Использование графов для автоматических систем управления 106 10. Математические модели объектов управления

Структурную схему АСУ можно рассматривать как один из видов направленных графов, поэтому к ней применимы методы теории графов.

Для наглядного изображения прохождения и преобразования сигнала в АСУ удобно использовать графы, которые, как и структурные схемы, представляют собой запись системы уравнений АСУ в виде рисунка.

Граф состоит из точек (узлов) и линий (ветвей), соединяющих эти точки. Узлам и ветвям могут быть сопоставлены некоторые величины и операторы. Если ветви графа имеют стрелки, соответствующие направлению распространения сигнала, то граф называется направленным.

Основные свойства графов.

• 1. Каждому узлу (вершине), отмеченному на графе точкой или кружочком, соответствует некоторая переменная рассматриваемой системы.
• 2. Каждая ветвь (ребро) графа, изображенная в виде линии со стрелкой, имеет узел - начало и узел - конец, соответственно, переменная в начале ветви является входной переменной (х), переменная в конце ветви - выходной (у) (рис.78, а).

Рис. 78. Виды графов: а - линейный; б - разветвляющийся; в - сходящийся

Выходная переменная ветви получается как результат преобразования входной величины, осуществляемый оператором (передачей) ветви: у = кх, где к - оператор (передача) ветви.

• 3. Если из узла выходят несколько ветвей, то все они имеют одинаковую входную величину (рис.78, б).
• 4. Если к одному узлу подходит несколько ветвей, то переменная, соответствующая этому узлу, получается алгебраическим суммированием выходных переменных ветвей (рис.78, в).

Между структурной схемой и графом прохождения сигнала имеется прямое соответствие. Прямоугольник структурной схемы соответствует ветви, а сумматор или узел разветвления соответствует вершине графа.

Использование графов для параллельного и последовательного соединения ветвей рассмотрено в примере 7.

Пример 7.

Пусть имеются две параллельно ветви у = кх и у = к^х (рис.79, а).

Рис. 79. Графы с параллельными (а) и последовательными (б) ветвями

Тогда получим у = (к + кг)х = к_ЭКВх, где к_жв- эквивалентная передача графа. В общем случае совокупность параллельных одинаково направленных ветвей может быть заменена одной ветвью, передача которой равна сумме передач параллельных ветвей.

Если две ветви соединены последовательно (рис.79, б), то у = кгХ = к крс - к_жвх- В общем случае цепь из последовательно соединенных ветвей, идущих в одном направлении, может быть заменена одной ветвью, передача которой равна произведению передач последовательно соединенных ветвей.

• 10. Математические модели объектов управления
• (ОГЖ-3, ПК-19)

В реальных условиях часто точно неизвестны ни точка приложения возмущения, ни его характер. Известно, что лишь при наличии достаточно точной математической модели объекта можно спроектировать высококачественную систему управления этим объектом. Причем, согласно принципу Эшби, сложность управляющего устройства должна быть не ниже сложности объекта управления.

Поэтому основной целью построения математической модели объекта управления является определение структуры объекта, его статических и динамических характеристик. Особенно важно определение структуры для многомерных и многосвязных объектов управления. Определение структуры может быть сведено к определению порядка дифференциального уравнения описывающего объект. Кроме того, оцениваются входные сигналы и возмущения, действующие на объект (их статистические характеристики, точки приложения, максимальные амплитуды). Значение этих характеристик позволяет выбрать структуру регулятора и рассчитать параметры его настройки, ориентируясь также на критерий качества работы этой системы.

Наряду с динамической частью в структуре объекта могут содержаться различные запаздывания в сигналах управления, измерения и состояния (рецикла).

В промышленных объектах под рециклом понимается возврат части продукта с выхода объекта на его вход с целью повторной переработки. Наличие запаздывания объясняется конечной скоростью распространения материальных потоков в технологических объектах (транспортное запаздывание).

Для получения математического описания объектов управления в ТАУ также используются аналитические, экспериментальные и комбинированные методы.

108

Аналитические методы описания ОУ, как уже было отмечено выше, базируются на использовании уравнений описывающих физико-химические и энергетические процессы, протекающие в исследуемом объекте. Это, например, законы сохранения вещества и энергии (уравнения материального баланса).

Реальные объекты занимают в пространстве какой-либо объем, поэтому регулируемая величина зависит не только от времени, но и от текущих координат точки измерения. Поэтому полное аналитическое описание ОУ будет состоять из системы дифференциальных уравнений в частных производных. При использовании точечного метода измерения одним датчиком, система дифференциальных уравнений с частными производными переходит в систему уравнений с обычными производными. Это существенно упрощает построение математической модели объекта, позволяя определить его передаточную функцию. Однако при наличии множества датчиков, распределенных, например, по длине объекта, может возникнуть необходимость использования множества управляющих сигналов (распределенное управление), что значительно усложняет построение математической модели.

Экспериментальные методы предполагают проведение серии экспериментов на реальном объекте управления. Обработав результаты экспериментов, оценивают параметры динамической модели объекта, задавшись предварительно ее структурой.

Различаются экспериментальные методы по получению частотных и временных характеристик, а также методы, использующие активный эксперимент и пассивное наблюдение.

Активные методы предполагают подачу на вход объекта пробных тестирующих воздействий, каковыми являются:

• - воздействия детерминированного (предопределенного) характера: ступенчатые, импульсные, гармонические;
• - воздействия случайного или псевдослучайного типа.

В зависимости от вида пробного сигнала выбирают соответствующие методы обработки выходного сигнала объекта управления. Так, например, при подаче ступенчатого управляющего сигнала, снимают кривую разгона объекта, а при подаче импульсного сигнала снимают кривую отклика. Кривая отклика снимается для объектов, не допускающих подачу на вход объекта ступенчатых сигналов.

Достоинствами активных методов являются:

• - достаточно высокая точность получения математического описания;
• - относительно малая длительность эксперимента.

Следует учитывать, что активные методы в той или иной

степени приводят к нарушению нормального хода технологического процесса. Поэтому проведение эксперимента должно быть тщательно спланировано.

В пассивных методах на вход объекта не подаются никакие пробные сигналы, а лишь фиксируется естественное изменение координат объекта в процессе его нормального функционирования. Полученные реализации массивов данных входных и выходных сигналов обрабатываются статическими методами. По результатам обработки получают параметры передаточной функции объекта. Однако такие методы имеют ряд недостатков:

• - малая точность получаемого математического описания, (т. к. отклонения от нормального режима работы малы);
• - необходимость накопления больших массивов данных с целью повышения точности (тысячи точек);
• - если эксперимент проводится на объекте, охваченном системой регулирования, то наблюдается эффект корреляции (взаимосвязи) между входным и выходным сигналами объекта через регулятор. Такая взаимосвязь снижает точность математического описания.

Наиболее эффективными оказываются комбинированные методы построения математической модели объекта, когда, используя аналитически полученную структуру объекта, ее параметры определяют в ходе натурных экспериментов.