ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ D-РАЗБИЕНИЯ

Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть — дополняющая первую — обеспечивает неустойчивые решения.

Идея метода D-разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости [5, 8, 9]. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются.

Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования:

Пусть все коэффициенты заданы, кроме «о и ап. Предположим, что представленное уравнение имеет в плоскости корней к корней слева от мнимой оси и п-к корней справа для каких-то значений п0 и ап, рис. 44.

Будем менять значения коэффициентов п0 и ап и находить корни. Возможно, для некоторой совокупности значений й0 и ап количество корней слева и справа от мнимой оси не меняется. Т.е. соотношение между кип- к остается постоянным. Тогда как совокупность других значений коэффициентов ао и а„ меняет соотношение между кип- к. Можно указать границу, отделяющую область постоянного отношения кип- к. Эту область обозначают D(k, п - к), рис. 45.

Область устойчивости и D-кривая

Рис. 45. Область устойчивости и D-кривая

Рис. 44. Комплексная плоскость корней «р»

Например, для характеристического уравнения четвертой степени

в плоскости коэффициентов могут быть следующие области:

Всего п + 1 областей.

Из всех D(k, п - к) областью устойчивости будет только одна: D(n, 0). В ней все корни, располагающиеся слева от мнимой оси, имеют отрицательную действительную часть. Мнимая ось — граница устойчивости в плоскости корней. В плоскости коэффициентов кривая, отделяющая область устойчивости от области неустойчивости, будет ничем иным, как преобразованной мнимой осью.

D-разбиение по одному параметру

Изучение метода /1-разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра при заданных значениях других параметров. Обозначим параметр как А. Это может быть коэффициент характеристического уравнения, или сочетание коэффициентов. Например, в уравнении

можно назвать параметром Т, Т2, Г3, к.

Допустим, сделан выбор А2. Тогда уравнение примет вид

Полином, который умножается на А, обозначим Q(p), остальную часть S(p). Уравнение примет общий вид:

Представив последнее уравнение в виде

получаем А как функцию переменной р.

Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем p=jсо. Тогда А(р) становится комплексным числом:

Если теперь задавать со от 0 до +оо, вектор Aijco) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости X, Y. Эта кривая отображает на плоскость X, Y мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой к корней, по другую п-к.

Если задавать со от 0 до -оо, получится зеркальное отображение кривой для +со. Поэтому кривую рассчитывают для положительных со, а затем дополняют зеркальным отображением относительно действительной оси.

Чтобы разобраться, по какую сторону находятся к корней, область D-разбиения выделяется штриховкой.

Правило штриховки. При движении по мнимой оси в плоскости корней (рис. 46) от со - -оо до со = +оо та область, в которой находятся все левые корни, будет все время слева. Она показана штриховкой.

Требуется, чтобы и в плоскости А область устойчивости находилась слева от кривой D-разбиения, если двигаться по ней от —ю к + оо . Левая сторона кривой так же штрихуется.

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рис. 47. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Комплексная плоскость корней «р» Рис. 47. Штриховка D-кривой

Рис. 46. Комплексная плоскость корней «р» Рис. 47. Штриховка D-кривой

Параметр А по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь: от точки 1 до точки 2. (рис. 47).

В основе лежит допущение, что в характеристическом уравнении можно выделить два параметра, М и N, которые могут изменяться, а остальные параметры заданы. Параметром может быть коэффициент или комбинация коэффициентов.

Если параметры М и N входят в характеристическое уравнение линейно, то характеристическое уравнение может быть представлено в виде

где Q, R, Н — некоторые полиномы.

Выделение областей устойчивости в плоскости параметров N и М достигается следующей процедурой.

Подставляем в характеристическое уравнение p=jco. Полиномы Q, R, Н распадаются на вещественные и мнимые части:

Теперь их надо ввести в характеристическое уравнение и выделить действительные и мнимые слагаемые:

Если комплексное выражение равно нулю, значит его действительное и мнимое слагаемые по отдельности равны нулю:

Получается два линейных уравнения для определения параметров М и N:

Величины Q, Q2, R, R2 рассматриваются как коэффициенты, а Ми N — как переменные.

Определитель системы

Определители параметра М и параметра N:

Определитель Ам получается из определителя системы заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Определитель Адг — заменой элементов второго столбца свободными членами системы.

Для конкретного значения со:

На плоскости М, N это будет точка. Задавая со от нуля до бесконечности, в плоскости М, N можно построить кривую, которая и есть граница D-разбиения. Система уравнений для М и N имеет решение, если А Ф 0 и Ам * 0, Дд^ 0; и не имеет решения, если Д=0 (точка с координатами (М, N) уходит в бесконечность). В случае Д=0, Ам = 0, An = 0, значения М и N становятся неопределенными. Уравнения для М и N становятся зависимыми и определяют собой не точку, а прямую в плоскости М, N. Такая прямая называется особой прямой. В большинстве случаев особые прямые получаются для со=0 и со=оо.

Область устойчивости выделяется штриховкой.

Правило штриховки. Если определитель Д>0, то двигаясь по D- кривой от <у=-оо до со=+оо, штрихуют левую сторону. Если Д<0, то штрихуют правую сторону (знак определителя меняется, если +со заменить на -со). Особая прямая штрихуется в соответствии с D-кривой так, чтобы штрихи на прямой и D-кривой одновременно были направлены в одну сторону. D-кривая штрихуется двойной штриховкой, особая прямая как правило одинарной.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

  • 1. Что такое характеристическое уравнение?
  • 2. Какой вид имеют корни характеристического уравнения?
  • 3. Чем отличаются правые и левые корни характеристического уравнения?
  • 4. Сформулируйте условие устойчивости систем по Ляпунову.
  • 5. Что такое граница устойчивости?
  • 6. Что такое критерии устойчивости?
  • 7. Сформулируйте необходимое условие устойчивости систем автоматического управления.
  • 8. Сформулируйте критерий Рауса.
  • 9. Сформулируйте критерий Гурвица.
  • 10. В чем достоинства и недостатки алгебраических критериев устойчивости?
  • 11.Что называется частотными критериями устойчивости САУ?
  • 12. В чем преимущество частотных критериев устойчивости перед алгебраическими?
  • 13. Сформулируйте критерий устойчивости Михайлова.
  • 14. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста.
  • 15. В чем особенность использования критерия Найквиста для астатических САУ?
  • 16. В каком квадранте уходит в бесконечность АФЧХ разомкнутой системы автоматического управления, если порядок астатизма равен трем?
  • 17.Что называется запасом устойчивости по амплитуде?
  • 18.Что называется запасом устойчивости по фазе?
  • 19. Как определить запасы устойчивости?
  • 20. Как влияет коэффициент усиления системы на запасы устойчивости?
  • 21. Чему соответствуют на АФЧХ пересечение ЛАЧХ оси частот?
  • 22. Что называется частотой среза?
  • 23. Как параметры системы влияют на вид уравнения динамики?
  • 24. Что происходит с корнями характеристического полинома системы при изменении ее параметров?
  • 25. Что такое пространство коэффициентов и плоскость корней?
  • 26. Что такое граница D-разбиений? Как найти ее уравнение? Как ее построить?
  • 27.Что такое D-области и как они нумеруются?
  • 28.Что такое область устойчивости?
  • 29. Как формулируется правило штриховки в случае D-разбиения по одному параметру?
  • 30. Как пронумеровать D-области в случае D-разбиения по одному параметру?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >