Подключение неразветвленной цепи с индуктивным, резистивным и емкостным элементами к источнику постоянной ЭДС

В отличие от процесса разрядки емкостного элемента в цепи (рис. 5.8), описываемого однородным дифференциальным уравнением (5.30), процесс зарядки в аналогичной цепи от источника постоянной ЭДС (рис. 5.12, а) описывается неоднородным дифференциальным уравнением

Общее решение этого уравнения представляет собой наложение установившегося и свободного процессов

где составляющая свободного процесса совпадает с (5.32), а составляющая установившегося процесса и_Су = Е (зарядка до напряжения, равного ЭДС), и для напряжения на емкостном элементе и тока зарядки имеет вид

До замыкания ключа напряжения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Поэтому в соответствии с законами коммутации (5.1) и (5.2) для момента времени замыкания ключа (/=0) справедливы соотношения:

из которых определяются постоянные:

Ограничимся анализом колебательного (5.33) процесса зарядки. Выполнив преобразования, аналогичные переходу от (5.35) к (5.36),

получим зависимости изменения напряжения на емкостном элементе и тока зарядки от времени (рис. 5.12, б):

Напряжение на емкостном элементе достигает наибольшего значения в момент времени t = n/со₀. Оно тем больше, чем постоянная времени цепи т = 1/5 больше периода собственных колебаний Т₀ = 2л/оо₀ и в пределе может превышать в 2 раза значение установившегося напряжения. Такое перенапряжение может быть опасно для изоляции высоковольтных установок. Чтобы исключить перенапряжение, нужно осуществить апериодический режим зарядки, например вктючить последовательно в цепь добавочный резистор.

Переходный процесс в цепи синусоидального тока с одним индуктивным или одним емкостным элементом

Рассмотрим сначала частный случай, а затем — общий. Подключение неразветвленной цепи с индуктивным и резистивным элементами к источнику синусоидальной ЭДС. В неразветвленной цепи (рис. 5.13, а) с источником синусоидальной ЭДС е-и = U_msin (со?+ vj/„) при установившемся режиме синусоидальный ток по (2.47) равен

где /„, = и_тЦЮ + (соТ)² — амплитуда тока; <р = arctg (соL/R) — аргумент комплексного сопротивления цепи; — начальная фаза ЭДС.

Его общее решение равно сумме свободной (5.7) и установившейся составляющих тока:

Неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса, возникающего после замыкания ключа, подобно уравнению (5.4), т. е. имеет вид

На основании закона коммутации для индуктивного элемента (5.1) в момент времени Г=0 справедливо соотношение

из которого определяется постоянная:

Рис. 5.13

Подставив значение постоянной А в общее решение, найдем зависимость тока от времени:

где т = L/R — постоянная времени цепи.

Таким бразом, во время переходного процесса ток в цепи состоит из синусоидальной составляющей и свободной составляющей, убывающей экспоненциально (рис. 5.13, б). Через интервал времени Зт после замыкания ключа свободной составляющей можно пренебречь.

Если момент времени коммутации (?=0) выбран так, что начальная фаза напряжения источника у_и = <р, то свободная составляющая тока равна нулю, т. е. переходного процесса нет, и в цепи сразу устанавливается синусоидальный ток.

Если начальная фаза напряжения источника j/_u = ср + л/2, то интенсивность переходного процесса будет наибольшая. В момент времени tx 772 = 71/© ток будет максимальным и в пределе при т > Т близким к значению 2/„,.

Аналогично рассчитывается переходный процесс при подключении источника синусоидальной ЭДС к цепи с последовательно соединенными резистивным и емкостным элементами. И здесь переходный процесс зависит от начальной фазы напряжения источника: он отсутствует при v|/_H = ср + л/2, где ср = arctg [-1/(©С7?)] < 0, и выражен наиболее сильно при ф_ы = ф, когда максимальное напряжение на емкостном элементе может почти в 2 раза превысить амплитуду установившегося напряжения. Такое перенапряжение может привести к пробою изоляции в высоковольтных установках.

Общий случай. Рассуждения, аналогичные приведенным в § 5.4, позволяют представить полученную в результате решения дифференциального уравнения (5.39) зависимость тока в индуктивном элементе где /_=т — момент времени коммутации в цепи; i_Ly — установившийся синусоидальный ток в индуктивном элементе после коммутации; i_L{t_) — значение синусоидального тока, который был в индуктивном элементе в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, т. е. при t=t..; i_Ly(0 — значение установившегося синусоидального тока в индуктивном элементе в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией, т. е. при t = /₊; т — постоянная времени цепи по (5.18).

Аналогично определяется напряжение на емкостном элементе при переходном процессе в произвольной цепи синусоидального тока с одним емкостным элементом:

где т — постоянная времени цепи по (5.27).

Зависимости (5.41) и (5.42) описывают переходный процесс в произвольной цепи синусоидального тока с одним индуктивным или одним емкостным элементом для момента времени />/_.

Пример 5.3. Определить ток переходного процесса в индуктивном элементе в схеме на рис. 5.14, а при значениях параметров элементов: /(О = J_m sin (ю/+ |/0, е - Е,„ sin (со/ + ид). J_m - 1 А, Е_т - 100л/2 В, |s_}- тс/6 рад, цд = тс/4 рад, R= = 100 Ом, Д=10“³Гн, со = 10⁵рад/с.

Решение. До замыкания ключа ток в индуктивном элементе равнялся току' источника тока i_L - J(t) и в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, т. е. при /=0_, имел значение

от времени (5.40) в общем виде, справедливом для произвольной цепи синусоидального тока с одним индуктивным элементом:

После замыкания ключа установившийся ток в индуктивном элементе определяется по (2.47) только действием ЭДС е (см. § 1.12):

и в момент времени t- 0₊ имеет значение /_iy(0₊) = 1 sin 10^s • 0 = 0. Постоянная времени цепи по (5.18) равна

где эквивалентное сопротивление по схеме на рис. 5.14, в равно Я_эк = R, = = 100 Ом.

Ток переходного процесса в индуктивном элементе по (5.41) представлен на рис. 5.14, б: