Сепарабельно квазимонотонные функции в сильном смысле

Особый интерес представляет множество функций f'(xjXj,....,хп), i = ОД,...,т, сепарабельные свойства каждой из которых по всем переменным (2.5)-(2.7) не зависят от значений дру-гих переменных. По каждой из переменных такая функция является либо невозрастающей, либо неубывающей. Обозначим такие функции соответственно S~QMF(j) и S+QMF(j). Назовём такие функции сепарабельно квазимонотонными функциями в сильном смысле и обозначим их SQMF.

Примерами таких функций являются линейные функции, функции произведения переменных при условии, что каждая из переменных не может принимать отрицательных значений, и многие другие функции, которые будут рассмотрены ниже.

Отметим, что различные специальные суперпозициии конечного числа данного класса простейших функций могут также обладать этими же свойствами (квазисепарабельные функции более высокого порядка), на основе которых, в свою очередь, могут быть построены функции более высоких порядков, и т.д. Например, для фукций

суперпозиции функций

будут также квазисепарабельными функциями.

Обозначим

J1' и J'+ - соответственно подмножества переменных, по которым функция является S~QMF(j) и

S+QMF{j),

уЧ-У) _ нек0Т0рЫй вектор значения всех переменных хк е Нs, кроме переменной Xj g Hs,t.q. = {х* g Hs I к = 1 ^ j}.

Для любых значений векторов У5(-у) е Н s и для переменной х. е Нs справедливы выражения

Т. е. минимальное и максимальное значение таких функций по каждой из переменных Xj при фиксации остальных переменных в пределах параллелепипеда Н s достигается на одном из концов отрезка ее допу-стимых значений Н js и не зависит от значений других переменных. Следовательно, для нахождения экстремальных значений сепарабально квазимонотонных функций по всем переменным на п- мерном параллелепипеде требуется всего одно вычисление функции.

Обозначим

a xlj~ xV+, j = - соответственно значения переменных,

при которых достигается f‘~ (х) и f‘,+ (x).

Заметим, что на класс SQMF и QMF функций не накладывается никаких других огра-ничений: они могут быть невыпуклыми, не- диффе-ренцируемыми, разрывными, целочисленными как по отдельным груп-пам, так и по всем переменным, не заданными аналитически, а вычи-сляться в результате решения некоторых вспомогательных задач или цифрового моделирования.

Примеры сепарабельно квазимонотонных функций в сильном смысле

Класс квазимонотонных функций достаточно широк, и в данном разделе мы ограничимся только несколькими примерами таких функ-ций:

2.2.1. Линейные функции, содержащие как целочисленные, так и дискретные переменные

f(x) = y*fg,.xf 0, (2.11) где а01,...,ап - любые действительные

j=1

числа, а X- могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

2.2.2. Мультипликативные функции вида

где b , и показатели степени а ?, / = 1 ,...,и,- любые как положительные, так и отрицательные числа, а все х. > 1.

Частными случаями функций (2.9) являются функции

где, в отличие от (2.9), Xj > 0, / = 1,...,п, а также

где область изменения каждой из переменных должна быть ограничена одним из пары условий

2.2.3. Аддитивно-мультипликативные функции вида

где bn i = l,...,m, - любые действительные (но либо все положительные, либо все отри-цательные) числа, а на показатели степени и значения Х-, /=1,...,л, накладывается одно из 4 ниже следующих пары условий:

  • а) либо (Ху>2, i = 1,...,га, и четное целое число, a Xj может при-нимать как положительные, так и отрицательные значения,
  • в) либо, если хотя бы один из показателей степени 0 < СС-- < 1,

i = то Xj > О,

c) либо CCjj > 1, i = l,...,m, и может быть как четное, так и нечетное целое число, а также неправильная дробь, но Xj > 1,

d) atj <0, / = 1,...,га,и >0.

2.2.4. Степенные и логарифмические функции вида где С произвольное число (в частности, С = е),

где b произвольное число (в частности, b = е, b = 10).

В (2.17), (2.18) на показатели степени и переменные х{ наложены ограничения аналогичные ограничениям на функции вида (2.12).

2.2.5. Фунции вида

где г - любое целое положительное число, a f (х) - любая из функций, описанная в п.п.2.2.1- 2.2.4, и если показатель степени величина отрицательная, то должно выполняться условие f (х) Ф 0.

где ур < 1 - показатель степени, такой, г > 0, р > 0 - целые числа, а

f(x) > 0 - любая из функций, описанная в п.п.2.2.1- 2.2.4.

Перечень таких примеров может быть продолжен. Однако даже из приведенных выше примеров становиться ясно, что затрагиваемые проблемы имеют достаточно много практических и теоретических приложений в решении непрерывных, целочисленных и частично целочисленных многоэкстремальных задач в условиях простых (на частично целочисленном паралеллепипеде) и фунциональных ограничений.

Рассматриваемые в работе сепарабельно квазимонотонные функции в сильном смысле очень харатерны для большинства экономических и технических приложений, связанных с решением статических и дина-мических задач оптимизации прибыли, объёмов или затрат производ-ства. В таких задачах, как правило, из содержательной постановки за-дачи очень легко выделить группы переменных, которые положитель-но влияют на одни показатели эффективности принимаемых решений и отрицательно на другие. Аналогично при выборе наиболее эффектив-ных режимов работы технических установок часто известен характер влияния каждой из управляющих переменных на определенные каче-ственные показатели выходного продукта и экономические показатели производства. И хотя в ряде случаев функции ограничений и крите-рий оптимальности в таких задачах не могут быть выражены аналити-чески, а вычисляются для каждого конкретного значения вектора опти-мизируемых параметров в результате решения вспомогательных задач или цифрового моделирования системы, наличие и учет таких свойств очень помогает в решении этих задач.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >