Векторное представление сигнала.

Весьма удобным инструментом различения двух или более сигналов является их представление в виде векторов в прямоугольной или полярной системе координат. При этом взаимная ориентация векторов сигналов описывает связь между сигналами (относительно их фаз или частот), а амплитуда каждого вектора набора {s,} является мерой энергии сигнала, перенесенной в течение времени передачи символа.

На рис. 2.18 в векторной форме (которая в данном случае является очень удобной) показан процесс обнаружения. Векторы Sj и Si- представляют сигналы-прототипы, или опорные сигналы, принадлежащие набору из М сигналов. Приемник априори знает местонахождение в пространстве сигналов всех векторов-прототипов, принадлежащих М-мерному множеству.

Сигналы и шум в трехмерном векторном пространстве

Рис. 2.18. Сигналы и шум в трехмерном векторном пространстве

В процессе передачи каждый сигнал подвергается воздействию шумов, так что в действительности принимается искаженная версия исходного сигнала (например, Sj + п или st + и), где п - вектор помех. Будем считать, что помехи являются аддитивными и имеют гауссово распределение; следовательно, результирующее распределение возможных принимаемых сигналов - это кластер или облако точек вокруг Sj и St. Кластер сгущается к центру и разрежается с увеличением расстояния от прототипа. Стрелочка с пометкой «г» представляет вектор сигнала, который поступает в приемник в течение определенного интервала передачи символа. Задача приемника — определить, на какой из прототипов М-мерного множества сигнал «похож» больше.

Мерой «сходства» может быть расстояние. Приемник или детектор должен решить, какой из прототипов сигнального пространства ближе к принятому вектору г. Анализ всех схем демодуляции или обнаружения включает использование понятия расстояние между принятым сигналом и набором возможных переданных сигналов. Детектор должен следовать одному простому правилу: определять г к тому же классу, к которому принадлежит его ближайший сосед (ближайший вектор-прототип).

Например, сигнал в простейшем случае представляет собой синусоидально изменяющуюся величину

Его представление в векторной форме показано на рис. 2.19.а.

Из конца радиус-вектора Um, находящегося в начальном положении, опустим на вертикальную ось перпендикуляр, длина которого равна Umsimp (длина этого перпендикуляра — она же проекция вектора Um на ось ординат - мгновенное значение функции s(t) в момент времени t = 0 (рис. 2.19,6). Предположим, что радиус-вектор вращается с постоянной угловой частотой со = 2л/Т = 2nf против направления движения часовой стрелки, где Т - период, a f - частота вращения (частота синусоиды).

Представление синусоидальной величины вращающимся вектором

Рис. 2.19. Представление синусоидальной величины вращающимся вектором

В момент времени ti радиус-вектор Um будет повернут относительно начального положения на угол длина перпендикуляра, опущенного из его конца, будет равна Um sin (coti+

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты при анализе сложной электрической цепи.

Для примера, построим в векторном виде функции si(t) = Umisincot и S2(t) = Unnsin (cot + 90°) (рис. 2.20,a), а рядом на этом же рисунке (рис. 2.20,6)- эти же функции в виде графиков. Сигналы si(t) и S2(t) имеют одинаковые частоты и их вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью.

Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указать, насколько он больше.

Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору s(t) *= L однозначно сопоставлено число ||s|| - норма этого вектора.

Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму

Изображение синусоидальных сигналов в векторном виде а) и в виде графиков функций б)

Рис. 2.20. Изображение синусоидальных сигналов в векторном виде а) и в виде графиков функций б).

причем из двух возможных значений корня выбирается положительное.

Квадрат нормы носит название энергии сигнала

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение s(t).

Теперь необходимо ввести еще одно фундаментальное понятие, которое обобщало бы обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов этого пространства сопоставлено некоторое неотрицательное число, называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами.

Степень различия (или похожести) двух сигналов u(t) и v(t)по форме в этом пространстве определяется их скалярным произведением

Значение косинуса в этом произведении изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов («длины» векторов).

Максимальное значение costp = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение costp = -1 наблюдается при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. По существу, коэффициент г = costp является интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и получил название коэффициента корреляции сигналов. На рис. 2.21 можно наглядно видеть значения коэффициента корреляции двух сигналов в зависимости от их формы и сдвига по независимой переменной.

Значения коэффициента корреляции двух сигналов

Рис. 2.21. Значения коэффициента корреляции двух сигналов

Однако количественные значения коэффициентов корреляции существенно зависят от выбора нулевой точки сигнального пространства.

Для цифровых сигналов в качестве метрики выбирается расстояние Хэмминга, равное числу позиций, в которых соответствующие символы двух слов (кодовых комбинаций) одинаковой длины различны. Иными словами расстояние Хэмминга - это число единиц в сумме по модулю 2 двух любых комбинаций кода (вес суммы).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >