ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

В процессе экспериментальных исследований решаются задачи: оценки погрешностей опытных данных и их статистической обработки; построения математической модели на основе полученных результатов; оценки достоверности модели.

Пусть при исследовании экспериментальной зависимости величины у от величины л: получена таблица результатов опытов.

Требуется найти аналитическую зависимость

позволяющую определять величину у для произвольных значений х. Обычно экспериментальные точки у{ = /(*,) имеют случайный характер, связанный с погрешностью измерений и изменением условий проведения опыта.

Расчет погрешности

В общем случае для оценки данных используют два вида погрешностей - абсолютную и относительную. При известной точной величине у (или ее статистической (см. п. 11.3) оценки ту) и измеренной

у*, абсолютная погрешность определяется как

Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к приближенному значению величины: 5 = ду/у*.

При установленных доверительных границах ±8 предельной абсолютной погрешностью будет являться положительная величина ду=|е| такая, что |д>’|<д>’. Таким образом, точное значение величины

при заданной е будет находиться в интервале у*у < у < у*у, или

Кроме субъективных факторов, погрешности обусловлены объективными обстоятельствами.

  • 1. Погрешность, обусловленная точностью измерительных приборов, дает ошибку в исходных данных при записи табл. 11.1 экспериментальной зависимости.
  • 2. Методическая погрешность связана с выбором функции в формуле (11.1), а также с необходимостью усечения ряда или степени полинома аналитической зависимости.

3. Погрешность округления, связанная с ограничением разрядности чисел, несмотря на современные возможности вычислительной техники, сохраняет свою роль при моделировании «жестких» систем.

Таблица 11.1.1

i

1

2

п

xi

xi

xi

Хп

Уг

У/

У/

Уп

Погрешности в результате их наложения носят аддитивный характер, и итоговая погрешность вычисления у включает в себя погрешность исходных данных - приборную, методическую погрешность и погрешность округления соответственно:

Пример 11.1. Известна математическая модель явления в виде функции двух аргументов у = /(xl5 х2)- Предположим, что известны

достаточно точные оценки хл, х2, их измеренные значения х,*, х*2 и абсолютные погрешности дх1? ах2. Запишем функцию в следующем виде:

Исследуем поведение функции в окрестности точки (х*, х2 j, разлагая ее в ряд Тейлора и ограничиваясь линейной частью ряда в пренебрежении последующими членами разложения, содержащими степени малых по величине абсолютных погрешностей дх(. относительно хг

з{е / jj; jjj

С учетом того, что у =/( х{, х2 I, абсолютная погрешность вычисления функции будет

Без учета методической погрешности за счет отбрасывании членов ряда более высокого порядка и ошибки округления, предельная погрешность, связанная с неточностью опытных данных, вычисляется по формуле:

В качестве примера вычислим по этой формуле погрешность значения функции от произведения двух аргументов у = х, х2, с заданными

для них предельными погрешностями. Получим: лу = |х2|дх, +|эг||дх2.

В общем случае в результате аналитических и экспериментальных исследований элементы полученных данных могут иметь весьма разнообразный характер - числа, векторы, матрицы, функции и т. д., или их последовательности. Для вычисления погрешностей в таких случаях необходимо обращение к линейным пространствам, в которых погрешность может быть вычислена как расстояние между соответствующими задаче элементами линейного нормированного пространства.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >