НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ D-РАЗБИЕНИЯ

Для обеспечения синтеза системы необходимо определить величины Ve и Vv (варьируемые параметры), входящие в (15.53). При этом целесообразно воспользоваться методом D-разбиения в плоскости двух варьируемых параметров.

Высокий 6-ой порядок системы вызывает определенные трудности при ее исследовании, в связи с этим целесообразно понизить ее порядок. Понижение порядка системы попробуем осуществить путем отбрасывания членов с производными выше четвертого порядка, произведя корректировку коэффициентов при третьей и четвертой производных. Границу области устойчивости исходной системы 6-го порядка в плоскости варьируемых параметров (кривая 5 на рис. 15.3) можно построить по выражениям:

Исследования показали, что упрощение исходной системы целесообразно проводить из условия обеспечения минимального отклонения границ областей устойчивости исходной и упрощенной системы. Исходя из этого, были выделены точки Д и С (см. рис. 15.3), которые характерны для кривой области устойчивости и определяют пределы изменения варьируемых параметров внутри области устойчивости. Точка С —

пересечение кривой D-разбиения с осью Vv, а точка Д — экстремум этой кривой. Таким образом, для обеспечения идентификации исходной и упрощенной системы необходимо, чтобы граница области устойчивости упрощенной системы проходила вблизи этих точек.

Диаграмма положения ближайших полюсов и нулей системы в плоскости варьируемых параметров

Рис. 15.3. Диаграмма положения ближайших полюсов и нулей системы в плоскости варьируемых параметров:

  • 1 — граница области устойчивости скорректированной системы 4 порядка;
  • 2 — граница области апериодичности; 3 — верхняя граница зоны выбора варьируемых параметров; 4 — граница области устойчивости нескорректированной системы 4 порядка; 5 — граница области устойчивости исходной системы 6 порядка

Решая уравнения Ve = 0, = 0 и пренебрегая малыми коэффициентами при старших производных, можно определить величины wj и wc:

Значения параметров системы, при которых производятся расчеты, приведены в Приложении.

Характеристическое уравнение четвертого порядка имеет вид:

где Л4 и А3 —- скорректированные коэффициенты характеристического уравнения 4 порядка, обеспечивающие близость границ областей устойчивости для упрощенной и исходной систем:

Подставляя значения величин w5hwc. в (15.58), (15.59), получим новые выражения для Л4 и Aj (значения даны в Приложении):

Для исследования системы 4 порядка проанализируем распределение нулей и полюсов системы. Подставим в характеристическое уравнение (15.57) общее выражение для корня р = -а + jw и, отделив вещественную и мнимую часть, получим общее выражение для кривых в плоскости варьируемых параметров:

а при w = 0 из вещественной части получим уравнение семейства кривых, соответствующих одинаковому расстоянию от мнимой оси ближайшего вещественного полюса:

Формулы (15.62), (15.63) позволяют построить семейство кривых в плоскости варьируемых параметров, характеризующих распределение корней (полюсов системы) характеристического уравнения. Рассмотрим некоторые из этих кривых.

Полагая а = 0, получаем из (15.62) параметрическое уравнение границы области устойчивости (кривая 1, см. рис. 15.3):

Границу области устойчивости можно также записать в виде нового уравнения второго порядка, если выразить w2 из (15.64) через Vv и подставить в выражение для Ve:

Таким образом, поскольку граница области устойчивости представляет собой квадратное уравнение, она может быть построена без дополнительных выкладок сразу после получения характеристического уравнения.

Подставив w = 0 в (15.62), получаем в параметрической форме границу области апериодичности (кривая 2, см. рис. 15.3):

Видно, что область апериодичности невелика и находится вблизи начала координат, поэтому выбор варьируемых параметров внутри этой зоны из условия обеспечения высокой статической точности невозможен.

Таким образом, при практически возможных величинах варьируемых параметров в переходном процессе всегда будет иметь место колебательная составляющая. Поэтому целью дальнейших исследований будет нахождение зоны варьируемых параметров, в которой влияние колебательной составляющей на переходный процесс было бы минимально.

Для выполнения этого требования необходимо, чтобы колебательная составляющая процесса затухла раньше, чем апериодическая составляющая, т.е., чтобы вещественная часть пары комплексных корней уравнения (15.57) была больше действительного корня, который должен быть доминирующим. Границу зоны, в которой выполняется указанное требование, можно найти, построив кривые равных расстояний корней от мнимой оси, полагая а = const и изменяя w в формуле (15.62). Получим кривые, соответствующие одинаковому расстоянию ближайших полюсов от мнимой оси, т.е. кривые, на которых расположены комплексные корни с одинаковой вещественной частью (сплошные линии, см. рис. 15.3), индексы на кривых равны значениям а. Изменяя а в (15.63), получим семейство прямых, соответствующих одинаковому расстоянию от мнимой оси ближайшего вещественного полюса (штрих- пунктирные прямые на рис. 15.3). Сплошные линии пересекаются со штрих-пунктирными прямыми с одинаковыми индексами по линии 3 (см. рис. 15.3), на которой все три корня уравнения имеют одинаковые вещественные части. Эта линия и есть искомая граница, выше которой вещественная часть комплексных корней меньше действительного корня, и колебательная составляющая переходного процесса затухает медленнее, чем экспоненциальная составляющая, определяемая действительным корнем, что недопустимо. Таким образом, для уменьшения влияния колебательной составляющей переходного процесса, необходимо выбирать варьируемые параметры в зоне ниже кривой 3, которая является верхней границей этой зоны.

На характер переходного процесса существенное влияние оказывают нули системы, в связи с чем необходимо построить плоскость распределения нулей системы. Подставив в многочлен числителя передаточной функции общее выражение комплексного корня, можно получить выражение для определения ближайших нулей системы методом D-разбиения. Известно, что нет необходимости строить кривые D-разбиения с помощью этого выражения. Достаточно через точки пересечения с осью абсцисс кривых D-разбиения для полюсов, построенных по выражению (15.62), провести прямые с угловым коэффициентом ctgryp и присвоить им значения а и со для нулей, которые совпадают со значениями этих величин для полюсов в указанных точках. Эти прямые соответствуют постоянным значениям вещественной и мнимой составляющих ближайших к мнимой оси комплексных нулей (пунктирные прямые, см. рис. 15.3). Пунктирной прямой с индексами ан = 3.1; сон = 0 соответствует кратный вещественный нуль системы. При удалении влево от этой прямой один нуль возрастает, а другой уменьшается и на прямой ан = 0 попадает в начало координат плоскости корней. При удалении вправо от этой прямой появляются два комплексных нуля, мнимая составляющая которых возрастает, а вещественная — уменьшается и становится равной нулю на прямой, соответствующей Од = 0; сон = 17,2.

Семейство линий, как показано на рис. 15.3, дает полную характеристику положению ближайших к мнимой оси полюсов и нулей системы в зависимости от величины варьируемых параметров.

Для того, чтобы уменьшить влияние колебательной составляющей на характер переходного процесса, необходимо варьируемые параметры выбрать таким образом, чтобы ближайшим к мнимой оси был вещественный полюс (ниже кривой 3), а комплексные полюсы были близки к комплексным нулям.

Это требование достаточно хорошо выполняется, например, в точке А, для которой вещественный полюс Р = -1,18, а ближайшие комплексные полюсы (-1,31 ± у'9,8) близки к комплексным нулям (-1,87 ± у'10,35).

Удаление вниз от кривой 3 приводит к увеличению длительности переходного процесса, поэтому точки целесообразно выбирать вблизи этой кривой, но ниже ее.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >