Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных величин

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи также синусоидальны:

где со — угловая частота тока; ц/, — начальная фаза тока; 1тмаксимальное значение (амплитуда) тока.

Средним значением синусоидального тока считают его среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю:

Если в резистивном элементе с сопротивлением R при постоянном и синусоидальном токах за одинаковый интервал времени выделяется одинаковая энергия, то такое значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока.

За интервал времени один период Т в резистивном элементе с сопротивлением R выделяется энергия при синусоидальном токе

при постоянном токе

г

Равенство энергий RPT = определяет действующее значение

о

синусоидального тока

как среднее квадратичное за период.

Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное:

Аналогично для любой другой синусоидальной величины а = = Ams (се>?+ ia) (ЭДС, напряжения, магнитного потока и т. д.) среднее и действующее значения равны:

Способы представления синусоидальных величин

Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций (2.15), графиков (см. рис. 2.6), вращающихся векторов и комплексных чисел.

Рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин вращающимися векторами и комплексными числами.

Представление синусоидальных величин вращающимися векторами. Для представления синусоидально изменяющейся величины

с начальной фазой и угловой частотой со вращающимся вектором построим (рис. 2.8, а) радиус-вектор Ат этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде Ат, и под углом у, к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени /=0.

Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью Q, численно равной угловой частоте со синусоидальной величины, против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равна Ат sin (со*Ч j/e). По значениям этих величин можно построить график зависимости синусоидальной величины от фазы со? или от времени t. Такое построение приведено для некоторых значений t на рис. 2.8, б.

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.

Рис. 2.9

Представление синусоидальных величин комплексными числами. От представления синусоидальных величин вращающимися радиусами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидальных величин комплексными числами.

Для того чтобы представить синусоидальную величину (2.20) с начальной фазой уа комплексным числом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2.9) из начала координат под углом |/в к оси действительных величин против часовой (по часовой) стрелки, если значение угла |/а>0 (ia < 0), вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде Ат синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует комплексное число — комплексная амплитуда синусоидальной величины:

Так же обозначается и соответствующий комплексной амплитуде вектор на комплексной плоскости.

При увеличении во времени фазы синусоидальной величины t+ya угол между осью действительных величин и вектором изменяется, а сам вектор будет представлять собой вращающийся вектор

Нетрудно видеть, что мнимая составляющая вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (2.20).

Представление синусоидальной величины комплексной амплитудой Ат и соответствующим ей вектором на комплексной плоскости геометрически подобно представлению той же синусоидальной величины вращающимся радиусом-вектором Ат в момент времени t-0 (рис. 2.8, а). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить эффективный метод анализа электрических цепей синусоидального тока на основе математических операций с комплексными числами — комплексный метод, который завоевал всеобщее признание.

Вектор, на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:

Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (рис. 2.9).

Применяются три формы записи комплексного действующего значения синусоидальной величины:

показательная форма

тригонометрическая форма

алгебраическая форма

где Re/4 = A cos ia и Im А = A sin vj/e — действительная и мнимая составляющие комплексного действующего значения синусоидальной

величины; А = J(Reyi)2 + (ImT)2; j/^ = arctg -^4-.

ReH

Переход от показательной формы к тригонометрической выполнен с помощью формулы Эйлера:

При значениях угла ia = n/2 и ia = -п/2 из (2.25) следует, что где j = — мнимая единица.

При анализе цепей синусоидального тока применяют комплексные действующие значения синусоидальных величин. Сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комплексных значений.

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы i|/e всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одно и то же значение. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором. Его начальная фаза уа = 0.

Направления синусоидальных величин (тока, напряжения и т. д.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением a = Amsm (<о/+|/а) и соответствующим комплексным значени-

Рис. 2.10

ем A = AZia (2.21). Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидальных величин (токов, напряжений и т. д.) в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис. 2.10).

Заметим, что в отличие от мгновенных значений синусоидальных величин соответствующие им комплексные значения не имеют размерностей.

Пример 2.1. Для синусоидальных тока i = l„ sin (со/ + |/,) = = 3,8 sin (со/+ к/4) А и напряжения и = Um sin (со/ + ци) = 3,1 sin (со/- л/6) В записать соответствующие им комплексные значения тока / и напряжения U и построить их векторы на комплексной плоскости.

Решение. Синусоидальному току / = Im sin (соГ + у, ) = 3,8 sin (со/ + к/4) А

(рис. 2.11, а) соответствует комплексное значение тока / = -рГе-'>'' =

= = ^-Zit/4 (рис. 2.11, б).

V2 V2

Синусоидальному напряжению и = Um sin (со/+ vj/u) = 3,1 sin (со/ - тс/6) В

(рис. 2.11, а) соответствует комплексное значение напряжения U = =

V2

Уе-;*/б = ?/(-71/6) (рис. 2.11, б).

л/2 V2

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >