Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним емкостным элементом

Рассмотрим сначала несколько частных случаев, а затем — общий. Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент. Переходный процесс в цепи на рис. 5.5, а описы-

Рис. 5.4

Рис. 5.5

вается неоднородным дифференциальным уравнением на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома uR = Ri и соотношения между током зарядки и напряжением в емкостном элементе i=Cduc/dt (2.11), т. е.

Общее решение уравнения (5.19) представляет собой сумму двух составляющих:

Первая составляющая соответствует установившемуся режиму, т. е. частному решению неоднородного дифференциального уравнения (5.19), и равна

вторая составляющая — свободному процессу, т. е. общему решению однородного дифференциального уравнения первого порядка

и равна

где p = -l/(RC) — корень характеристического уравнения

Общее решение уравнения (5.19) будет иметь вид

Для определения постоянной А в (5.21) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2). Примем, что емкостный элемент до замыкания ключа, т. е. и в момент времени /=0_, не был заряжен. Поэтому

откуда А = -Е.

Подставив значение постоянной А в (5.21), найдем напряжение на емкостном элементе во время его зарядки (рис. 5.5, б):

где т = RC имеет размерность времени (1 Ом • Ф = 1 Ом • А • с/В = 1 с) и называется постоянной времени цепи. Она, как и постоянная времени цепи на рис. 5.1, определяет скорость переходного процесса.

Напряжение на емкостном элементе (5.22) определяет зависимости тока зарядки и напряжения на резистивном элементе от времени (рис. 5.5, б):

В первый момент после замыкания ключа t= U+ ток в цепи скачком возрастает от нуля /(0_) = 0 до /(0+) = Е/R. При малом значении сопротивления R в цепи может наблюдаться значительный скачок тока.

В интервале времени 0 < t< т можно приближенно считать скорость изменения напряжения на емкостном элементе постоянной: duc/dtt=0+ = = E/RC, а напряжение

— пропорциональным интегралу напряжения источника ЭДС Е.

При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДС е может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса uR«uc и приближенно ис« е, а напряжение

— пропорционально скорости изменения напряжения источника.

Цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, как и цепь с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов (см. § 5.4), при определенных условиях можно рассматривать как интегрирующую и как дифференцирующую.

Процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени Зт.

Разрядка емкостного элемента через резистивный элемент. В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия (2.13), за счет которой емкостный элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения ис, к резистивному элементу с сопротивлением R (рис. 5.6, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q емкостного элемента (2.11):

где знак минус указывает, что ток i — это ток разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штриховой линией, направленный навстречу напряжению на емкостном элементе.

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи, обозначенном на рис. 5.6, а штриховой линией, на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (5.23):

Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (5.24) однородное и его общее решение состоит только из свободной составляющей (5.20):

Рис. 5.6

Для определения постоянной А в (5.25) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2). Так как до коммутации, т. е. и в момент времени /= 0_, емкостный элемент был заряжен до напряжения источника, то

Подставив значение постоянной А в (5.25), получим зависимость изменения напряжения на емкостном элементе при его разрядке от времени (рис. 5.5, 5):

где т = RC — постоянная времени цепи.

Ток разрядки найдем по (5.23):

Ток разрядки скачком возрастает от нуля /(0_) = 0 до i (0+) = E/R, а затем убывает экспоненциально (рис. 5.6, б).

Зарядка конденсатора при малых значениях тока и больших значениях ЭДС Е в цепи на рис. 5.6, а позволяет накопить в нем большую энергию, которая может использоваться при разрядке большим током в импульсных источниках.

Общий случай. Полученные в результате решений дифференциальных уравнений (5.19) и (5.24) зависимости напряжения на емкостном элементе от времени (5.22) и (5.26) можно представить аналогично (5.18) в общем виде

где г_ — момент времени, непосредственно предшествующий коммутации в цепи; иСу — значение установившегося постоянного напряжения на емкостном элементе; uc(t_) — значение напряжения на емкостном элементе в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации;

— постоянная времени цепи; R3K — эквивалентное сопротивление цепи внешней относительно выводов емкостного элемента С (1.33).

Зависимость (5.27) описывает переходный процесс в произвольной цепи постоянного тока с одним емкостным элементом для моментов времени t>t_.

Пример 5.2. Определить напряжение переходного процесса на емкостном элементе в схеме на рис. 5.7, а при значениях параметров элементов: R{ = R2 = R3 = R4= 10 Ом, J= 1 A, ?=10 В, С=10‘бФ.

Решение. До замыкания ключа, т. е. при t= 0_, напряжение на емкостном элементе по методу наложения (см. § 1.12) равнялось

Установившееся постоянное напряжение на емкостном элементе после замыкания ключа по методу наложения (см. пример 1.8) равно

Постоянная времени цепи равна

где R3K= RlR2/(R1 + R2) = 10 • 10/(10+ 10) = 5 Ом — эквивалентное сопротивление цепи внешней относительно выводов а и b емкостного элемента (см. рис. 1.29, в).

На рис. 5.7, б приведена зависимость напряжения на емкостном элементе от времени, построенная по (5.27):

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >