ПРИНЦИП МАКСИМУМА ЭНТРОПИИ В ФИЗИКЕ НОКСОЛОГИИ И ЭКОЛОГИИ. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА

Поиск распределения состояний частиц, приводящих к росту энтропии системы при различных физических ограничениях

Прелюдия

В гл. 2 мы установили, что энтропия закрытых (замкнутых, изолированных) термодинамических систем должна возрастать. На практике важно получить вид распределения состояний частиц, который приводит к максимизации энтропии, так как, задавая такой вид распределения, удается достигать состояния равновесности системы. Это, в свою очередь, обеспечивает наиболее стабильные режимы работы технических систем (каналов связи, средств дистанционного зондирования и т. д.), функционирования живых организмов, популяций, сообществ и экосистем.

Замечено, что часто распределение живых организмов в популяциях таково, что обеспечивает максимизацию энтропии в этих естественных системах. По-видимому, это связано с определенной географической изолированностью данных систем (биотопы, биогеоценозы).

Естественно, это отражается и на ландшафтах, и, соответственно, на аэрокосмических изображениях экосистем. На изображениях, полученных в результате дистанционного зондирования, наблюдаются зоны статистически однородных текстур. Поэтому для статистического описания текстуры таких изображений используются математические модели и принципы максимизации энтропии. Это обеспечивает эффективное обнаружение и сегментацию техногенных объектов на фоне природных подстилающих поверхностей. Такой подход к задачам обработки изображений получил название метода максимальной энтропии.

Основная тема

Очевидно, что для задач оптимизации функционирования геотехнических систем в биосфере анализ и поиск распределений, обеспечивающих максимальную энтропию, представляется крайне важным. Такого рода задачи в термодинамике получили название вариационных задач.

Рассмотрим простейший вид вариационной задачи. Г аз состоит из N частиц, свободно двигающихся в ящике. Для определения пространственного распределения частиц внутри ящика разделим его на п одинаковых ячеек. Обозначим число частиц в к-й ячейке как Щ. Теперь можно задать функцию распределения частиц по ячейкам как Pi = Ni/N, i= 1, 2, 3,..., п.

Фактически распределение вероятностей вычисляется через определение относительной частоты, с которой частица попадает в ячейку. Требуется найти вид распределения частиц, при котором энтропия систем (2.21) и (2.22) экстремальна.

Количественно задача формулируется следующим образом:

Задача поиска экстремума решается методом множителей Лагранжа. Для этого суммируем оба выражения (3.1), умножив дополнительно выражения для суммы вероятностей на произвольный параметр q, называемый множителем Лагранжа:

Затем дифференцируем полученное выражение (3.2) и приравниваем его к нулю. В результате получим следующее уравнение: - 1иР/ - 1 + q = 0.

Данное уравнение имеет решение Pt = exp(g - 1). Отсюда видно, что в этом уравнении индекс для Р можно не писать. Поэтому легко понять, что вероятность является константой. Величину этой константы можно найти, если подставить полученное выражение для вероятности в условие в виде суммы:

Таким образом, мы получили равномерное распределение вероятностей (3.3) для данной задачи, что и подтверждается экспериментом.

Как правило, достигаемый максимум энтропии является условным, ибо всегда есть ограничения, препятствующие росту энтропии. Ограничения зависят от конкретной физики систем. Это могут быть ограничения на энергию, вещество, время, пространство, количество операций. В экологии и техносфере эти ограничения называют ресурсами системы.

Пример 3.1

В качестве примера ограничений могут выступать стенки цилиндра, которые ограничивают возможность расширения газа фиксированным пространством. Другой пример ограничений - конечный запас энергии, который ограничивает среднюю скорость молекул.

Интерлюдия

Рассмотрим еще одну разновидность первой вариационной задачи, где учитываются ограничения, перечисленные в примере 3.1.

Рассмотрим в качестве ограничения конечный запас энергии W(x), который ограничивает средние скорости молекул. Требуется определить распределение частиц, которое приводит к максимизации энтропии системы с ограничениями с(х) на средние скорости частиц:

Введем аналитическое представление ограничений. Пусть c(xi) - ограничение на 1-е состояние, Р(х) - распределение частиц по энергиям. Тогда

Составляем сумму из выражений (3.4)-(3.7), следуя методу множителей Лагранжа, используя два множителя Лагранжа В, q

Дифференцируем выражение (3.8) и приравняем его к нулю:

Решаем полученное уравнение (3.9):

Выделяем один из сомножителей и находим его выражение из условия нормирования ?ехр(-1-q-Вс(х)) = 1;ехр(-1 -д)^ехр(-?ф:)) = 1:

Подставляем выражение (3.11) для сомножителя в (3.10) и получаем классическое распределение Больцмана:

где А - нормировочная постоянная; j - химический потенциал; Z - статистическая сумма.

Ограничение здесь - это ограничение на энергию частиц W(x) = U, отсюда

Распределение Больцмана характеризует число частиц в ячейке с заданной энергией. Как видно из распределения (3.15), чем больше энергия частицы, тем реже она встречается в ячейках.

В более общей форме выражение (3.15) называется в статистической физике распределением Гиббса: P(x) = exp[(F-?/(*))/Г]. Здесь нормировочная постоянная А связывается со свободной энергией F, при этом F = = -T Z,Z= 1 /А.

Таким образом, найдено распределение вероятностей для различных состояний подсистем термодинамической системы. Это распределение иллюстрирует решение традиционной задачи статистической физики.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >