Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод представляет собой формализованный метод решения дифференциальных уравнений, который в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного р, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым. Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного.

Для прямого преобразования функций времени /(/) применяется преобразование Лапласа

которое сокращенно записывается так:

где функция времени /(г) — однозначная, называемая оригиналом., определенная при t> 0, интегрируемая в интервале времени 0 — со и равная нулю при /<0; F(p) — функция комплексного переменного р = а +jсо при Re р = о > 0, называемая лапласовым изображением.

Примем за начало переходного процесса момент времени ?=0.

В табл. 5.1 приведены примеры изображений простых функций. Отметим некоторые свойства (теоремы) преобразования Лапласа.

Изображения функций по Лапласу

1. Теорема о сложении или линейность поеобоазования:

  • 2. Теорема об интегрировании:
    • (5-45)

3. Теорема о дифференцировании:

4. Теорема запаздывания:

Преобразование (5.43) позволяет получить соотношения между напряжением u(t) = и и током i(t) = / в операторной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов.

Рис. 5.15

Изображение напряжения на резистивном элементе uR(t) = RiR{t) по (5.43) имеет вил

Выражение (5.48) называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рис. 5.15, а).

Изображение напряжения uL = L— на индуктивном элементе по (5.43) и (5.46) имеет вид

где iL(0) = 4(0,) = ^(0+) — ток в индуктивном элементе в момент времени коммутации ?=0, учитывающий начальные условия (5.1).

Напряжение на емкостном элементе, начиная с момента времени t= 0 возникновения переходного процесса, в общем случае равно

где ис(0) = ис(0_) = «с(0+) — напряжение на емкостном элементе, соответствующее начальному условию (5.2).

Учитывая изображение единичной функции L[l(/)] = 1 (табл. 5.1) и соотношения (5.44) и (5.45), найдем изображение напряжения uc(t):

Выражениям (5.49) и (5.50) соответствуют схемы замещения индуктивного и емкостного элементов в операторной форме на рис. 5.15, б и в.

Если начальные условия нулевые, т. е. ток iL(0_) = 0 и напряжение ис(0_) = 0, то выражения (5.49) и (5.50) примут вид закона Ома в операторной форме для индуктивного и емкостноо элементов:

где pL и 1/(рС) — сопротивления индуктивного и емкостного элементов в операторной форме.

Воспользовавшись преобразованием Лапласа (5.44) для суммы

п

токов в любом узле цепи = 0, получим первый закон Кирхгофа в операторной форме':

где Ik{p) = L[4(0] (рис. 5.16, а и б).

Аналогично второму закону Кирхгофа для любого контура цепи по (2.39)

или в другой форме по (2.40)

соответствует его представление в операторной форме или

где Uk(p) = L[uk(t)] и Ek(p) = L[ek(t)].

Оперативный метод расчета переходного процесса в цепи заключается в следующем.

  • 1. Представляем исходные данные о параметрах всех элементов схемы цепи в операторной форме, т. е. ЭДС источников напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными значениями e(t) и J(t) и пассивные элементы соответствующими изображениями Е(р) и J(p) по (5.43) и схемами замещения (рис. 5.15).
  • 2. Для полученной схемы замещения в операторной форме составляем и решаем полную систему независимых уравнений по первому (5.52) и второму (5.53) законам Кирхгофа в операторной форме и находим изображение F(p) искомой величины, например ток 1{р).

3. По изображению искомой величины в виде рациональной дроби

F(j>) = N-~— обратным преобразованием находим оригинал /(г), напри- М(р)

мер ток i(t). Для этого пользуемся теоремой разложения:

где N(p) и М(р) — многочлены в числителе и знаменателе изображения F(p) М’(р) — производная многочлена М(р) по р рк — корни многочлена М(р) = 0, где предполагается, что корни простые. Если получаются кратные корни, то теорема разложения записывается в другой форме.

Пример 5.4. Рассчитать операторным методом ток в индуктивном элементе схемы цепи на рис. 5.17, д, содержащий число ветвей В= 3, узлов У— 2, независимых контуров К= В- 7+1=3-2+1=2 при ЭДС e(t) = Ee~aT (рис. 5.14, 5), нулевых начальных условиях /Д0_) = 0 и значениях параметров элементов: Е= 10 В, Rl = R2 = 10 Ом, L= 10 мкГн, а = 0,1 мкс-1.

Решение. Выполним последовательно все этапы расчета.

  • 1. Составим схему замещения цепи в операторной форме (рис. 5.17, в), где Е(р) = Е/(р + а) — изображение функции ЭДС e(t), найденное по (5.43) или из табл. 5.1.
  • 2. При выбранных положительных направлениях токов составим одно (У-1 = 2-1 = 1) независимое уравнение по первому закону Кирхгофа (для узла а):

и два {К-2) независимых уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров 1 и 2):

или

где учтены законы Ома для пассивных элементов (5.48) и (5.51).

Решив систему алгебраических уравнений, определим ток в индуктивном элементе в операторной форме:

3. Многочлен М(р) = 0 имеет два корня: рх = - а и р2 = -R]R2/[L(Rl + R2)] = = —{3, a М'(р) = 2р + а+ (3. По теореме разложения (5.54) определим зависимость тока от времени (рис. 5.17, б):

Во многих случаях расчетов пользоваться прямым (5.43) и обратным (5.54) преобразованиями нет необходимости, так как имеются обширные справочные материалы соответствия оригиналов и их изображений, подобные приведенным в табл. 5.1, а также математические программы для ПК прямого и обратного преобразования Лапласа.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >