Индуктивная интерпретация вероятностей

Априорные, апостериорные вероятности гипотез, их правдоподобия, а также вероятности предсказаний принято называть индуктивными вероятностями. Их особенностью является концептуальный характер, зависимость от различных неэмпирических допущений и чрезвычайная гибкость. Отмеченная особенность индуктивных вероятностей побудила некоторых исследователей, склонных к эмпиризму и позитивизму, отвергнуть их как неверифицируемые в опыте конструкты и тем самым бесполезные для методологии научного познания. Отношение к индуктивным вероятностям стало меняться лишь после того, как в 1937 г. де Финетти, обосновывая эмпирическую применимость субъективной интерпретации вероятностей, доказал так называемую теорему репрезентации. Согласной этой теореме в том случае, когда устойчивое значение частоты рассматриваемого события неизвестно, но его требуется познать из опыта, необходимо допустить множество альрнатив-

ных гипотез и некоторое ненулевое распределение априорных вероятностей. Так как субъективная интерпретация вероятностей составляет базис индуктивной концепции вероятностей, есть смысл объяснить ее основные положения.

Субъективная интерпретация вероятностей возникла в 20-30-е годы нашего столетия. Но практическое применение и широкое признание она получила позже, когда Б. де Финетти, Л. Сэвидж[1], другие математики и статистики в середине 50-х годов осуществили синтез этой интерпретации с теорией статистических решений, получивший название байесовской теории статистических решений, или просто байесовской статистики.

Независимо от мотивов создателей субъективной интерпретации вероятностей байесовская статистика применима в самых различных областях человеческой жизнедеятельности (экономика, управление, медицина, педагогика и т. п.), в которых без учета и анализа субъективной информации нельзя гарантировать оптимальность принимаемых решений.

Исходное понятие субъективной интерпретации вероятностей — понятие субъективной вероятности. Неформально субъективная вероятность — это степень личной уверенности индивида в наступлении какого-либо события. Как измерять степень личной уверенности, или субъективную вероятность?

Для де Финетти вероятность, приписываемая субъектом некоторому событию, всегда «обнаруживается с помощью тех условий, при которых он мог бы заключить пари на это событие»[2]. Отсюда следует, что субъективная вероятность события представляет вероятность, определяемую в терминах шансов, или ставочных коэффициентов. Связь между шансами и субъективной вероятностью поясняют следующие равенства:

Главным условием для заключения пари и определения субъективных вероятностей событий является, согласно де Финетти, их данность в личном опыте индивида. На события, о которых ничего не известно из такого опыта, пари заключать бессмысленно вследствие их «операциональной» неразрешимости. Под этим предлогом де Финетти отказывается обсуждать вероятности гипотез, а также неизвестные вероятности.

Несмотря на эти ортодоксально позитивистские ограничения, де Финетти стремится доказать универсальный характер своей теории, ее полную совместимость со всеми фундаментальными вероятностными результатами.

Первый шаг доказательства сводится к наложению на субъективные вероятности требования когерентности, или непротиворечивости. Это означает: если некоторый индивид верит с субъективной вероятностью 0,8, что событие Е наступит, то он обязан верить с субъективной вероятностью 0,2, что Е

не наступит (наступит событие Е). В терминах шансов эквивалентно получаем, что индивид, заключивший пари с шансами 8 к 2 в пользу Е, обязан с такой же степенью готовности заключить пари с шансами 2 против 8, что Е не наступит.

Из сказанного следует, что необходимым и достаточным условием когерентности является требование

эквивалентное

События Е и Е несовместимы и образуют полный класс (группу событий, сумма которых является достоверным событием). Следовательно, требование когерентности равносильно очевидному требованию, чтобы вероятность суммы элементарных событий (в данном случае Ей Е) была равна 1. Последнее условие в исчислении вероятностей задается аксиоматически384. В терминологии шансов требование когерентности эквивалентно исключению заведомо проигрышных или выигрышных пари, т. е. таких пари, общий выигрыш которых меньше или больше 0.

Благодаря требованию когерентности теория субъективных вероятностей превращается в особую интерпретацию обычного исчисления вероятностей, в сферу которого попадает такая, казалось бы, недоступная для строгого анализа область, как субъективные мнения, оценки, суждения.

Однако понятия когерентности еще недостаточно для объяснения связи субъективных вероятностей с наблюдаемыми частотами событий. Требование когерентности означает, что для непротиворечивости субъективных вероятностных оценок необходима их совместимость с аксиомами исчисления вероятностей. Но это требование бессильно, когда необходимо выбрать среди двух и более когерентных субъективных оценок одну, эмпирически наиболее адекватную, поскольку вероятность любого единичного события не определяется однозначно с помощью аксиом исчисления вероятностей. В принципе можно построить бесконечное множество когерентных моделей реализации такого события.

Между тем значение проблемы связи субъективных вероятностей и частот является чрезвычайно важным. Без ее положительного решения теория субъективных вероятностей остается без эмпирического оправдания. Кроме того, вся трудность решения этой проблемы для де Финетти заключалась в том, что, отрицая существование объективных и неизвестных вероятностей, он должен сформулировать его в терминах только наблюдаемых частот и их субъективных вероятностей.

Однако де Финетти находит решение данной проблемы и тем самым делает второй шаг в доказательстве универсального характера субъективной интерпретации вероятностей. Суть этого решения состоит в том, что «неясное и неудовлетворительное определение “независимых событий с фиксированной, но неизвестной вероятностью” должно быть заменено понятием “эквивалентные события”»[3] [4]. Требования эквивалентности достаточно, чтобы объяснить, почему достаточно «богатый опыт всегда заставляет нас считать вероятные будущие частоты или распределения близкими к тем, которые мы уже наблюдали»[4].

Решение, найденное де Финетти, получило высокую оценку. Так, редакторы сборника «Исследования по субъективной вероятности», в котором перепечатана основная работа де Финетти, отмечают, что «до тех пор, пока в 1931 г. де Финетти не ввел... это понятие (эквивалентных событий, случайных величин.— В. С), теория субъективных вероятностей в большой степени оставалась философским курьезом... Но с введением понятия “эквивалентность”, как оно теперь известно, был открыт способ, связывающий понятие субъективной вероятности с классическими процедурами статистического вывода»[6]. Содержание понятия эквивалентности легче понять, если сравнить его с понятием независимости.

Пусть дана последовательность из п бросаний монеты с постоянной вероятностью х выпадения герба. Назовем все элементарные результаты, представляющие одно и то же значение относительно частоты выпадения герба 0/п, 1 In, 2In, ..., п/п, симметричными.

Условия независимости и эквивалентности требуют, чтобы все симметричные результаты имели равные элементарные вероятности. Но в отличие от независимости для эквивалентности не требуется, чтобы каждая элементарная вероятность представляла результат перемножения вероятностей выпадения герба и цифры. Следовательно, эквивалентность является более слабым условием, чем независимость.

Формально указанное различие можно определить так. Последовательность из п бросаний монеты является независимой, если и только если вероятность любого из 2" элементарных результатов зависит от чисел х, т, п и вычисляется согласно

где (1-х) —вероятность выпадения цифры; т — число выпадений герба

(т = 0, 1, 2, ..., п).

Последовательность из п бросаний монеты является эквивалентной, если и только если вероятность любого из 2" элементарных результатов зависит только от чисел т, п и вычисляется как взвешенное среднее всех допустимых значений х с априорными вероятностями в качестве весов, т. е. представляет смесь вероятностей (5)

где P(Hi) —априорная вероятность й гипотезы о значении х.

В непрерывном случае вместо (6) имеем

где М функция распределения, определенная на множестве действительных чисел из интервала между 0 и 1 включительно.

Таким образом, отношение между независимостью и эквивалентностью в принципе сводится к следующему. Когда вероятность выпадения герба известна, то последовательность бросаний монеты независима. Если же вероятность выпадения герба не известна, но имеется конечное или бесконечное множество допущений о ее возможных значениях, то последовательность бросаний монеты эквивалентна. Относительно каждого отдельного допущения последовательность с постоянной вероятностью выпадения герба, указываемой данным допущением, независима. Смесь, или дизъюнкция всех допущений, также представляет независимую последовательность, но уже с неизвестным значением вероятности выпадения герба. Значит, эквивалентность как смесь независимых последовательностей является не чем иным, как независимой последовательностью с неизвестным значением вероятности выпадения герба.

Рассмотрим пример. Пусть п = 3, Г — выпадение герба, Ц — цифры. Случай независимости генерируется допущением х = Уг, а эквивалентности — двумя равновероятными допущениями: х = Уг, либо х = 1. Результаты вычислений приведены в табл. 36.

Таблица 36

Возможные

результаты

Относительная частота герба

Случай независимости

Случай эквивалентности

Элементарна*

вероятность

I Вероятность частоты

Элементарна*

вероятность

* Вероятность частоты

ГГГ

3/3

1/8

1/8

9/16

9/16

ГГЦ

2/3

1/8

1/16

ГЦГ

2/3

1/8

3/8

1/16

3/16

гцц

1/3

1/8

1/16

ЦГГ

2/3

1/8

1/16

ЦГЦ

1/3

1/8

3/8

1/16

3/16

ЦЦГ

1/3

1/8

1/16

ццц

0/3

1/8

1/8

1/16

1/16

Из табл. 36 видно, что независимость влечет эквивалентность, но обратное неверно. В обоих случаях элементарные вероятности симметричных результатов одинаковы, но их конкретные значения различны, потому что различен процесс их порождения. В случае независимости элементарная вероятность результата ГГГ вычисляется согласно (5) и равна х3 = (1/2) -1/8. В случае эквивалентности элементарная вероятность ГГГ вычисляется уже согласно (6) и представляет взвешенное среднее допущений х= 1/2 и х= 1 с равными априорными вероятностями. При первом допущении последовательность из трех бросаний монеты независима с постоянной вероятностью выпадения герба х = 1/2. При втором — эта последовательность независима с постоянной вероятностью выпадения герба х = 1. Смесь этих допущений делает последовательность эквивалентной, т. е. независимой, но уже с неизвестным значением вероятности выпадения герба.

То, что смесь независимых последовательностей влечет эквивалентность, очевидно. В 1937 г. де Финетти доказал, что эквивалентность влечет смесь независимых последовательностей [7]. Объединение этих результатов получило название теоремы репрезентации:

Распределение вероятностей для некоторой бесконечной последовательности случайных величин эквивалентно тогда и только тогда, когда эта последовательность представляет смесь независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Название теоремы связано с тем обстоятельством, что согласно ее утверждению вероятность эквивалентных случайных величин представима посредством вероятностей независимых и одинаково распределенных случайных величин.

Доказательство теоремы репрезентации позволяет, согласно де Финетти, отказаться от использования в науке понятия объективной вероятности, а также от гипотез об этих вероятностях.

Допустим, требуется оценить неизвестную вероятность выпадения герба некоторой монеты. Истинное значение этой вероятности неизвестно, но, являясь объективным свойством данной монеты, оно существует и может быть оценено с любой степенью точности в процессе многократного подбрасывания.

Однако де Финетти отклоняет такое объяснение. Любая вероятность, с его точки зрения, это только оценка знания индивида, степени его уверенности, но не свойство объективного мира. Поэтому для де Финетти неизвестных вероятностей не существует и вместо них он использует эквивалентные распределения вероятностей наблюдаемых частот. Например, вместо неизвестной вероятности выпадения герба х де Финетти говорит о функции распределения М [см. (7)], которая для него не просто абстрактная вероятностная мера, а субъективная вероятность распределения наблюдаемой частоты выпадения ;герба.

При неограниченном увеличении числа бросаний согласно закону больших чисел функция распределения М достигает некоторой предельной формы и изменяется незначительно при дальнейшем увеличении числа испытаний. Отсюда следует, что вероятность Р(т/п х), с которой наблюдаемая частота т/п выпадения герба меньше или равна вероятности выпадения герба х, также не зависит сколь-нибудь значительно от п. Использование предела функции распределения в качестве когерентной субъективной вероятности, показывает де Финетти, позволяет с большой точностью предсказывать устойчивое значение наблюдаемой в опыте частоты. Иными словами, что при п наши теоретические предположения «стягиваются» к значению т/п, т.е. что т/п предел замещения любых априорных оценок апостериорными, какими бы неудачными ни были первые.

На основании этих фактов, по мнению де Финетти, можно утверждать необходимость и достаточность эквивалентности не только для познания устойчивого значения относительной частоты какого-либо события без постулирования существования его неизвестной вероятности, но и для обоснования универсального характера понятия субъективной вероятности, обеспечивающего все без исключения потребности науки.

Являясь самым значительным результатом субъективной интерпретации вероятностей, теорема репрезентации де Финетти не могла, конечно, остаться без анализа и оценки со стороны исследователей, придерживающихся других интерпретаций вероятности. Ее обсуждение выросло вскоре до обсуждения методологических предпосылок и возможностей теории субъективных вероятностей в научном познании в целом.

Сам де Финетти видит основное значение теоремы репрезентации в обосновании фундаментального характера субъективных вероятностей в науке.

Концепция субъективных вероятностей, как одна из возможных интерпретаций исчисления вероятностей, обладает, по его мнению, двумя важными достоинствами. В терминах этой концепции впервые получает экспериментальное, или операциональное, определение понятие вероятности и впервые доказывается его субъективная природа. Частотная интерпретация, считает де Финетти, не предлагает первого и полностью исключает второе. Даже если принять определение вероятности, основанное на пределе частоты, пишет он, «то нельзя будет применить исчисление вероятностей для вычисления конкретных значений пределов частот; объектом применения этого исчисления всегда будет вычисление большей или меньшей вероятности реализации конкретных фактов, более или менее сложных, но верифицируемых в конечное время»[8]. Частотная интерпретация, согласно де Финетти, «рассматривает субъективный элемент, присущий обычному понятию вероятности, как опасность, от которой, чтобы считать понятие вероятности действительно научным понятием, необходимо избавиться»[9]. С другой стороны, субъективная интерпретация предлагает «исключительно безупречное с операциональной точки зрения» определение вероятности в терминах «прямого экспериментального измерения степени сомнения относительно реализации данного события»[10]. Согласно этой интерпретации «субъективные элементы существенны и не могут быть исключены без того, чтобы лишить понятие вероятности и теорию вероятностей всех прав на существование»[9].

Значение теоремы репрезентации де Финетти для теории индукции было детально проанализировано Я. Хинтиккой[12].

Свой анализ он начинает с проблемы неизвестных вероятностей. В отличие от де Финетти Хинтикка утверждает, что допущение неизвестных вероятностей не противоречит основным допущениям концепции субъективных вероятностей. Неизвестные вероятности можно интерпретировать как случайные переменные и делать предположения не только об их конкретных значениях, но и о вероятностях самих этих значений. Вероятности неизвестных вероятностей — априорные вероятности. Следовательно, если задана априорная вероятностная мера М [см. (7)], то этого вполне достаточно для определения субъективной и эквивалентной меры Р(Е„) элементарного результата Е„. Именно поэтому, считает Хинтикка, «сторонник концепции субъективных вероятностей может свободно говорить о неизвестных вероятностях и распределениях вероятностей (априорных.— В. С.) над ними»[13].

Если знания априорной меры достаточно для вычисления субъективной вероятности Р{Е„) события Е„ и тем самым вероятности Р(В/Еп) любого сингулярного события В, то следует, что априорные вероятности неизвестных вероятностей и вероятности сингулярных предсказаний взаимно определимы в терминах друг друга. Иначе, «если мы знаем как заключать пари на произвольного индивида, не входящего в выборку, то мы знаем как заключать пари на неизвестные вероятности».21

Основная причина отрицания де Финетти неизвестных вероятностей, согласно Хинтикке, не в особенностях измерения субъективных вероятностей в терминах ставочных коэффициентов, а в позитивизме этого исследователя: отстаивание требования заключения пари исключительно на наблюдаемые события. В соответствии с этим требованием де Финетти последовательно отрицает возможность образования субъективных вероятностей на ненаблюдаемые непосредственно события — пределы бесконечных последовательностей частот, универсальные законы природы, гипотезы и т. п. Однако, по мнению Хинтикки, «не существует ни одного закона, природного, юридического или морального, запрещающего заключать подобные пари»[14].

Хинтикка считает, что де Финетти пренебрег центральной проблемой индуктивного познания — объяснением взаимосвязи субъективных и объективных вероятностей, и игнорировал тот факт, что субъективные вероятности сингулярных предсказаний, конвергирующие в процессе испытаний к устойчивому значению относительной частоты, должны рассматриваться как аппроксимации объективной вероятности. Субъективные вероятности не лишены объективного содержания, являются более или менее точными оценками устойчивых значений частот. Именно поэтому, делает вывод Хинтикка, заключение пари на объективную вероятность законно как для субъективистов, так и объективистов[15] [16]. Для первых тем, что известны условия, при которых субъективные вероятности конвергируют к устойчивому значению относительной частоты, для вторых — что наличие указанной конвергенции доказывает асимптотически объективный характер субъективных вероятностей. Фактически, результаты де Финетти, подводит итог Хинтикка, представляют проникновение в сущность индуктивного познания «не столько для сторонника субъективных вероятностей, сколько для сторонника байесовского

597

анализа» .

Заслуживает особого внимания утверждение Хинтикки о наличии глубокой связи между теоремой репрезентации де Финетти и байесовским подходом к индукции. Истинность этого утверждения зависит от того, можно ли теорему репрезентации распространить на индуктивные ситуации в собственном смысле слова, т. е. на ситуации, связанные с изучением подтверждения, подкрепления, принятия научных законов и теорий. Как показала дискуссия, для этого в первую очередь необходимо обосновать возможность распространения субъективной интерпретации вероятностей на логикометодологические контексты и превращения ее по сути дела в индуктивную интерпретацию вероятностей.

Для де Финетти субъективная вероятность выступает мерой индивидуальной уверенности наступления какого-либо единичного и обязательно наблюдаемого в опыте события. Позитивистская основа такого определения очевидна. Следовательно, без такой основы можно говорить о субъективных вероятностях как наблюдаемых, так и ненаблюдаемых событий, о субъективных вероятностях научных гипотез любой степени общности. Соответственно источником субъективных вероятностей следует считать не только чувственно наблюдаемые события, но и теоретические, методологические, мировоззренческие данные и допущения, т. е. научный опыт в полном объеме. Кроме того, поскольку субъективные вероятности определяются в некотором языке, то они также зависят от его логических свойств.

Учитывая сказанное, в логико-методологических контекстах более правильно говорить не о субъективных, а об индуктивных вероятностях. Под индуктивной вероятностью следует понимать вероятностную меру, заданную на определенном множестве научно значимых предложений — гипотез, законов, фактов, теорий, методологических допущений и т. п. С помощью такой меры измеряется степень индуктивной зависимости, или релевантности, одних научных предложений от других.

В отличие от частотной индуктивная интерпретация не исключает логическую и концептуальную составляющие. В отличие от логической и субъективной (согласно де Финетти) индуктивная интерпретация не исчерпывается только логической или только психологической составляющей, но допускает любые факторы, которые могут повлиять на процесс индуктивного познания. Индуктивную интерпретацию вероятностей следует рассматривать как важное обобщение рационального содержания логической, частотной и субъективной интерпретаций, как закономерный результат современной истории индукции.

Основным понятием теоремы репрезентации де Финетти после понятия субъективной вероятности является понятие эквивалентности. Чтобы считать эту теорему основанием байесовской концепции индукции, необходимо показать, что условие эквивалентности имеет не только статистический, но и индуктивный смысл, т. е. выполняется как для статистических, так и для универсальных гипотез.

Условие эквивалентности постулирует конечное или бесконечное множество неизвестных объективных вероятностей в случае, когда истинная вероятность не известна. Ничто, однако, не мешает рассматривать это множество как множество взаимно исключающих и совместно исчерпывающих базисное знание гипотез об истинном, но неизвестном значении объективной вероятности. Вполне допустимо, что условие эквивалентности в сущности равносильно постулированию определенного множества альтернативных гипотез, заданию с его помощью некоторой ситуации индуктивной неопределенности. В таком смысле требование эквивалентности одинаково распространяется на статистические и универсальные гипотезы.

  • [1] Savage L. The Foundations of Statistics. New York. 1954.
  • [2] Finetti B. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 101.
  • [3] См.: Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М. 1974. С. 10-11.
  • [4] Finetti В. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 142.
  • [5] Finetti В. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 142.
  • [6] KyburgH. E, Smokier H. E. Introduction//Studies in Subjective Probability. P. 12-13.
  • [7] Finetti В. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 130-140.
  • [8] Finetti В. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 149-150.
  • [9] Finetti B. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 149.
  • [10] Finetti B. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 150.
  • [11] Finetti B. de. Foresight: Its Logical Laws, its Subjective Sources. P. 149.
  • [12] Hintikka J. Unknown Probabilities, Bayesianism and de Finetti's Representation Theorem // Boston Studies in the Philosophy of Science. Dordrecht, 1971. Vol. 8. P. 325-341.
  • [13] Hintikka J. Unknown Probabilities, Bayesianism and de Finetti's Representation Theorem P. 333.
  • [14] Hintikka J. Unknown Probabilities, Bayesianism and de Finetti's Representation Theorem P. 334.
  • [15] Hintikka J. Unknown Probabilities, Bayesianism and de Finetti's Representation Theorem P. 337.
  • [16] Hintikka J. Unknown Probabilities, Bayesianism and de Finetti's Representation Theorem P. 338.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >