Разрядка емкостного элемента в цепи с резистивным и индуктивным элементами

С РЕЗИСТИВНЫМ И ИНДУКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ

Разрядка емкостного элемента С, предварительно заряженного от источника постоянной ЭДС до напряжения Е, через последовательно соединенные индуктивный L и резистивный R элементы (рис. 5.8) применяется, например в генераторах импульсов напряжений с конденсаторами в качестве источников энергии.

Запишем для контура цепи, обозначенного штриховой линией, дифференциальное уравнение на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:

Так как положительные напряжения тока и напряжения на емкостном элементе противоположны, то ток / — это ток разрядки:

Подставив выражение тока / из (5.29) в (5.28), получим однородное дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи второго порядка:

характеристическое уравнение которого

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (5.30) состоит только из свободной составляющей:

R IR² 1

где р₁₂ =--± J—----корни характеристического уравнения (5.31).

V 4Z< ZfC

В зависимости от значений параметров элементов цепи процесс разрядки может быть апериодическим или колебательным.

R 2 J

При —_г > — оба корня характеристического уравнения действительные отрицательные и разрядка емкостного элемента имеет апе-

R² 1

риодический характер; при ^< ~[с ^К0Р^НИ комплексные и сопряженные и разрядка имеет колебательный характер.

Колебательный процесс разрядки. В этом случае корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:

где б = R/2L — коэффициент затухания; <х>₀ = -Jl/(LC) - б² — собственная угловая частота колебательного процесса.

Подставив комплексные значения корней в (5.32), получим зависимости от времени напряжения на емкостном элементе и затем по (5.29) тока при колебательном процессе разрядки:

Для определения постоянных интегрирования и. Л₂ обратимся к законам коммутации для индуктивного (5.1) и емкостного (5.2) элементов. До коммутации и, следовательно, в момент времени t- 0_, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкостном элементе равнялось ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому

откуда

Подставим значения этих постоянных в (5.34) и, воспользовавшись формулой Эйлера (2.25)

получим зависимость напряжения на емкостном элементе от времени:

Рис. 5.9

Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно заменить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение cd₀/5 = tg vp, т. е. в треугольнике на рис. 5.9 гипотенуза

Разделив и умножив (5.35) на 1 /4LC , получим зависимость от времени напряжения на емкостном элементе

и по (5.29) — тока разрядки

Зависимости (5.36) и (5.37) показывают, что напряжение на емкостном элементе и ток разрядки можно рассматривать как синусоидально изменяющиеся во времени величины с амплитудами, уменьшающимися экспоненциально с постоянной времени т = 1/5 = 2/,//?.

Для построения соответствующих зависимостей можно сначала

Е

построить вспомогательные экспоненты ±—т=-е~^й' для напряжения

©о LC

Р

(рис. 5.10) и ±-е~⁵' для тока. Графики изменения напряжения и то-

a₀L

ка (рис. 5.10) должны вписаться в пределы, ограниченные экспонентами. Для нахождения характерных точек зависимости от времени напряжения на емкостном элементе, таких как и_с(0) = Е и u_c(t) = 0, на рисунке показана пунктиром вспомогательная синусоида.

R~ 1

Апериодический процесс разрядки. Если —- > то действительные корни характеристического уравнения (5.31) имеют отрицательные различные значения, причем р₂<Р<0. Для нахождения постоянных А_х и Л₂ в общем решении (5.32) воспользуемся законами коммутации для емкостного и индуктивного элементов:

Подставив найденные значения постоянных в (5.32), получим зависимости напряжения на емкостном элементе и тока разрядки от времени:

Графики изменения напряжения и тока показаны на рис. 5.11, где штриховыми линиями нанесены также вспомогательные экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение и ток остаются положительными, т. е. разрядка емкостного элемента апериодическая.

Для предельного случая апериодического процесса при R²/{4L²) = = 1 /(LC) характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня p_l=p₂=p = -R/(2L) (кратные корни). При кратных

Рис. 5.11

корнях общее решение дифференциального уравнения (5.30) отличается от (5.32) и записывается в виде

где постоянные А_х и А₂ определяются на основании законов коммутации.

Напряжение на емкостном элементе и ток предельного апериодического процесса разрядки равны: