ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать систему так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Согласно критерию Найквиста [4, 6, 10], чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0), тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой системы от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис. 40).

Запасы устойчивости

Рис. 40. Запасы устойчивости

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом у между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой системы растет амплитуда каждой точки АФЧХ и при некотором значении К=Ккр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис. 41) и попадет на границу устойчивости, а при К>Ккр замкнутая система станет неустойчива.

АФЧХ при различных К

Рис. 41. АФЧХ при различных К

Обычно при создании системы задаются требуемыми запасами устойчивости h и у, за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой системы входить не должна (рис. 42).

Запретная область

Рис. 42. Запретная область

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой системы [1, 3, 10]. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых систем (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи KjCK^. Пусть первая система устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет (рис. 43).

Связь критерия Найквиста с ЛЧХ разомкнутой системы

Рис. 43. Связь критерия Найквиста с ЛЧХ разомкнутой системы

Если Wi(p) — передаточная функция первой системы, то передаточная функция второй системы W2(p)=K Wj(p), где КЖ^/К^. Вторую систему можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями К (Безинерционное звено) и Wj(p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев. Поэтому ЛАЧХ второй системы: L2(co)=201gK+Li(co), а ЛФЧХ: (p2(co)=cpi(co).

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы (p=-7t. Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ ср=-7г линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды

А!(со)<1, А2(со)>1, что соответствует на ЛАЧХ значениям

L!(co)=201gAi(co)<0 и L2(co)>0.

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ, можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ (р=-л будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю hi и h2, определенным по АФЧХ, соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где <р=- 71, но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты сос1 и сос2, при которых это происходит, называют частотами среза.

В точках пересечения A(co)=l=>L(co)=0 — ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ фс1>-я (рис. 43, а кривая 1), то замкнутая система устойчива. На рис. 43, б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии ср=-я. И, наоборот, для неустойчивой замкнутой системы (рис. 43, а кривая 2) (рС2<-л, поэтому при ю=сос2 ЛФЧХ проходит ниже линии ф=-я. Угол уi=срсi—(—7г) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию ОТ ЛИНИИ (р=-7Г до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [—оо;—1], можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию (р=-л, была больше частоты среза.

Если АФЧХ разомкнутой системы имеет сложный вид, то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию ср=-тс. В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >