Нелинейная теория движения крови по кровеносному руслу

При создании этой теории основное внимание уделено двум вопросам:

  • - связи характера потока жидкости с изменяющейся под действием этого потока геометрией эластичной трубки;
  • - роли нелинейности уравнений гидродинамики при течении жидкости по эластичным трубкам.

В исследуемой гидродинамической модели сделаны существенные упрощения. Во-первых, принято приближение идеальной жидкости, во-вторых, используется безмоментная теория для эластичной трубки.

Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явлений: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления, скорость которой много выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости по типу «поток-стенка» (флаттер).

Течение идеальной жидкости в трубках с эластичными стенками. Для получения замкнутой системы уравнений гидродинамики необходимо задать связь между деформацией эластичной трубки и избыточным давлением внутри нее. В простейшем случае небольших деформаций эта связь определяется законом Гука. Однако формулировка закона Гука зависит от характера решаемой задачи. Она должна быть различной для различных скоростей изменения площади сечения трубки. В случае относительно небольших скоростей потока и изменений площади течения трубки можно использовать формулу связи избыточного давления в трубке и площади ее сечения в виде:

где AS = S - S0, S - площадь сечения трубки в данном месте, S0 - площадь сечения трубки при нулевом избыточном давлении р{, С - эластичность стенок трубки. Из теории тонких оболочек следует, что С = Eh/d, где Е - эффективный модуль упругости стенок трубки, h - толщина ее стенки, d - средний диаметр.

В случае более значительных изменений площади сечения трубки можно использовать закон Гука в виде:

Здесь сохраняется линейная связь изменения избыточного давления от относительной деформации площади сечения трубки, однако зависимость площади от избыточного давления носит нелинейный характер:

В первом порядке разложения в ряд формула (5.94) переходит в (5.92).

Если скорость изменения площади сечения трубки достаточно велика, то в закон Гука должны входить параметры, характеризующие движение жидкости по эластичной трубке. В этом случае закон Гука можно применять в виде :

где dV = SdX - элемент объема трубки, рис. 5.57. Если жидкость неподвижна, то dV = Sdl, где dl - неизменяющаяся длина участка

Деформация элемента объема эластичной трубки dV при перемещении жидкости вдоль нее (V*/ - V* - изменение элемента объема трубки при перемещении жидкости)

Рис. 5.57. Деформация элемента объема эластичной трубки dV при перемещении жидкости вдоль нее (V*/ - V* - изменение элемента объема трубки при перемещении жидкости)

трубки. Тогда формула (5.95) переходит в (5.93). Если же жидкость движется, то преобразование носит более сложный характер (рис. 5.57):

где 8 - относительная деформация элемента объема трубки dV в процессе смещения жидкости вдоль нее на dx, а V* - V* - изменение элемента объема трубки при этом.

При S = const формула (5.96) переходит в обычное выражение для относительной деформации в твердом теле s •

Относительно смещения и необходимо сделать следующее замечание. Если в эластичной трубке возникли высокочастотные автоколебания стенки и потока, то на осредненное движение жидкости со скоростью v0 накладывается колебательное движение со скоростью v*, так что суммарная скорость

Величина и - это смещение элемента объема жидкости в процессе продольных колебаний относительно точки, движущейся со скоростью v0 так, что vk Таким образом, из (5.95) следует,

что

Формулы (5.92)-(5.95) и (5.98) связывают избыточное давление с геометрией трубки. Однако, если записывается уравнение колебаний, то необходимо использовать связь между реакцией стенки эластичной трубки и ее геометрией. Реакция стенки трубки Р - это сила, действующая со стороны единицы площади внутренней поверхности трубки на жидкость. Так как Р = -Р„ то в формулах (5.92) - (5.95) и (5.98) необходимо учесть минус.

Для возникновения флаттерного режима течения совсем необязательно наличие волн давления. Он может появиться и при неизменном расходе в эластичной трубке, т.е. когда перепад давления на трубке постоянен. Течение жидкости по эластичной трубке принципиально неустойчивый процесс. Любое случайное увеличение скорости жидкости приводит в соответствии с «эффектом Бернулли» к снижению статического давления в ней. Это ведет к уменьшению площади сечения трубки, что еще больше увеличивает скорость потока. Процесс нарастает лавинообразно (положительная обратная связь), что приводит к схлопыванию трубки. Необходимость прокачивания определенного объема жидкости раскрывает трубку. Возникают автоколебания по типу неустойчивости «поток-стенка» или флаттер оболочечной моды. Процесс непосредственно не связан с наличием вязкости жидкости, поэтому будем рассматривать возникновение автоколебательного (автоволнового) режима течения в идеальной жидкости, а влияние вязкости отметим в дальнейшем.

Выведем уравнение импульса для рассматриваемого процесса. Изменение площади поперечного сечения трубопровода на полуволне возникших колебаний состоит из двух частей: диффузорной и конфузорной, рис. 5.58. Второй закон Ньютона в проекции на ось х для элемента объема жидкости dV можно записать в виде;

Схема продольных составляющих сил, действующих на элемент объема dV со стороны диффузорной и конфузорной частей стенок трубки

Рис. 5.58. Схема продольных составляющих сил, действующих на элемент объема dV со стороны диффузорной и конфузорной частей стенок трубки

где dFg = dFk = PdS - продольные составляющие сил, действующих на элемент объема dV со стороны диффузорной и конфузорной частей стенок трубки. По 3-му закону Ньютона они равны между собой; N = pS - продольная составляющая сил давления, обеспечивающая течение жидкости, р - ее плотность, t — время.

Сила Fg, действующая на элемент объема dV по всей внутренней поверхности диффузорной части, уравновешивается силой Fk, действующей со стороны конфузорной части. Если dFk = 0, т.е. диффузор открытый, уравнение (5.99) преобразуется к виду:

Такой же вид имеет уравнение импульса при S = const. Однако в случае существования диффузорной и конфузорной частей симметричной геометрии уравнение импульса (5.100) преобразуется к виду:

Следовательно, в случае трубки неизменного сечения, расширяющегося либо сужающегося сечений, можно пользоваться уравнениями Эйлера (5.100). Если же расширение трубки сменяется сужением, то необходимо использовать уравнение (5.101). Подобный вид уравнения используется, например, при решении задачи Жуковского о гидравлическом ударе в упругом «трубопроводе».

Подставляя в (5.101) закон Гука (5.95) с учетом знака, а также используя (5.96) и учитывая, что dvjdt = 0, получаем:

В случае колебаний небольшой амплитуды нелинейным конвективным слагаемым в правой части (5.102) можно пренебречь. Скорость распространения автоволн по трубопроводу

Используя vk =ди / dt, а также (5.103) получим:

Получено двухпараметрическое волновое уравнение. Еще одно уравнение, связывающее неизвестные величины и и S, - это уравнение неразрывности:

В уравнение неразрывности входит только колебательная составляющая скорости, так как изменение площади и расхода Q = VS происходит только за счет колебательной составляющей скорости vk.

Будем искать решение системы (5.104) и (5.105) методом разделения переменных Фурье. Примем:

Подставим (5.106) в (5.104) и, сократив на 02(t), разделим переменные:

Получаем два уравнения:

Решение этих уравнений имеет вид:

где со - циклическая частота колебаний, Ах, cpj - постоянные интегрирования. Функции Ф2(0> F(x)> F2(x) найдем из уравнения неразрывности (5.105). Учитывая, что скорость vk =^х/^ имеем:

Следовательно, уравнение неразрывности распадается на два уравнения:

где 0 - постоянная. Решения уравнений (5.112) с учетом (5.110) имеют вид:

Функция Fj находится из условия:

Система функций (5.109), (5.113), (5.114) позволяет получить решение уравнений (5.104), (5.105):

При записи решений уравнений (5.104), (5.105) необходимо учитывать, что эти уравнения обладают слабой нелинейностью. Они линейны относительно каждого из параметров, но в них входят произведения этих параметров. Указанное обстоятельство налагает некоторые ограничения на результат решения системы (5.104), (5.105). Площадь эластичной трубки величина положительная, поэтому необходимо использовать знак абсолютной величины. Абсолютную величину в соответствии с уравнением неразрывности (5.105) нужно использовать и в уравнении для перемещения (5.116).

Найдем скорость жидкости и давление в ней; для скорости имеем:

Давление определим исходя из соотношения (5.98):

Возникновение автоколебаний стенок эластичной трубки (к схеме измерения артериального давления крови по методу Короткова; манжета сфигмоманометра не показана)

Рис. 5.59. Возникновение автоколебаний стенок эластичной трубки (к схеме измерения артериального давления крови по методу Короткова; манжета сфигмоманометра не показана)

Как и следовало ожидать, градиент давления (так как жидкость идеальная) получился равным нулю. Таким образом, в эластичных трубках возможно возникновение автоколебаний площади, скорости и давления.

Такие автоколебания, или флаттер возникают, например, при измерении артериального давления в кровеносных сосудах сфигмо- манометромтоны Короткова.

Если принять максимальную относительную деформацию smax и учесть, что амплитудное значение колебаний давления Ptmax = С ? ?тах, ТО из (5.118) следует еП1ах = 0 • А0.

Зададим следующие граничные условия исходя из модели измерения артериального давления по методу Короткова, рис. 5.59: при х = 0 величины S = S0; и = и0 = 0; v = v0, где S0, и0, v0 - площадь сечения, перемещение и скорость жидкости вне манжетки сфигмомано- метра. Из (5.117) следует ф, = 0. Принимая начальные условия: при t = 0 величина и = и0 = 0, S = S0, из (5.116) получаем ф0 = 0, а из (5.115) Aj А2 со/(0 • а) = S0. Следовательно, окончательно решение системы уравнений (5.104), (5.105) при данных начальных и граничных условиях имеет вид:

Расчетные кривые изменений площади сечения эластичной трубки и скорости жидкости по ее длине

Рис. 5.60. Расчетные кривые изменений площади сечения эластичной трубки и скорости жидкости по ее длине.

Сплошные линии соответствуют идеальной жидкости, штриховые - вязкой

На рис. 5.60 показаны графики изменения площади сечения эластичной трубки и скорости жидкости в ней в зависимости от ее длины в момент времени, соответствующий sin(cot) = 0 и cos(co/) = 1, т.е. t = 2кл/со, где к = 0, 1, 2,..., построенные в соответствии с формулами (5.119). Для удобства построения по оси абсцисс взята величина сох/а.

Из рис. 5.60 видно, что в моменты схлопывания трубки, там где S' = 0, скорость жидкости возрастает до бесконечности. Это связано с тем, что формулы для скорости и площади относятся к невязкой жидкости. Такой же эффект имеет место, например, при рассмотрении вынужденных колебаний, когда амплитуда колебаний в резонансе стремится к бесконечности при отсутствии сопротивления среды. Пунктиром показан реальный ход кривых с учетом вязкости жидкости.

Определим возможные частоты автоколебаний при измерении артериального давления по методу Короткова. Пусть длина манжетки сфигмоманометра равна 1. Тогда дополнительное граничное условие будет: при х = 1, v = v0 в любой момент времени. Из (5.119) следует сol/a = kn, где к = 0, 1,2,..., т.е. целое число. Следовательно, частота автоколебаний будет равна:

Полученное выражение дает возможность определить эффективный модуль упругости сосудистой стенки в живой системе путем измерения частоты тонов Короткова.

Вязкий режим течения в эластичных трубках. До сих поррас- сматривали течение идеальной жидкости по эластичной трубке. Реально кровь обладает довольно большой вязкостью. Вязкость крови примерно в 4,2 раза больше вязкости воды.

При рассмотрении уравнения импульса для вязкой крови примем, что амплитуда волн в эластичной трубке мала по сравнению с длиной волны. В этом случае можно не учитывать нелинейные конвективные члены в уравнении импульса. Если считать скорость распространения пульсовой волны а « 6 м/с, а длину волны X вычислить исходя из характеристик тонов Короткова, частота которых / = 60-И50 Гц, то, исходя из этого, получим: X = а//= 10-5-4 см.

Амплитуда колебаний не может быть больше радиуса артерии, т.е. менее 0,5 см. Следовательно, условие, при котором можно пренебречь нелинейными членами в уравнении импульса, выполнимо.

Учитывая формулу члена с давлением (5.98), запишем уравнение импульса в виде

где г - радиальная координата, г - динамическая вязкость. Усредним уравнение (5.121) в соответствии с профилем скорости Пуазейля v =2vcp(l - г2 / R2), где vcp - средняя по сечению скорость в трубке,

R - внутренний радиус сосуда,

В результате уравнение импульса принимает вид:

В (5.122) у скорости v опущен индекс ср., так как в дальнейшем будем иметь дело только со средней скоростью кровотока по сечению.

Для анализа влияния вязкости на поток крови рассмотрим течение очень вязкой жидкости, т.е. примем в (5.122):

Такое течение аналогично пуазейлевскому, но с учетом возможности изменения площади сосуда за счет его эластичности. Первоначально пренебрежем последним диффузионным членом в уравнении (5.122) и предположим отсутствие пульсового движения жидкости, т.е. используем приближение пограничного слоя. Кроме того, левую часть вследствие малости не учитываем. Тогда уравнение импульса можно записать в виде

Используя (5.98) с учетом знака получаем

Так как при принятых условиях течение не имеет колебательного характера, разделять скорость на среднюю и колебательную составляющие нет необходимости. Обозначим у = С / 8тгг|, тогда уравнение (5.125) будет иметь вид

Это двухпараметрическое уравнение типа уравнения теплопроводности. Используя (5.96), будем искать решение уравнения

(5.126) методом разделения переменных Фурье:

Для нахождения функций Ф, ФХФ2 используем (5.127) и уравнение (5.112), являющееся следствием уравнения неразрывности:

Для функции Ф„ используя (5.113) и (5.127), получаем уравнение:

В уравнении (5.129) постоянная интегрирования, обозначенная ранее в (5.112) как 0, теперь обозначена 02. Решение уравнения (5.129) имеет вид

где обозначено -А2 =0 ,уА2, ЕГ1 (А,2/) - модифицированная обратная

интегральная показательная функция, так что Ei(Z) = J ехР^ dZ.

о ^

При этом учтено, что при t = 0 функция Ф,(0) = 0, так как перемещение и = 0. Функция Ф2 получается из уравнения (5.112):

Для нахождения зависимостей переменных от х, умножив

(5.127) на (5.122), получим уравнение для F:

Решение уравнения (5.132) через элементарные функции не выражается. Функции Fx(x) и F2(x) можно выразить через F, используя (5.127) и (5.112):

Используя (5.130), (5.131), (5.133), находим решение системы (5.126) и (5.128):

При t —» оо имеем: Ei~l(X2t) —> 0, поэтому для А,2 > 0 имеем:

S—» 0. Таким образом, решение (5.134) при А,2 > 0 указывает на зажатие трубки со временем.

Если Rx = uS,R2 = u- решения уравнения (5.134), a R3 = S и R4 = vS решения уравнения (5.126), то

также являются решениями (5.124), а

-решения уравнения (5.126).

Следовательно, учитывая, что функции Fi и Смогут зависеть от X, получим

Функции В(Х) и D(k) определяются начальными и граничными условиями.

Рассмотрим стационарный режим при вязком течении. Формулы (5.135) описывают переходный процесс. Однако опыт показывает, что при течении очень вязкой жидкости через короткое время форма эластичной трубы достигает стационарного состояния и в дальнейшем не меняется, т.е. S = ,S(x) при t —» оо. Уравнение (5.126) принципиально не может описать этот режим течения. Действительно, из (5.128) следует vS = Q ф Дх). Следовательно, SdU/dt=d(US)/dt*f(x)Te- и левая часть уравнения (5.126)

равна нулю. Таким образом, получаем v = 0, т.е. стационарный режим возникает при полной остановке потока, что тривиально.

Для получения формы трубы при наличии скорости учтем последний член в уравнении (5.123). Тогда уравнение импульса приобретает вид

Учитывая v = Q/S и ф = l/S, получим

Интегрируя уравнение (5.137) методом понижения порядка производной, находим

Используя условие, что — =0 при ф = lASmax, находим А3 = -

дх

16/7i(3Smax), где Smax в данном случае - максимальная площадь сечения эластичной трубки, возникающая в некотором месте.

Умножим обе части уравнения (5.138) на S а1ах и, перейдя к безразмерному аргументу х* -Xyj[4n / 3S max ],получим:

Решением уравнения (5.139) является эллиптическая функция Вейерштрасса: ф5тах = В(х* +Л4).Таким образом,

Постоянная А4 находится из условия: при х = 0 имеем S = SQ, т.е. В(А4) = SmaJS0. Графически (S^/Sq)172 как функция от

Z = x ! 4 представлена на рис. 5.61.

у 3S тах

Изменение площади сечения эластичной трубки при устойчиво вязком течении жидкости

Рис 5.61. Изменение площади сечения эластичной трубки при устойчиво вязком течении жидкости

Переход от автоколебательного к вязкому режиму течения. Анализируя возможные ламинарные непульсовые режимы течения жидкости в эластичной трубке, можно сделать вывод, что в случае малой вязкости жидкости, или когда скорость ее достаточно велика, наблюдается автоколебательное течение, описываемое дифференциальными уравнениями (5.104) и (5.105). При высокой вязкости или малой скорости течения жидкости поток описывается дифференциальными уравнениями (5.126) и (5.128).

Рассмотрим роль параметра у в уравнении (5.126). При увеличении вязкости, т.е. уменьшении у = = ^/Snr] где а ~ СК0Р0СТЬ

пульсовой волны, течение жидкости все лучше описывается уравнением (5.126), а при уменьшении вязкости или увеличении у - уравнением (5.104).

Найдем критерий подобия для уравнения (5.123). С учетом (5.98) в приближении пограничного слоя его можно записать в виде:

Примем масштабы переменных в уравнении (5.141) для смещения Ми, для скорости Mv, для времени М„ для площади сосуда Ms, для продольной координаты Мх. Тогда в безразмерном виде уравнение (5.141) запишется

где безразмерные переменные М* =——, t* =——, S* =-^—,

Mv М, Ms

* и * X и --, X =-

ми мх

Учитывая, что v = , имеем Mv = MJMt.

Найдем безразмерную форму уравнения неразрывности

(5.128):

Следовательно, масштабы времени, скорости и продольной координаты связаны соотношением:

С учетом (5.143) после несложных преобразований уравнение (5.142) можно записать в виде

где а = JC/p.Обозначим N =(а/М,, )2 ,К =—--——

8пцМ5Мх

Величина К в рассматриваемой задаче играет роль, аналогичную числу Рейнольдса Re. При больших у, а следовательно, и К течение автоколебательное, при малых К - вязкое.

Примем в качестве масштаба площади площадь сечения сосуда с невозмущенным диаметром Мs масштаб продольной координаты Мх = d, где d - диаметр кровеносного сосуда при равенстве внешнего и внутреннего давлений р0 =р. В качестве масштаба скорости примем среднюю скорость потока по сосуду Mv = vcp. Следовательно,

8Л^ср

где т0 =-— - напряжение сдвига на стенке сосуда, если про-

d

филь скорости удовлетворяет закону Пуазейля.

Характеристикой перехода к турбулентному течению является число Рейнольдса:

Так как число Рейнольдса Re является общим критерием подобия уравнения (5.121), то значения Re и К можно сравнивать непосредственно. Очевидно, что автоколебательный режим ламинарного течения может наблюдаться до тех пор, пока поток не станет турбулентным, т.е. должен существовать диапазон, где

При скорости распространения пульсовой волны a « 5 м/с автоколебания могут наблюдаться, если скорость потока крови vcp > 0,88 м/с. Таким образом, если скорость потока выше 0,88 м/с и не произошел переход к турбулентности, может возникнуть неустойчивость типа «поток-стенка», т.е. автоколебания жидкости и стенки сосуда.

Оценим величину критерия перехода К от вязкого к автоколебательному режиму течения. Уравнение (5.144) можно представить в виде:

Автоколебания могут наблюдаться, если член в левой части (5.147) и последний в правой части одного порядка. Это возможно при N ~ Ккр. Обычные скорости крови в артериях vcp » 0,3-нО,5 м/с. Скорость распространения пульсовой волны а « 5ч-6 м/с, следовательно, KKp~N= (a/vcp)2 = 200н-400.

Необходимо отметить, что отождествлять величину N =(а/vcp )2 с критерием перехода к автоколебательному режиму течения нельзя. Она скорее играет противоположную роль, поэтому при увеличении v величина N падает, а соответственно левая часть в (5.147) растет.

Опыт показывает, что в приведенном диапазоне скоростей при нарушении механизмов антифлаттерной стабилизации потока крови могут возникнуть автоколебания, но может сохраниться и устойчивый режим течения. Большое значение здесь имеет наличие пульсового потока крови. Поэтому в диапазоне К = 200^-400 и должно лежать критическое число перехода Ккр от вязкого к автоколебательному режиму течения, причем для пульсового потока, который является провоцирующим фактором, справедлива нижняя граница диапазона. С точки зрения флаттера поток в аорте и крупных артериях имеет переходные характеристики от вязкого к автоколебательному режиму течения.

Если принять, что критическое число перехода к турбулентности ReKp « 2300, то практически всегда в аорте и крупных артериях существует диапазон чисел К, в пределах которого возможно развитие автоколебательного режима течения.

Биофизические особенности кровеносных сосудов разного типа

В биофизике принято различать четыре типа кровеносных сосудов: артерии эластичного типа, артерии мышечного типа, капилляры, вены. Их функциональное предназначение в системе кровообращения неодинаково. Артерии эластического типа (или амортизирующие кровеносные сосуды) поддерживают кровоток во время диастолы сердца и тем самым обеспечивают непрерывность движения крови в сосудистой системе. Артерии мышечного типа (или резистивные кровеносные сосуды) создают переменное сопротивление кровотоку и, следовательно, регулируют уровень КД в системе кровообращения, а также объёмную скорость кровотока в каждом из органов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >