Линейная теория движения крови по кровеносному руслу

Примем, что кровеносный сосуд имеет цилиндрическую форму с радиусом просвета (поперечного сечения) г. Рассмотрим движение цилиндрического элемента крови размером dx (рис. 5.51) (величина dx - бесконечно малая). Движение этого элемента вдоль длинной оси х сосуда слева направо вызывается силой, которая обусловлена разностью давлений dxр между правой и левой границей, и равна Sdxр; S = пг2 - площадь просвета сосуда). В dxр нижний индекс обозначает то, что дифференциал частный, т.е. находится при изменении х на dx при постоянных других переменных.

Схема к выводу уравнений движения крови но кровеносному сосуду

Рис. 5.51. Схема к выводу уравнений движения крови но кровеносному сосуду (1) и схема электрической линии, эквивалентной наполненному кровью сосуду (2); г - внутренний радиус сосуда; И - толщина стенки сосуда; х - расстояние вдоль продольной оси сосуда; R, L, С- активное сопротивление, индуктивность и емкость (соответственно). На вход электрической линии подается импульс, эквивалентный пульсу

Эта сила создает ускорение массы указанного элемента крови и преодолевает силу вязкостного трения, так что по второму закону Ньютона без учета силы тяжести имеем выражение:

в котором v - средняя (по площади просвета) скорость движения частиц крови;^1^ - ускорение; djn - масса элемента крови, равная pSdx dt

(р - плотность крови; Sdx - объем элемента крови).

Будем считать, что вязкое движение крови по сосуду подчиняется закону Пуазейля. Тогда

где г - вязкость крови.

Величина Q = Sv представляет собой объемную скорость кровотока. Подстановка выражения (5.66) в уравнение (5.65), деление уравнения (5.65) на dx и S и замена отношений дифференциалов на частные производные (ф / дх вместо djjldx и т.д.) дают:

Важно далее, что крупныекровеносные сосудыпри изменении внутрисосудистого давления в ходе сокращений сердца способны к быстрой упругой деформации, в результате чего возникает распространяющаяся по сосудампульсовая волна. Это можно пояснить следующим образом. Под действием сокращения сердца в отрезок сосуда dx за небольшой период dt подается порция крови и давление здесь возрастает. Из-за инерции крови это вызовет не ее движение вдоль сосуда, а расширение сосуда и вход крови в образовавшееся расширение. Затем упругая сила стенки сосуда начнет выталкивать избыток крови в соседний участок, где все описанные события повторяются: по сосуду распространяется импульс давления, скоростикровотокаидеформациисосудистойстенки. Скорость распространения этого импульса (т.е. пульса) намного выше средней скорости течения крови.

Рассмотрим теперь уравнение, описывающее количественно изменение во времени давления крови и скорости кровотока по ходу сосуда в связи с его деформацией. Пусть деформация сосуда происходит за время dt. Получаем связь между скоростью изменения давления и скоростью деформации сосуда:

где Е - эффективный модуль упругости стенки сосуда в рассматриваемый момент времени; нижний индекс t - частный дифференциал по времени, а0 = r-h.

Выразим d,S/dt через изменение объемной скорости кровотока. Рассмотрим участок сосуда длиной dx. Объем этого участка за время dt в результате расширения сосуда увеличивается на d,Sdx. Так как кровь практически несжимаема и течет по сосуду неразрывной струей, указанное изменение объема равно разности между объемом крови Qxdt, втекающей в участок dx, и объемом крови Q2dt, которая вытекает (т.е. втекает в соседний участок):

где dxQ - изменение объемной скорости кровотока по длине сосуда. Уравнение (5.69) можно переписать в виде

При подстановке (5.70) в (5.68) получаем

Дифференциальные уравнения (5.67) и (5.71) образуют систему, которая отражает взаимную зависимость давления и объемной скорости кровотока и описывает их изменение по ходу сосуда и во времени.

Строго говоря, величины параметров r|, Е и тем более S и г в уравнениях (5.67) и (5.71) могут изменяться при сдвиге давления в сосуде. Однако при высоких скоростях кровотока, характерных для магистральных сосудов, вязкость крови можно считать постоянной величиной. При быстрых изменениях давления, характерных для пульса, величина эффективного модуля упругости стенки кровеносных сосудов Е достигает больших величин и, следовательно, S изменяется незначительно. Наконец, сам модуль Е можно считать постоянной величиной при небольших изменениях S. Таким образом, можно принять за постоянные величины все параметры сосуда и крови, стоящие перед производными в выражениях (5.67) и (5.71). Введем новые постоянные:

Теперь уравнения (5.67) и (5.71) приобретают простой вид:

Такой же вид имеют уравнения, известные в электротехнике и описывающие изменение электрического потенциала вдоль элект- ГдсП (0<р"

рическои цепи и во времени , если эта электрическая цепь

v дх ) V dt )

составлена из элементов, имеющих в расчете на единицу длины сопротивление R, емкость С и индуктивность L (см. рис. 5.51).

Для сосудов системы микроциркуляции С—>0 вследствие их низкой способности к расширению при изменении давления, и поэтому уравнение (5.74) теряет смысл. Для этих сосудов отношение вязкостного сопротивления к индуктивному г / со/ = 8л:г| / copS оказывается во много раз выше, чем для артерий, что обусловлено неболь-

Зависимость объемного расхода крови в системе микроциркуляции от давления. Q - объемный расход крови в условных единицах; Ар - разность давлений на входе и выходе системы

Рис. 5.52. Зависимость объемного расхода крови в системе микроциркуляции от давления. Q - объемный расход крови в условных единицах; Ар - разность давлений на входе и выходе системы

шой величиной S отдельных артериол и капилляров по сравнению с артериями. Поэтому первым членом в правой части уравнения

(5.73) можно пренебречь, и в итоге кровоток в микрососуде описывается дифференциальным уравнением Пуазейля. Это уравнение при интегрировании в пределах длины сосуда от х, до х2 и давления отр, дор2 переходит в выражение рх - р2 =R(x2jc, ) или

которое аналогично закону Ома для участка электрической цепи с проводником длиной (х2 - х^ и сопротивлением R(x2 - х,) = Rr.

Для системы параллельно соединенных сосудов величина, обратная общему вязкостному сопротивлению (проводимость), равна сумме проводимостей отдельных сосудов.

Описанное представление кровотока в системе микроциркуляции называют чисто резистивной моделью кровообращения. Выражение (5.75) часто именуют формулой периферического гемодинамического сопротивления.

Экспериментальная зависимость (рис. 5.52) Q от Ар =р2х для артериальной части системы микрососудов в целом имеет нелинейный характер: кровоток растет по мере увеличения давления более резко, чем это следует по уравнению (5.75). Это объясняется тем, что

Разложение импульса давления в бедренной артерии собаки на гармонические составляющие

Рис. 5.53. Разложение импульса давления в бедренной артерии собаки на гармонические составляющие.

  • 1, 2, 3 - гармонические колебания с частотой 1, 2 и 3 Гц; 4 - сумма гармоник (сплошная кривая) и экспериментальные значения давления (кружочки);
  • 5 - постоянная составляющая; р - давление в относительных единицах; t - время

при повышении Ар величина Rr снижается. Падение сопротивления при повышенных давлениях может быть обусловлено несколькими причинами, например, расширением микрососудов или увеличением количества действующих капилляров, подключающихся параллельно к функционировавшим сосудам.

Распространение пульсовых волн. Сокращения сердца сопровождаются выбросом крови в кровяное русло, что приводит к периодическим изменениям давления. Эти изменения, как и всякий периодический процесс, могут быть выражены в форме суммы гармонических колебаний с частотой nf0, где н - натуральные числа, а /0 - частота 1 Гц (разложение сложного колебания на сумму гармонических колебаний называется Фурье-анализом). На рис. 5.53 в качестве примера показано, что пульс в бедренной артерии собаки хорошо аппроксимируется рядом Фурье, состоящим всего из четырех слагаемых (гармоник). Таким образом, целесообразно сначала рассматривать распространение по сосуду простых гармонических волн, а затем просуммировать их для описания распространения естественных (пульсовых) волн.

Итак, предположим, что давление в точке х = О изменяется по гармоническому закону с круговой частотой со = Inf (f - частота в герцах):

При выполнении этого условия решение системы уравнений

(5.73) и (5.74) приводит к уравнению затухающей волны:

причем коэффициенты % и (3 связаны с величинами R, L и С в уравнениях (5.73) и (5.74) соотношениями:

Величина А0 в уравнении (5.77) представляет собой максимальную амплитуду колебаний давления и равна р при cos(cctf -0х) = 1 и х = 0. Коэффициент Р показывает, как быстро затухает колебание по ходу сосуда. В самом деле, амплитуда колебаний в точке х равна А0 ехр(^х), т.е. уменьшается по ходу сосуда по экспоненте, показатель которой пропорционален х. Величина (Зх в уравнении (5.77) показывает сдвиг фазы на расстоянии х от начала отсчета, а коэффициент J3 связан со скоростью распространения волны а и, следовательно, с длиной волны X, соотношениями:

Легко найти величины а и X, решив систему уравнений (5.78) и подставив величину (3 в (5.79). Однаковыражения получаются громоздкими. Если сопротивлениетоку крови носит в основном вязкостный характер (соL « К), можно получить приближенное выражение дляскорости:

В этом случае, как видим, фазовая скорость распространения упругих волн растет с увеличением частоты. Если, наоборот, сопротивление току крови обусловлено в основном ее инерцией (coL » R), что характерно для крупных сосудов, приближенное выражение для скорости будет иным:

Скорость распространения упругих волн уже не зависит от частоты, т.е. все гармонические слагаемые сложного колебания (пульса) будут распространяться по сосудам с одинаковой скоростью.

Изучение кровеносных сосудов и кровотока может осуществляться на основании анализа распространения искусственных гармонических волн давления в опытах in situ. Измеряя амплитуды давления искусственной волны в месте расположения датчиков давления, находят фазовую скорость распространения волны, a=x / At.

Эти опыты показали, что фазовая скорость практически не зависит от частоты (рис. 5.54). Это говорит о справедливости уравнения (5.81).

Экспериментально был подтвержден и другой теоретический вывод об экспоненциальном характере затухания волны давления по ходу сосуда. Из уравнения (5.77) следует, что при данном л: амплитуда давления А -А0 ехр(^х), или после логарифмирования

Это и наблюдалось в опыте: в полулогарифмических координатах амплитуда давления оказалась линейно зависимой от х.

Существует много других подтверждений правильности линейной модели кровотока. Например, согласно уравнению (5.81), скорость распространения волны давления по крупным сосудам должна возрастать с увеличением модуля упругости сосудистой стенки Е.

Выводы линейной теории кровотока по упругим сосудам тем не менее могут использоваться для изучения ряда характеристик системы кровообращения. Например, измеряя скорость распространения пульса, можно определить модуль упругости сосудистой стенки Е по уравнению (5.81). Измеряя давление в двух близко расположенных участках сосуда и зная R и L, можно рассчитывать по уравнению

(5.73) импульс объемного расхода крови.

Моделирование работы кровеносной системы проще всего осуществить, объединив каждую совокупность сосудов данного типа в один гидродинамический элемент. В модели О. Франка, созданной в 1899 г., система крупных сосудов артериальной части большого круга кровообращения моделируется одной упругой камерой, а система мелких сосудов с вязкостным сопротивлением - жесткой трубкой (рис. 5.55). Электрическим аналогом этой гидродинамической

Схема определения фазовой скорости и коэффициента затухания искусственных волн давления и зависимость фазовой скорости распространения этих волн в аорте собаки от частоты

Рис. 5.54. Схема определения фазовой скорости и коэффициента затухания искусственных волн давления и зависимость фазовой скорости распространения этих волн в аорте собаки от частоты.

А о, А- амплитуда давления вместе расположения датчика Д1 и после прохождения расстояния 4 см (вместе расположения датчика Д2);

At - время прохождения максимума волны давления (фазы) от одного до другого датчика, а — фазовая скорость распространения волны давления; v — частота

Гидродинамическая модель с сосредоточенными параметрами, описывающая артериальную часть большого круга кровообращения

Рис. 5.55. Гидродинамическая модель с сосредоточенными параметрами, описывающая артериальную часть большого круга кровообращения.

1 - упругаякамера (крупные артерии), представляющая собой цилиндр с поршнем, который соединен с упругой пружиной; 2 — жесткая трубка (периферические сосуды); 3 - клапан. 4 - насос (левый желудочек сердца). Стрелки с и Д показывают направление поступления крови в разные части системы в период систолы и диастолы (соответственно)

модели служит цепь, состоящая из параллельно соединенных конденсатора и активного сопротивления. Давлениер, создаваемое сердцем при сокращении, воздействует сразу на все крупные артерии (на единую гидродинамическую емкость С0). Теоретический анализ кровотока в такой гемодинамической системе с сосредоточенными параметрами приводит к формулам, на основе которых, измеряя показатели кровяного давления, можно рассчитать ударный объем крови в большом круге кровообращения.

Объем (Qdt) крови, выходящей из сердца со скоростью Q за время dt (dt > 0), равен сумме объема (Q0dt) крови, протекающей с объемной скоростью Q0 через жесткую трубку, и изменения объема (dV) крови в упругой камере:

Очевидно, что dV= sdl, где s - площадь поверхности поршня упругой камеры; dl - изменение длины камеры (упругой пружины).

Выразив dl через модуль упругости Е и длину / упругой камеры (пружины) и учитывая при этом, что в данном случае da равна изменению давления dp, имеем dV =sldp IE. В результате уравнение (5.83) переходит в выражение:

в котором С0 =sl / Е - гидродинамическая емкость упругой камеры (совокупности крупных сосудов).

Объемная скорость кровотока через периферические сосуды (жесткую трубку):

где р - давление в крупных сосудах (в упругой камере), рв - венозное давление, Rr - общее вязкостное сопротивление периферических сосудов

Из последних двух уравнений при рв = 0 следует

Запишем определенный интеграл этого выражения в промежутке времени, равном одному периоду пульса Гп, т.е. в промежутке между моментами минимального диастолического давления рд (рис. 5.56):

Второй член правой части уравнения (5.87) равен нулю. Левая часть этого уравнения и есть ударный объем крови (Vc), который, как видим, может быть найден как площадь под кривой p(t) за период пульса (рис. 5.56), деленная на вязкостное сопротивление Rr. Введя параметр среднее давление рп за период пульса, получаем:

Определение в моделиссосредоточенными параметрами гидродинамических характеристик артериальной части системы кровообращения по данным измерения пульсовой волны

Рис. 5.56. Определение в моделиссосредоточенными параметрами гидродинамических характеристик артериальной части системы кровообращения по данным измерения пульсовой волны.

  • 1,2- пульс сонной и бедренной артерий (соответственно)
  • (Рд - диастолическое давление, Рс - систолическое давление)

Теперь предстоит найти Rv. В основе дальнейших рассуждений лежит тот факт, что сердце в основном заканчивает выброс крови к моменту достижения максимального систолического давления с

на рис. 5.56). Дальнейшее изменение давления доминимального диастолического связано с выходом крови из крупных сосудов (упругой камеры). Таким образом, в период Тп (рис. 5.56) Q = 0, и для этого периода уравнение (5.86) приобретает вид С0dp = -pdt / Rr. Проинтегрировав это выражение в пределах давления отрс до ра для левой части и в промежутке времени от 0 до Тд для правой части и выразив затем интеграл правой части через среднее давление, как это сделано выше для всего периода пульса, приходим к уравнению:

где р - среднее давление за период Тп, приближенно равное рп в формуле (5.88).

Емкость С0 в этом уравнении равна С ? 1а, где 1а - некая эффективная длина крупных артерий, а С - их средняя емкость на единицу длины. Величина С может быть найдена, если известна скорость распространения пульсовых волн а:

где S0 - эффективная площадь поперечного сечения, которую обычно принимают равной площади поперечного сечения восходящей дуги аорты, и определяют по данным рентгенографии.

Из уравнений (5.88), (5.89) и (5.90) можно получить выражение для ударного объема крови, которое при р = ри имеет следующий вид:

где к - эмпирический коэффициент, близкий к единице, введение которого связано со сделанными упрощениями. Наибольшая трудность при использовании уравнения (5.91) связана с тем, что эффективная длина артерий 1а неизвестна. Существует несколько более или менее произвольных методов ее оценки. О. Франк предположил, например, что la равна половине длины волны основного колебания пульса, т.е. величине a ? 772, где Т - период указанного колебания, определяемого обычно по пульсу в бедренной артерии (рис. 5.56). Другие исследователи делают иные допущения. Но если даже параметры к и la не известны, уравнение (5.91) дает возможность определять изменения ударного объема крови у данного испытуемого, так как к, la и даже S0 и р при этом обычно меняются незначительно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >