Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом

Рассмотрим сначала несколько частных случаев, а затем — общий.

Подключение источника постоянной ЭДС к неразветвленной цепи с резистивным и индуктивным элементами. Проанализируем переходный процесс в цепи при замыкании ключа К в момент времени /=0 (рис. 5.1, а), выполнив последовательно все этапы расчета классическим методом (см. § 5.2). В дальнейшем для сокращения решений математические операции отдельных этапов будем совмещать.

1. При выбранных положительных направлениях тока / и напряжений u_R и u_L составим систему уравнений, описывающих электрическое состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:

Исключая из системы уравнений (5.3) переменные u_R и и_ь, получаем неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка относительно тока /:

2. Найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного дифференциального уравнения:

Частным решением неоднородного дифференциального уравнения (5.4) является постоянный ток (нет изменения тока и d//d/ = 0) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно)

называемый установившимся током.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это частное решение удовлетворяет уравнению (5.4).

Общее решение однородного дифференциального уравнения (5.5) называется свободным током

где p = -R/L — корень характеристического уравнения

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) с учетом (5.6) и (5.7) имеет вид

• 3. Определим постоянную интегрирования А в общем решении
• (5.9). Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). Так как ток в индуктивном элементе до коммутации, т. е. ив момент времени t= 0_, был равен нулю, то

откуда

Подставив значение постоянной А в (5.9), получим зависимость изменения тока в цепи от времени (рис. 5.1, б):

где т = L/R — имеет размерность времени (1 Гн/Ом = 1 В * с/(А • Ом) = 1 с) и называется постоянной времени цепи.

Постоянная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое ток i достиг бы установившегося значения i_y=E/R, если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной ее начальному значению d//d?|,₌₀₊ = EJL.

Переходный процесс можно считать практически закончившимся через интервал времени Зт с момента коммутации, когда ток достигнет значения /(Зт) = 0,95?/7?.

Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости напряжений на резистивном и индуктивном элементах от времени (рис. 5.1, б):

В интервале времени 0r=0+= E/L, а напряжение на резистивном элементе

— пропорциональным интегралу от напряжения источника ЭДС Е. Такую цепь принято называть интегрирующей.

При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДС е может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса м_Л»м_г и приближенно ток в цепи i^e/R, а напряжение

— пропорционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют дифференцирующей.

Короткое замыкание катушки индуктивности с током. Рассмотрим переходный процесс в цепи катушки индуктивности с током, обладающей кроме индуктивности L также сопротивлением R, при замыкании ее накоротко ключом К. Подобные условия имеют место в обмотках электрических машин и аппаратов. Представим катушку индуктивности схемой замещения в виде последовательного соединения индуктивного L и резистивного R элементов (рис. 5.2, а).

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:

Дифференциальное уравнение (5.12) однородное [совпадает с (5.5)] и его общее решение содеожит только свободную составляющую (5.7Y

где x = L/R-постоянная времени цепи.

Для определения постоянной А в (5.13) обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). Так как до замыкания ключа и, следовательно, в момент времени ?=0_ в катушке был постоянный ток, равный E/(r + R), то

Подставив значение постоянной А в (5.13), получим зависимость изменения тока в катушке индуктивности от воемени:

Ток в катушке индуктивности после коммутации (рис. 5.2, б) поддерживается за счет энергии, накопленной в ее магнитном поле.

Теперь можно определить зависимости напряжений на резистивном и индуктивном элементах от времени (рис. 5.2, б):

Размыкание цепи с катушкой индуктивности. При размыкании не- разветвленной электрической цепи с катушкой индуктивности между размыкающимися контактами возникает дуговой разряд. Такой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах электрического транспорта и машин постоянного тока. Чтобы дугового разряда не было, необходимо параллельно участку цепи между контактами включить резистор. На рис. 5.3, а приведена схема замещения электрической цепи, в которой катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивного L и резистивного R элементов, а выключатель — параллельным соединением идеального ключа К и резистивного элемента г.

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после размыкания ключа:

Это дифференциальное уравнение полностью совпадает (с точностью до обозначений элементов) с уравнением (5.4). Следовательно, его общее решение аналогично (5.9): где /_у = E/(r + R) — установившаяся составляющая тока, равная постоянному току в цепи после размыкания ключа.

Для определения постоянной А в (5.16) обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). До размыкания ключа и, следовательно, в момент времени t= 0. в катушке был постоянный ток Е/R, т. е.

откуда

Подставив значение постоянной А в (5.16), найдем ток в цепи катушки индуктивности после размыкания ключа (рис. 5.3, б):

где т = L/(r + R) — постоянная времени цепи. 138

Рис. 5.3

Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости напряжений на резистивных и индуктивном элементах от времени (рис. 5.3, б):

В первый момент времени после размыкания ключа /= 0₊ напряжение на резистивном элементе г скачком возрастает от нуля м,(0_) = 0 до w_r(0₊) = Er/R. Поэтому при значениях сопротивлений г » R между контактами ключа будет значительное напряжение, которое может вызвать дуговой разряд.

Общий случай. Полученные в результате решений дифференциальных уравнений (5.4), (5.12) и (5.15) зависимости тока в индуктивном элементе от времени (5.11), (5.14) и (5.17) можно представить в общем виде

где t_ — момент времени, непосредственно предшествующий коммутации в цепи; i_Ly — значение установившегося постоянного тока в индуктивном элементе; i_L (/_) — значение тока в индуктивном элементе в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации;

— постоянная времени цепи; R_3K — эквивалентное сопротивление цепи внешней относительно выводов индуктивного элемента L (1.33).

Зависимость (5.18) описывает переходный процесс в произвольной цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом для моментов времени />/_.

Пример 5.1. Определить ток переходного процесса в индуктивном элементе схемы на рис. 5.4, а при значениях параметров элементов: R^R₂ = R₃ = R₄=Ou, J= 1 А, Е= 1 В, L= 10~³ Гн.

Решение. До замыкания ключа, т. е. при /=0_, ток в индуктивном элементе равнялся (1.16):

Установившийся постоянный ток в индуктивном элементе после замыкания ключа по методу наложения (см. § 1.12, пример 1.7) равен

Постоянная времени цепи равна

R R 1

где Я_ж = —¹—5— = — Ом — эквивалентное сопротивление цепи внешней

R[ 4- 2

относительно выводов а и b индуктивного элемента (см. рис. 1.29, в).

На рис. 5.4, б приведена зависимость тока в индуктивном элементе от времени, построенная по (5.18):