Метод решения общей индуктивной проблемы: концепция обратного применения теории вероятностей

Теория вероятностей допускает прямое и обратное применение. Прямое применение вероятности основывается на следующем методологическом принципе: если известна причина (устойчивое значение относительной частоты), всегда можно узнать ее следствие — предсказываемую вероятность ее наблюдаемого проявления, т. е. фиксируемое в опыте значение относительной частоты. Закон больших чисел гарантирует, что по мере увеличения числа испытаний наблюдаемая частота стремится к своему устойчивому значению, т. е. вероятности.

Обратное применение вероятности основывается на принципе, обратном прямому: если известны следствия, можно выдвинуть предположения об их причинах, вычислить их правдоподобия и сделать на их основе точные предсказания. «Мы должны всегда применять обратный метод вероятностей, так чтобы принимать в соображение всякое добавочное сведение. Когда мы бросаем монету в первый раз, то мы совсем не знаем, как она упадет, орлом или решеткой и потому мы должны предполагать вероятность каждого события как 1/2. Но если она в первый раз упадет орлом, то мы имеем уже весьма слабое опытное доказательство в пользу тенденции падать орлом. Шанс двух орлов теперь несколько больше чем на 1/4, против того как он казался в первый раз и по мере того, как мы продолжаем бросать монету раз за разом, вероятность появления орла постоянно меняется в легкой степени, согласно ха-

382

рактеру нашего предшествующего опыта» .

Технику обратного применения теории вероятностей Джевонс заимствует у П. Лапласа и определяет ее следующим образом: «Если событие может быть произведено какою-нибудь из известного числа различных причин, которые одинаково вероятны a priori, то вероятности существования этих причин, выводимые из события, пропорциональны вероятностям появления события, как происходящего от этих причин. Другими словами, наиболее вероятная причина совершившегося события есть та, которая всего вероятнее повела бы к событию, предполагая, что она существует; но все другие возможные причины также должны быть приняты в соображение с вероятностями, пропорциональными вероятности того, что событие совершилось бы, если бы причина существовала»[1].

Поясним основные понятия определения Джевонса. Пусть Е обозначает наблюдаемое событие, Я гипотезу о его предполагаемой причине. Тогда символ Р(Н) принято называть априорной (до проведения опыта) вероятностью гипотезы Я. Все факторы, предшествующие опыту, определяют этот вид вероятности. Символом Р(Н/Е) принято обозначать апостериорную (после проведения опыта) вероятность гипотезы Я. Она зависит исключительно от результатов проведенного опыта. Правдоподобием гипотезы Р(Е/Н) называется вероятность, которую она сообщает наблюдаемому событию при допущении своей истинности. Правдоподобие гипотез указывает на существенную особенность познания: вероятности любых событий всегда обусловлены принятием определенных причинных допущений.

Допустим, событие Е может быть вызвано двумя альтернативными причинами Н и Яг. Предположим, априорные вероятности причин равны: Р(Н) = Р(Н2) и Р(Н) + Р(Н2) = 1. Определение Джевонса говорит о том, что при равных априорных вероятностях та гипотеза наиболее вероятна a posteriori, которая обладает наибольшим правдоподобием. Допустим для примера, что правдоподобие гипотезы Hi больше правдоподобия гипотезы Н2. Р(Е!Н) > Р(Е/Н2). Тогда согласно определению Джевонса должно быть истинно: Р(Н/Е) > Р(Н2/Е).

Определение Джевонса существенным образом опирается на условие равной априорной вероятности гипотез о причинах, которое носит частный характер, так как большей частью эти вероятности не равны. Поэтому есть смысл обобщить данное определение следующим образом[2]:

Апостериорная вероятность причины Р(Н1Е) пропорциональна произведению априорной вероятности этой причины Р(Н), умноженной на ее правдоподобие Р(Е/Н), и обратно пропорциональна вероятности ее предполагаемого следствия Р(Е):

Рассмотрим пример с вытаскиванием шаров из двух одинаковых по внешнему виду урн с бесконечным числом белых и черных шаров. Так как урны неразличимы, априорная вероятность выбора любой из них одинакова и равна 1/2. В одной урне вероятность (относительная частота) вытаскивания белых шаров равна 1/2, в другой 3/4. Из случайно выбранной урны вытащен белый шар. Пусть Е обозначает данное событие. Вероятность Р(Е) произвольного наблюдаемого события Е может быть представлена виде суммы правдоподобий: Р(Е) = Р(Н)Р(Е/Н) + Р( Н)Р(Е/ Н), где Н возможная причина события Е, Н логическая сумма всех ее альтернатив. В случае равных априорных вероятностей Р(Е) = Р(Е/РГ) + Р(Е/ Н).

Шар мог быть вытащен из любой урны, поэтому возможны две причины этого события: Н = белый шар вытащен из урны с относительной частотой белых шаров Р(Е) = 1/2; Н2 = белый шар вытащен из урны с относительной частотой белых шаров Р2(Е) = 3/4.

Вероятности выбора урны одинаковы. Следовательно, априорные вероятности причин равны: Р{Н) = Р(Н2) = 1/2.

Правдоподобия причин равны: Р(Е/Н{) = 1/2, Р(Е/Н2) = 3/4. Так как правдоподобие второй гипотезы больше правдоподобия первой гипотезы, согласно определению Джевонса апостериорная вероятность второй гипотезы также должна быть больше апостериорной вероятности первой. Чтобы убедиться в этом, продолжим вычисления.

Вероятность события Е равна сумме правдоподобий гипотез, умноженных на соответствующие априорные вероятности гипотез: Р(Е) = Р(Н) Р(Е/Н) + Р(Н2) Р(Е/Н2) = 1/2 1/2 + 1/2 3/4 = 5/8.

Согласно определению (*), апостериорная вероятность Н в качестве причины события Е равна

и апостериорная вероятность Н2 в качестве причины события Е равна

Действительно, апостериорная вероятность второй гипотезы оказалась больше апостериорной вероятности первой. Сумма апостериорных вероятностей обеих причин Н] и Н равна 2/5 + 3/5 = 1, что говорит о том, одна и только одна из них действующая. Так как вероятность причины Н2 больше вероятности причины Н, вторая причина более правдоподобна в качестве действительной: с шансами 3 к 2 белый шар был вытащен из урны с относительной частотой белых шаров, равной 3/4.

Перевес незначительный, но следует учитывать, что был вытащен всего один шар и что индукция вследствие конечности опыта не может привести к достоверному результату. Относительно же происшедшего результата Е предпочтение причины Н2 абсолютно рационально.

Приведенные вычисления характеризуют индуктивную часть обратного метода: на основании правдоподобий гипотез о возможных причинах события Е вычислены их апостериорные вероятности и обосновано предпочтение одной из них. Но существует и дедуктивная часть этого метода. Она связана с предсказанием нового наблюдаемого события вытаскивания второго белого шара на основании полученной информации о причинах.

Пусть О обозначает второе вытаскивание белого шара. Дедукция предсказания события О сводится к вычислению вероятности Р(01Е), которая равна:

Вероятность вытаскивания белого шара первый раз равна 5/8 = 0,63. Вероятность вытаскивания белого шара второй раз при условии, что первый вытащенный шар был белым, равна 13/20 = 0,65. Согласно сделанному предсказанию вероятность вытащить белый шар второй раз в сравнении с вероятностью вытащить такой шар первый раз увеличилась. Это увеличение стало результатом замены априорных вероятностей гипотез на более адекватные апостериорные вероятности. Правдоподобия гипотез при этом остались теми же самыми. Нетрудно предположить, что подтверждение предсказания О увеличит апостериорную вероятность гипотезы Н2 и уменьшит апостериорную вероятность ее соперницы Н, что, в свою очередь, позволит сделать новое предсказание о вероятности вытаскивания нового белого шара, которая будет выше, чем предшествующие. Каков конечный результат обратного применения теории вероятностей? Если указанные тенденции сохранятся, тогда с достоверностью следует ожидать, что

  • 1) Апостериорная вероятность Н будет стремиться к 0.
  • 2) Апостериорная вероятность Н2 будет стремиться к 1.
  • 3) Вероятность предсказания, что будет вытащен белый шар, будет стремиться к предельному значению 3/4 = 0,75.

В переводе на обычный язык, данные результаты означают, что при допущении сколь угодно долгого процесса вытаскивания шаров гипотеза об истинной причине наблюдаемого явления получит максимальное подтверждение, ее альтернативы опровержение, дедуктивные предсказания будут точно соответствовать устойчивым значениям относительной частоты наблюдаемого явления.

  • [1] Джевонс Стенли. Указ. соч. С. 232.
  • [2] Это обобщение известно под названием теоремы Байеса. Томас Байес английский монах и математик XVIII века, сформулировавший и доказавший данную теорему.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >