах, а2, ai - константы.

В модели принято допущение об аддитивном вкладе различных регуляторных воздействий в изменение просвета сосудов. В качестве внешнего воздействия на сосудистую сеть рассматривается изменение давления крови на артериальном конце каждого исследуемого участка. Гемодинамические характеристики рассчитывают при фиксированных значениях объемной скорости кровотока на выходе сети, соответствующих определенным функциональным состояниям органов. Значения геометрических и биофизических параметров сосудистой сети выбирают в соответствии с имеющимися экспериментальными и клиническими данными. В частности, для нормы диапазоны значений параметров для резистивного отдела сосудистой сети выбраны в следующих пределах: Е = 105—107 дин/см2, Q = 2— 12 мл/мин на 100 г, г|с = Ю4-106 дин • с/см2, тк = 1,5-4 сП, п = 900- 5 • 103 мкм, г0 = 10-100 мкм, 5 = 3-60 мкм.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >