пятая. Переходные процессы в линейных электрических цепях

Общие сведения

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, например при действии различного рода коммутационных аппаратов для включения или отключения источника или приемника энергии, обрывах или коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного (2.5) и электрического (2.13) полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением — неоднородным (однородным), если ее схема замещения содержит (не содержит) источники ЭДС и тока.

Переходный процесс в линейной цепи описывается линейным дифференциальным уравнением, а в нелинейной — нелинейным. Последние здесь рассматриваться не будут.

Для решения линейных дифференциальных уравнений разработаны различные аналитические методы: классический, операторный, интеграла Фурье и др. Ограничимся применением классического и операторного методов для расчета переходных процессов в линейных цепях, содержащих резистивные, индуктивные и емкостные элементы с постоянными значениями параметров. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей постоянного и синусоидального тока, второй упрощает расчет сложных цепей.

Классический метод расчета переходных процессов

Название метода «классический» отражает решение линейных дифференциальных уравнений методами классической математики.

Классический метод расчета переходного процесса в цепях постоянного и синусоидального тока заключается в следующем.

  • 1. Составляем систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции (2.3) и зависимости между током и напряжением в емкостном элементе (2.11), описывающую электрическое состояние цепи после коммутации, решая которую получаем одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока / или напряжения и. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.
  • 2. Составляем общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы любого частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего ему однородного дифференциального уравнения.

В качестве частного решения неоднородных дифференциальных уравнений выбираем токи и напряжения установившегося режима в цепи, т. е. постоянные (синусоидальные) токи и напряжения при действии источников постоянных (синусоидальных) ЭДС и токов после окончания переходного процесса. Токи и напряжения установившегося режима обозначают /у, иу и называют установившимися.

Общее решение однородных дифференциальных уравнений описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают /С8, иСй и называют свободными, а их выражения содержат постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов, которую они имели бы при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией, если бы переходного процесса не было.

Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Находим постоянные интегрирования в общем решении i= iy+ /св, и = му + исв из начальных условий в цепи в начальный момент времени после коммутации, считая, что коммутация происходит мгновенно, т. е. коммутационные ключи идеальные. Эти условия получаются из законов коммутации.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >