Вещественная форма записи ряда Фурье.

Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму слагаемых с синусом и косинусом в выражении (9) можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой-

где

Если S(t) является четной функцией, фазы могут принимать только значения 0 и п, а если S(t) - функция нечетная, то возможные значения для фазы равны + я/2.

Сигнал s(t) в этом случае для наглядности может быть представлен вектором в пространстве (рис. 2.30)

Сигнал s(t) как вектор в пространстве

Рис. 2.30. Сигнал s(t) как вектор в пространстве

Вещественная форма позволяет представить разложение сигнала в ряд Фурье в более компактном виде и практически ничем не отличается от тригонометрической. Коэффициенты ряда ао, cik и Ьк вычисляются также, как и в предыдущем случае, т.е. по формуле (10).

Комплексная форма записи ряда Фурье.

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике, особенно при цифровой обработке сигналов на компьютерах.

Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера ё° = CosO + jSinQ):

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

Экспоненты со знаком «минус» в показателе будем трактовать как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое яо/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:

Формула расчета коэффициентов С* ряда Фурье:

Если s(t) является чётной функцией, коэффициенты ряда С* будут чисто вещественными, а если s(f) - функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми.

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз- фазовым спектром.

Спектром амплитуд является действительная часть коэффициентов Ск ряда Фурье:

Re (Ск) - спектр амплитуд.

Спектр прямоугольных импульсов.

Рассмотрим сигнал s(t) в виде последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой А, длительностью т и периодом повторения Т. Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса (рис. 2.31).

Последовательность прямоугольных импульсов Данный сигнал является чётной функцией

Рис. 2.31. Последовательность прямоугольных импульсов Данный сигнал является чётной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье - в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые а*, равные:

Из формулы видно, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособлено, а исключительно в виде отношения. Этот параметр - отношение периода к длительности импульсов - называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой: g = 77т. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду Sin(x)/x:

При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при х —* 0 Sin(x)/x —>1, то

Теперь можно записать и само представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону Sin(x)/x.

График функции Sin(x)/x имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси - в номерах гармоник и в частотах (рис. 232).

Спектр последовательности со скважностью 6

Рис. 2.32. Спектр последовательности со скважностью 6

На рисунке градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий.

Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при k = ng имеем Sin (лк/g) = О, если п Ф 0).

Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов - в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов - 2л!Т. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2гг/т, т. е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Это проявление общего закона - чем короче сигнал, тем шире его спектр.

На рис. 2.33 показана зависимость числа гармоник под огибающей от скважности

Зависимость числа гармоник под огибающей от скважности

Рис. 2.33. Зависимость числа гармоник под огибающей от скважности

Вывод: для любого сигнала известны его разложения в ряд Фурье. Зная г и Т можем посчитать сколько гармоник нужно, чтобы передать требуемую мощность.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — один из распространенных инструментов спектрального анализа сигналов, широко применяемый в самых разных отраслях науки и техники. При этом разработано множество быстрых алгоритмов для высокой вычислительной эффективности ДПФ.

Пара непрерывного преобразования Фурье (интеграл Фурье) имеет вид:

Компьютер способен работать только с ограниченным объемом данных, следовательно, реально он способен вычислять только определённое количество данных.

Для решения этой проблемы бесконечное множество значений сигнала s(t) необходимо заменить конечным. С этой целью аналоговый сигнал дискретизируют во времени, используя теорему Котельникова, согласно которой период дискретизации Тд (расстояние между дискретными отсчётами) определяется выражением

Заменяя в выражении (15) t на пТд, интеграл на сумму и dt на Тд, получим

Отсюда следует, что спектр дискретного сигнала в отличие от аналогового периодичен по частоте с периодом сод

Периодизация спектра обусловлена дискретизации сигнала во времени.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >