ВЫВОД УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ—СТОКСА НА ОСНОВЕ СОЧЕТАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ «В НАПРЯЖЕНИЯХ» И УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПОТОКА

Данный параграф предполагает владение студентами векторным и тензорным исчислениями.

Запишем уравнения (10.7) в более компактной форме: где

Напомним некоторые определения и понятия.

Тензор — это математический объект с заданными свойствами относительно либо преобразования координат, либо выражения линейной вектор-функции.

Тензор второго ранга, или физическая объективная величина — это совокупность девяти величин (компонент вектора), преобразующихся при переходе из одной системы координат в другую.

Тензор первого ранга — это вектор, поле которого определяется тремя числовыми функциями.

Тензор нулевого ранга — это скаляр, поле которого определяется одной числовой функцией.

Дивергенция скорости — это относительное изменение элементарного объема жидкости в данной точке поля скоростей.

Дивергенция (расходимость) А векторного поля, описываемого как

записывается в виде

В общем случае поля, то есть п-мерного пространства п _

A = ^Pi(x_t, ..., x_n)ei, дивергенция векторного поля равна:

i=l

По аналогии с выражением (10.16) можно записать, что

Введем теперь более упрощенное обозначение — вектор-оператор «набла» (V), или оператор Гамильтона:

Тогда выражение (10.17) запишется как

Оператор Гамильтона позволяет упростить скалярные, векторные и тензорные операции, используя правила векторной алгебры.

Запишем уравнение (10.7) в прямоугольной (декартовой) системе координат в развернутом виде:

где = U; U₂ = V; U₃ = W; дх_г = дх; дх₂ = ду; дх₃ = дг.

Применяем реологическое уравнение Ньютона, или обобщенный закон Ньютона для несжимаемой вязкой жидкости, в виде:

или в обобщенной форме

где а и b — скаляры, причем а не зависит от Р и S, а b зависит от них линейно; Й — тензор скоростей деформаций (S — объем деформации поля U), причем диагональные компоненты S_u равны скоростям ё^ относительных удлинений координатных жидких отрезков Щ (которые характеризуют элементарный объем жидкости), то есть

S = e_t; P — тензор напряжений; E — тензорная единица, учитывающая влияние давления на элементарный объем жидкости,

Можем считать, что уравнение (10.21) учитывает не только относительную скорость слоев при определении напряжения сдвига, то есть касательных напряжений т, но и влияние давления на этот сдвиг. При этом следует помнить, что S = def U.

Опуская при этом промежуточные выкладки, найдем скорость со относительного объемного расширения среды в данной точке:

Сумма tS_u является первым инвариантом тензора скоростей деформации и в рассматриваемом случае несжимаемой жидкости равна нулю. Учитывая, что обобщенный закон Ньютона свидетельствует о соответствии любого пространственного движения вязкой жидкости закону линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, из независимости скаляра а от компонент тензоров Р и S находим, что а = 2ц.

Обобщая понятие давления, введенного в динамику идеальной жидкости, согласно системе равенств = р₂₂ =

= р₃₃ = -р и учитывая первый инвариант тензора напряжений Р как Р = Рц + Р22 РзЗ’ ^пР^{имем в} качестве простейшего допущения, что в ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в точке среды, представляет давление в этой точке, тогда

Приведенное предположение является дополнительной гипотезой к обобщенному закону Ньютона, но правильность принятой гипотезы подтверждается практикой ее применения в расчетах движений ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости. В результате принимаем условие Ъ = —р и запишем

Формула (10.23) представляет собой реологическое уравнение ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости.

В компонентной (аналитической) форме уравнение (10.23) записывается как

В развернутом виде в прямоугольной (декартовой) системе координат уравнение (10.24) имеет вид:

Подставляя эти выражения в правую часть первого уравнения системы (10.20), получим:

Здесь V² — лапласиан (в данном случае вектора U),

Аналогично можно получить выражения для всех последующих уравнений системы (10.20). После чего, раскрывая производную по времени, например

и присоединяя уравнение несжимаемости, получим следующую систему уравнений Навье—Стокса:

В краткой форме уравнения Навье—Стокса (10.27) записываются как

В векторной форме они имеют вид:

причем должно быть div U = 0; градиент функции grad ср —

Зф*

это векторное поле с проекциями -:

дЪ

Решение уравнений Навье—Стокса в общем виде — весьма сложная задача, поэтому, как правило, решаются усеченные уравнения Навье—Стокса, то есть «плоские» задачи, к которым стремятся свести реальные задачи гидродинамики жидкости.

Контрольные вопросы

• 1. В чем состоит физический смысл уравнений Эйлера в гидростатике и гидродинамике?
• 2. Как выглядит уравнение динамики сплошной среды «в напряжениях»? В чем его физический смысл?
• 3. Что общего и в чем разница при выводе уравнений Навье—Стокса на основе уравнений Эйлера и на основе уравнений динамики сплошной среды «в напряжениях»?